Matura czerwiec 2023 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

$|x + 5| < 15$ oznacza $-15 < x + 5 < 15$, czyli $-20 < x < 10$. Dodatnie liczby całkowite z tego przedziału to $1, 2, \ldots, 9$ - jest ich dziewięć. Pułapka B ($10$) to policzenie także liczby $10$, która nierówności ostrej nie spełnia ($|15| = 15$, a nie mniej). Odpowiedzi C i D liczą też liczby ujemne albo zero, choć pytanie dotyczy tylko dodatnich.

Odpowiedź: A. Zobacz: interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej oraz zadania z wartości bezwzględnej.

Pierwiastki zapisujemy jako potęgi o wykładnikach wymiernych i dodajemy wykładniki:

$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = x^{\frac{3 + 2 + 1}{6}} = x^1 = x.$

Pułapka C ($\sqrt[18]{x}$) to pomnożenie wykładników ($\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$) zamiast ich dodania.

Odpowiedź: A. Zobacz: potęga o wykładniku wymiernym oraz zadania z potęg o wykładniku wymiernym.

Krok 1. Wydzielamy wielokrotność siódemki. Liczby $49k^2$ i $7k$ dzielą się przez $7$, a $-2$ zapisujemy jako $-7 + 5$:

$49k^2 + 7k - 2 = 49k^2 + 7k - 7 + 5 = 7\left(7k^2 + k - 1\right) + 5.$

Krok 2. Wniosek. Dla całkowitego $k$ liczba $7k^2 + k - 1$ jest całkowita, więc $7\left(7k^2 + k - 1\right)$ jest wielokrotnością $7$. Liczba $49k^2 + 7k - 2$ to ta wielokrotność plus $5$, a $0 \le 5 < 7$ - reszta z dzielenia przez $7$ wynosi $5$. To kończy dowód.

(Sprawdzenie: dla $k = 1$ liczba $54 = 7 \cdot 7 + 5$; dla $k = -1$ liczba $40 = 7 \cdot 5 + 5$.) Zasady oceniania: za samo przekształcenie do postaci $7(7k^2 + k - 1) + 5$ jest $1$ punkt, za dodanie zdania o całkowitości nawiasu - $2$; sprawdzenie dla kilku $k$ daje $0$.

Odpowiedź: $49k^2 + 7k - 2 = 7(7k^2 + k - 1) + 5$, więc reszta wynosi $5$. Zobacz: definicja, twierdzenie, dowód oraz zadania z indukcji i podzielności.

Po pierwszym roku kapitał to $30\,000 \cdot 1{,}07 = 32\,100$ zł (odsetki $2100$ zł). W drugim roku odsetki liczy się od $32\,100$ zł: $32\,100 \cdot 0{,}07 = 2247$ zł. Łącznie:

$2100 + 2247 = 4347 \text{ zł}, \qquad \text{czyli } 30\,000 \cdot 1{,}07^2 - 30\,000 = 34\,347 - 30\,000 = 4347.$

Pułapki: A i B to odsetki za jeden rok (pierwszy albo drugi), C to procent prosty $2 \cdot 2100$ - bez odsetek od odsetek.

Odpowiedź: D. Zobacz: zadania z procentów.

$\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3$ oraz $\log_2 4 = 2$, więc suma to $-3 + 2 = -1$. To samo daje wzór na logarytm iloczynu: $\log_2 \left(\frac{1}{8} \cdot 4\right) = \log_2 \frac{1}{2} = -1$. Pułapka D ($5$) to zapomnienie o znaku minus przy $\log_2 \frac{1}{8}$.

Odpowiedź: A. Zobacz: określenie logarytmu oraz zadania z logarytmów.

Rozwijamy oba kwadraty:

$\left(1 + 2\sqrt{5} + 5\right) - \left(1 - 2\sqrt{5} + 5\right) = 6 + 2\sqrt{5} - 6 + 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}.$

Szybciej: $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$, więc wynik to $4 \cdot 1 \cdot \sqrt{5}$. Pułapka A ($0$) to założenie, że kwadraty liczb „symetrycznych” są równe - są równe tylko dla $(1 + \sqrt{5})^2$ i $(-1 - \sqrt{5})^2$.

