Przesunięcie równoległe wzdłuż osi OY

Klasa 2 liceum i technikum

Tutaj znak działa „normalnie”

W przesunięciu poziomym trzeba było uważać na minus. Przy pionowym jest prościej: dodajemy do wartości funkcji, więc plus podnosi wykres, a minus go obniża.

Dlaczego bez pułapki? Bo tym razem nie ruszamy argumentu. Punkt $(x_0, y_0)$ leżący na wykresie $y = f(x)$ przechodzi w $(x_0,\ y_0 + q)$, a nowa funkcja to po prostu

$g(x) = f(x) + q,$

czyli „ta sama wartość, tylko powiększona o $q$”.

Przykład 1 - kierunek przesunięcia

• $y = f(x) + 5$ - w górę o $5$;
• $y = f(x) - 2$ - w dół o $2$;
• $y = f(x) + \tfrac{1}{2}$ - w górę o pół jednostki.

Przykład 2 - punkty i własności

Niech wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkty $(-1, 3)$, $(0, 0)$ i $(2, -2)$, a jej zbiór wartości to $\langle -2;\ 3\rangle$. Co się stanie po przesunięciu o $[0, 2]$, czyli dla $g(x) = f(x) + 2$?

Każdy punkt idzie o dwie jednostki w górę:

$(-1, 3) \to (-1, 5), \qquad (0, 0) \to (0, 2), \qquad (2, -2) \to (2, 0).$

Zbiór wartości też przesuwa się o $2$:

$ZW_g = \langle 0;\ 5\rangle.$

Zwróć uwagę, że miejsca zerowe zwykle się zmieniają: punkt $(0,0)$ przestał leżeć na osi $OX$, a zaczął punkt $(2, 0)$.

Co się zmienia, a co zostaje

Przy przesunięciu pionowym:

• zmienia się zbiór wartości (przesuwa się o $q$), wartość najmniejsza i największa (rosną o $q$) oraz miejsca zerowe;
• nie zmienia się dziedzina, kształt wykresu ani przedziały monotoniczności.

Przesunięcie o dowolny wektor

Oba przesunięcia można wykonać naraz. Przesunięcie o wektor $\vec{u} = [p, q]$ daje funkcję

$y = f(x - p) + q.$

Kolejność nie ma znaczenia - można najpierw przesunąć w bok, a potem w górę, albo odwrotnie.

Przykład. Wykres $y = f(x + 1) - 3$ to wykres $y = f(x)$ przesunięty o wektor $[-1, -3]$, czyli o jedną jednostkę w lewo i trzy w dół.

To już znasz. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej $y = a(x - p)^2 + q$ to dokładnie ten wzór: parabola $y = ax^2$ przesunięta o wektor $[p, q]$. Dlatego wierzchołek trafia w punkt $(p, q)$ - patrz postać kanoniczna.

Najczęstsze pytania

Dlaczego przy przesunięciu pionowym nie ma pułapki ze znakiem? Bo działamy na wartościach, a nie na argumentach. Dodanie $q$ do wartości podnosi punkt o $q$ - dokładnie tak, jak podpowiada intuicja.

Czy przesunięcie pionowe zmienia dziedzinę? Nie. Wykres wędruje w górę lub w dół, więc te same argumenty są dozwolone. Zmienia się natomiast zbiór wartości.

Co dzieje się z miejscami zerowymi? Zwykle się zmieniają - a czasem znikają. Jeśli wykres w całości leży pod osią $OX$ i podniesiemy go dostatecznie wysoko, miejsc zerowych może być więcej albo mniej niż przed przesunięciem.

Jak odczytać wektor przesunięcia ze wzoru $y = f(x + 4) - 1$? Zapisujemy go jako $f\big(x - (-4)\big) + (-1)$, więc wektor to $[-4, -1]$: cztery w lewo, jeden w dół.

Czy kolejność przesunięć ma znaczenie? Nie. Przesunięcie poziome i pionowe są niezależne - wynik jest ten sam niezależnie od kolejności.

Przećwicz

• Przesunięcia wykresu → - przesunięcia pionowe i poziome, także paraboli i hiperboli.

Podsumowanie

• $y = f(x) + q$ to wykres $y = f(x)$ przesunięty o wektor $[0, q]$: $q > 0$ w górę, $q < 0$ w dół.
• Punkt $(x_0, y_0)$ przechodzi w $(x_0,\ y_0 + q)$.
• Zmienia się zbiór wartości i miejsca zerowe; dziedzina i kształt zostają.
• Złożenie obu przesunięć: $y = f(x - p) + q$ to przesunięcie o wektor $[p, q]$.