Odpowiedź: C. Zobacz: wzory skróconego mnożenia oraz zadania ze wzorów skróconego mnożenia.

Wyłączamy $x$ w liczniku pierwszego ułamka i skracamy:

$\frac{x(x + 1)}{(x - 2)^2} \cdot \frac{x - 2}{x} = \frac{x(x + 1)(x - 2)}{(x - 2)^2 \cdot x} = \frac{x + 1}{x - 2}.$

Skróciliśmy $x$ (bo $x \ne 0$) i jeden czynnik $x - 2$ (bo $x \ne 2$). Kontrola dla $x = 3$: $\frac{12}{1} \cdot \frac{1}{3} = 4$ oraz $\frac{4}{1} = 4$.

Odpowiedź: D. Zobacz: funkcja wymierna oraz zadania z działań na wyrażeniach algebraicznych.

Krok 1. Przenosimy na jedną stronę (nie dzielimy przez $x$ - nie znamy jego znaku):

$2x^2 - x - 2x < 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 3x < 0 \quad\Longrightarrow\quad x(2x - 3) < 0.$

Krok 2. Miejsca zerowe: $x = 0$ oraz $x = \frac{3}{2}$.

Krok 3. Znak. Parabola $y = 2x^2 - 3x$ ma ramiona w górę, więc jest ujemna między miejscami zerowymi. Nierówność ostra - końce odpadają:

$x \in \left(0, \frac{3}{2}\right).$

Kontrola: dla $x = 1$ mamy $1 \cdot 1 = 1 < 2$. Pułapka: podzielenie obu stron przez $x$ na starcie daje $2x - 1 < 2$, czyli $x < \frac{3}{2}$ - gubi się warunek $x > 0$ (dla ujemnych $x$ dzielenie odwraca nierówność).

Odpowiedź: $x \in \left(0, \dfrac{3}{2}\right)$. Zobacz: nierówności kwadratowe oraz zadania z funkcji kwadratowej.

Krok 1. Grupujemy wyrazy.

$x^2(x + 4) - 9(x + 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x + 4)\left(x^2 - 9\right) = 0.$

Krok 2. Różnica kwadratów. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, więc $(x + 4)(x - 3)(x + 3) = 0$.

Krok 3. Rozwiązania: $x = -4$, $x = 3$ lub $x = -3$.

Kontrola dla $x = 3$: $27 + 36 - 27 - 36 = 0$. Zasady oceniania: za rozkład $(x + 4)(x^2 - 9) = 0$ jest $1$ punkt, za rozkład i jedno z równań - $2$, za wszystkie trzy pierwiastki - $3$.

Odpowiedź: $x \in \{-4, -3, 3\}$. Zobacz: wielomiany oraz miejsca zerowe i postać iloczynowa.

Dziedzina: mianownik $x^2 - 4 \ne 0$, czyli $x \ne 2$ i $x \ne -2$.

Licznik: $(x^2 - 3x)(x + 2) = x(x - 3)(x + 2) = 0$ dla $x = 0$, $x = 3$ lub $x = -2$.

Liczba $-2$ nie należy do dziedziny (zeruje mianownik), więc odpada. Zostają dwa rozwiązania: $0$ i $3$. Pułapka C ($3$) to zapomnienie o dziedzinie - właśnie po to ułamek ma w mianowniku $x^2 - 4$.

Odpowiedź: B. Zobacz: funkcja wymierna oraz wielomiany.

Dwie proste nie mają punktów wspólnych, gdy są równoległe i różne: te same współczynniki kierunkowe, różne wyrazy wolne. Wyrazy wolne to $5$ i $0$ - różne, więc wystarczy

$2m + 3 = -1 \quad\Longrightarrow\quad m = -2.$

Kontrola: dla $m = -2$ mamy $f(x) = -x + 5$ i $g(x) = -x$ - proste równoległe, przesunięte o $5$.

Odpowiedź: A. Zobacz: współczynnik kierunkowy oraz zadania z prostych równoległych.

Współczynnik kierunkowy to iloraz przyrostu $y$ przez przyrost $x$:

$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - (-1)}{4 - (-3)} = \frac{4}{7}.$

Pułapka: pomylenie znaków przy odejmowaniu liczb ujemnych ($3 - 1$ i $4 - 3$ dałoby $2$, czyli odpowiedź C).

Odpowiedź: D. Zobacz: współczynnik kierunkowy oraz równanie prostej.

Dziedzina to zbiór argumentów, nad którymi (lub pod którymi) jest wykres. Lewa łamana zaczyna się w $x = -5$ (puste kółko - nie należy) i kończy w $x = -1$ (puste kółko), prawa biegnie od $x = 1$ do $x = 5$ (oba końce puste). Dziedzina: $(-5, -1) \cup (1, 5)$ - odpowiedź F. Pułapka E ($(-5, 5)$) pomija przerwę $[-1, 1]$, nad którą wykresu nie ma.

Zbiór wartości. Lewa łamana przyjmuje wartości od $-3$ do $-1$: wartość $-3$ jest osiągana (na poziomym odcinku, np. dla $x = -4{,}5$), wartość $-1$ też (dla $x = -2$ na poziomym odcinku), mimo że skrajne punkty są puste. Podobnie prawa łamana daje wartości od $1$ do $3$, oba osiągane. Zbiór wartości: $[-3, -1] \cup [1, 3]$ - odpowiedź A. Pułapka C to przeniesienie „pustych kółek” na wartości - a puste kółko wyklucza tylko jeden punkt, nie całą wartość, która jest osiągana gdzie indziej.

Odpowiedź: dziedzina - F, zbiór wartości - A.

Wartości mniejsze od $-1$ przyjmuje tylko lewa łamana, i to poniżej poziomu $y = -1$: na odcinku poziomym $y = -3$ (dla $x \in (-5, -4]$) oraz na odcinku rosnącym od $(-4, -3)$ do $(-3, -1)$ - tam $f(x) < -1$ dla $x < -3$ (w $x = -3$ wartość wynosi dokładnie $-1$, więc nierówność ostra nie zachodzi). Razem:

$x \in (-5, -3).$

Odpowiedź: $(-5, -3)$. Zobacz: odczytywanie własności funkcji z wykresu oraz zadania z własności funkcji.

Trzy informacje ze wzoru:

• $a < 0$ - ramiona paraboli skierowane w dół (odpadają A i C);
• wyraz wolny $1$ - wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 1)$ (wszystkie rysunki to spełniają);
• pierwsza współrzędna wierzchołka $p = -\frac{b}{2a}$: licznik $-b < 0$, mianownik $2a < 0$, więc $p > 0$ - wierzchołek leży na prawo od osi $Oy$.

Ramiona w dół i wierzchołek po prawej stronie to rysunek D. Rysunek B ma wierzchołek po lewej, co odpowiadałoby $b < 0$.

Odpowiedź: D. Zobacz: szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej oraz postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

Podstawiamy $m_0 = 200$ i $t = 12$; wykładnik to $0{,}25 \cdot 12 = 3$:

$m(12) = 200 \cdot (0{,}6)^3 = 200 \cdot 0{,}216 = 43{,}2 \text{ mg}.$

Interpretacja: co $4$ godziny masa leku maleje do $60\%$ poprzedniej, a $12$ godzin to trzy takie okresy.

Odpowiedź: $43{,}2$ mg.

Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek sąsiednich wyrazów:

$q = \frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)} = \frac{m_0 \cdot (0{,}6)^{0{,}25 \cdot 4{,}5}}{m_0 \cdot (0{,}6)^{0{,}25 \cdot 2{,}5}} = (0{,}6)^{0{,}25 \cdot (4{,}5 - 2{,}5)} = (0{,}6)^{0{,}5} = \sqrt{0{,}6} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}.$

Ten sam iloraz daje para $m(6{,}5)$ i $m(4{,}5)$, bo argumenty znowu różnią się o $2$ - dlatego trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Zasady oceniania akceptują odpowiedź w postaci $(0{,}6)^{0{,}5}$ albo $\sqrt{\frac{3}{5}}$.

Odpowiedź: $q = (0{,}6)^{0{,}5} = \sqrt{0{,}6} \approx 0{,}77$. Zobacz: funkcja wykładnicza oraz ciąg geometryczny.

$\frac{n - 2}{3} < 10 \quad\Longrightarrow\quad n - 2 < 30 \quad\Longrightarrow\quad n < 32.$

Warunek spełniają $n = 1, 2, \ldots, 31$ - jest ich $31$. Pułapka C ($32$) to policzenie także $n = 32$, dla którego $a_{32} = 10$ (nie mniej niż $10$); A ($28$) to pomylenie $n < 32$ z $n - 2 < 30$ jako liczbą wyrazów.

Odpowiedź: B. Zobacz: ciągi.

Różnica ciągu to $4 - 1 = 3$, więc trzeci wyraz to $4 + 3 = 7$:

$a + 5 = 7 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.$

Pułapka B ($7$) to podanie trzeciego wyrazu zamiast liczby $a$.

Odpowiedź: C. Zobacz: ciąg arytmetyczny.

Iloraz: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-7{,}5}{3{,}75} = -2$. Trzeci wyraz: $a_3 = a_2 \cdot q = -7{,}5 \cdot (-2) = 15$.

$S_3 = 3{,}75 + (-7{,}5) + 15 = 11{,}25.$

Pułapka C ($15$) to sam trzeci wyraz; B ($-18{,}75$) wychodzi, gdy przyjmiemy $a_3 = -15$ (błąd znaku przy mnożeniu dwóch liczb ujemnych).

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg geometryczny.

Wyłączamy $\cos\alpha$ przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$\cos\alpha \left(1 - \sin^2\alpha\right) = \cos\alpha \cdot \cos^2\alpha = \cos^3\alpha.$

Pułapka C ($1 - \sin^2\alpha$) to zapomnienie o czynniku $\cos\alpha$ przed nawiasem.

Odpowiedź: A. Zobacz: funkcje trygonometryczne oraz zadania na związki między funkcjami trygonometrycznymi.

Pole trójkąta to połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Kąt między bokami $a$ i $c$ to ten, który leży naprzeciw boku $b$, czyli $45^\circ$; kąt między bokami $b$ i $c$ leży naprzeciw $a$, czyli ma $30^\circ$:

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot a \cdot c \quad \text{(C)},$

$P = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot b \cdot c \quad \text{(F)}.$

Pułapki: A i E pomijają $\frac{1}{2}$ we wzorze na pole, B i D biorą sinus złego kąta (kąt między $a$ i $c$ to $45^\circ$, a nie $30^\circ$; między $b$ i $c$ - $30^\circ$, a nie $60^\circ$).

Odpowiedź: C oraz F. Zobacz: twierdzenie sinusów oraz zadania z trójkątów.

Krok 1. Kąt prosty przy $C$. Kąt $ACB$ jest kątem wpisanym opartym na średnicy $AB$, więc jest prosty - odcinek $AC$ jest prostopadły do prostej $l$, czyli $|AC|$ to szukana odległość.

Krok 2. Kąt prosty przy $A$. Styczna jest prostopadła do promienia (i średnicy) w punkcie styczności, więc trójkąt $ABD$ jest prostokątny z kątem prostym przy $A$, a $AC$ jest jego wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną $BD$.

Krok 3. Wysokość w trójkącie prostokątnym to średnia geometryczna odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną:

$|AC|^2 = |BC| \cdot |CD| = 4 \cdot 3 = 12 \quad\Longrightarrow\quad |AC| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.$

Kontrola z podobieństwa: $|AB|^2 = |BC| \cdot |BD| = 28$, $|AD|^2 = |CD| \cdot |BD| = 21$, a $|AB|^2 + |AD|^2 = 49 = |BD|^2$. Pułapka A ($\frac{7}{2}$) to połowa $|BD|$ - promień okręgu opisanego na trójkącie $ABD$, nie wysokość.

Odpowiedź: C. Zobacz: twierdzenie o stycznej i siecznej, kąty w okręgu oraz zadania z okręgów i kół.

Zdanie 1. Podstawy $AB$ i $CD$ są równoległe, więc kąty naprzemianległe są równe: $|\sphericalangle EAB| = |\sphericalangle ECD|$ oraz $|\sphericalangle EBA| = |\sphericalangle EDC|$ (do tego kąty wierzchołkowe przy $E$). Z cechy kąt-kąt trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne. Prawda.

Zdanie 2. Trójkąty $ACD$ i $BCD$ mają wspólną podstawę $CD$, a ich trzecie wierzchołki $A$ i $B$ leżą na prostej równoległej do $CD$ - więc mają tę samą wysokość i równe pola. Prawda. (Stąd też równe są pola trójkątów $ADE$ i $BCE$ - po odjęciu wspólnego trójkąta $CDE$.)

Odpowiedź: P, P. Zobacz: podobieństwo trójkątów oraz zadania z czworokątów.

Krok 1. Kąty oparte na tym samym łuku. Kąty wpisane $ACB$ i $ADB$ są oparte na tym samym łuku $AB$, więc $|\sphericalangle ACB| = |\sphericalangle ADB| = 20^\circ$.

Krok 2. Trójkąt $KBC$. Punkt $K$ leży na cięciwie $BD$, więc $|\sphericalangle KBC| = |\sphericalangle DBC| = 40^\circ$; leży też na cięciwie $AC$, więc $|\sphericalangle KCB| = |\sphericalangle ACB| = 20^\circ$.

Krok 3. Kąt zewnętrzny. Kąt $DKC$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $KBC$ przy wierzchołku $K$ (bo $K$ leży między $B$ i $D$), a kąt zewnętrzny równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych nieprzyległych:

$|\sphericalangle DKC| = |\sphericalangle KBC| + |\sphericalangle KCB| = 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ.$

Inaczej: kąt między przecinającymi się cięciwami to połowa sumy łuków $AB$ i $CD$, czyli $\frac{40^\circ + 80^\circ}{2} = 60^\circ$. Pułapka A ($80^\circ$) to sam łuk $CD$, D ($40^\circ$) - jeden z danych kątów.

Odpowiedź: B. Zobacz: kąty w okręgu oraz zadania z okręgów i kół.

Ze wzoru $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ odczytujemy boki: $a_1 = 1{,}5$ i $a_2 = 4{,}5$. Skala podobieństwa to stosunek boków: $\frac{4{,}5}{1{,}5} = 3$ (odpowiedź A). Stosunek pól to kwadrat skali: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{4{,}5^2}{1{,}5^2} = 9$ - i to jest uzasadnienie 2.

Uzasadnienie 3 jest błędne, bo bok $T_2$ jest trzy razy dłuższy, a nie o $3$ dłuższy ($4{,}5 - 1{,}5 = 3$ to przypadkowa zbieżność liczb, nie argument). Uzasadnienie 1 jest prawdziwe, ale o skali nic nie mówi.

Odpowiedź: A2. Zobacz: podobieństwo figur oraz zadania z podobieństwa trójkątów.

Pole równoległoboku to iloczyn dwóch sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi. Kąt $DAB$ jest przyległy do kąta $ABC$, więc ma $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$, a $\sin 45^\circ = \sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (sinus kątów przyległych jest ten sam):

$|AB| \cdot |AD| \cdot \sin 45^\circ = 40\sqrt{6} \quad\Longrightarrow\quad |AB| \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 40\sqrt{6} \quad\Longrightarrow\quad |AB| = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{3}.$

Kontrola: $8\sqrt{3} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 40\sqrt{6}$. Można też przez wysokość: $h = 10 \sin 45^\circ = 5\sqrt{2}$, więc $|AB| = \frac{40\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} = 8\sqrt{3}$.

Odpowiedź: A. Zobacz: zadania z równoległoboku i rombu oraz funkcje trygonometryczne.

Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe o iloczynie $-1$: skoro $a_f = -1$, to $a_g = 1$. Punkt $(0, -1)$ leży na osi $Oy$, więc wyraz wolny to $b = -1$:

$g(x) = x - 1.$

Pułapka B ($-x - 1$) to prosta równoległa do $f$ przez punkt $P$, a A ($x + 1$) - prostopadła, ale przez punkt $(0, 1)$.

Odpowiedź: D. Zobacz: zadania z prostych prostopadłych oraz współczynnik kierunkowy.

Przeciwległe wierzchołki to końce przekątnej:

$|AC|^2 = (3 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2 = 16 + 64 = 80.$

Pole kwadratu o przekątnej $d$ wynosi $\frac{d^2}{2}$ (kwadrat to romb, a pole rombu to połowa iloczynu przekątnych): $P = \frac{80}{2} = 40$. Pułapka D ($80$) to potraktowanie przekątnej jak boku ($d^2$ zamiast $\frac{d^2}{2}$).

Odpowiedź: C. Zobacz: zadania z długości i środka odcinka oraz zadania z czworokątów.

Od $A$ do $P$ przesuwamy się o wektor $\overrightarrow{AP} = [3 - 1, 1 - 7] = [2, -6]$. Odcinek $PB$ jest trzy razy dłuższy i leży na tej samej prostej w tym samym kierunku, więc $\overrightarrow{PB} = 3 \cdot [2, -6] = [6, -18]$:

$B = (3 + 6, 1 - 18) = (9, -17).$

Kontrola: $\overrightarrow{AB} = [8, -24] = 4 \cdot \overrightarrow{AP}$, czyli $P$ leży w jednej czwartej odcinka $AB$. Pułapka D ($(5, -5)$) to przesunięcie o $\overrightarrow{AP}$ tylko raz (stosunek $1 : 1$), A ($(9, -5)$) - błąd znaku drugiej współrzędnej.

Odpowiedź: B. Zobacz: odległość i środek odcinka oraz zadania z geometrii analitycznej.

Krawędź boczna prostopadła do podstawy jest wysokością ostrosłupa: $H = 12$. Pole podstawy $P_p = 6^2 = 36$:

$V = \frac{1}{3} P_p H = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 12 = 144.$

Odpowiedź: $144$.

Wierzchołek ostrosłupa leży nad jednym z wierzchołków podstawy (tym, z którego wychodzi krawędź prostopadła). Najdłuższa krawędź boczna prowadzi do wierzchołka podstawy najbardziej oddalonego, czyli przeciwległego - jej rzut na podstawę to przekątna kwadratu o długości $6\sqrt{2}$. W trójkącie prostokątnym z wysokością $12$ i przekątną $6\sqrt{2}$:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{12}{6\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.$

Pułapka C ($\frac{\sqrt{2}}{2}$) to odwrócony ułamek, a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ i $\frac{\sqrt{6}}{3}$ wychodzą przy pomyleniu przekątnej z bokiem.

Odpowiedź: A. Zobacz: ostrosłupy oraz trygonometria kąta ostrego.

Rzutem przekątnej $AD'$ na podstawę jest przekątna $AD$ sześciokąta foremnego łącząca przeciwległe wierzchołki - a ta jest dwa razy dłuższa od boku: $|AD| = 2 \cdot 5 = 10$ (sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $5$).

Trójkąt $ADD'$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$) z kątem $45^\circ$ przy $A$, więc jest równoramienny: wysokość graniastosłupa $|DD'| = |AD| = 10$. Ściana boczna to prostokąt $5 \times 10$: