Twierdzenie o stycznej i siecznej - wzór, dowód i przykłady

Q: Jak brzmi twierdzenie o stycznej i siecznej?

Jeżeli z punktu P poza okręgiem poprowadzimy styczną PA i sieczną przecinającą okrąg w punktach B i C, to |PA|² = |PB| · |PC| - kwadrat stycznej jest równy iloczynowi całej siecznej i jej zewnętrznej części.

Q: Który odcinek jest „całą sieczną", a który zewnętrzną częścią?

|PC| to odległość od P do dalszego punktu przecięcia (cała sieczna), a |PB| - do bliższego (część zewnętrzna). Pomylenie ich to najczęstszy błąd w tym temacie. Cięciwa BC to różnica: |BC| = |PC| - |PB|.

Q: Jak brzmi twierdzenie o dwóch siecznych?

Dla dwóch siecznych poprowadzonych z jednego punktu P iloczyny odcinków są równe: |PB| · |PC| = |PD| · |PE| (za każdym razem część zewnętrzna razy cała sieczna).

Q: Czy twierdzenie działa dla punktu wewnątrz okręgu?

Tak, w wersji dla cięciw: jeśli cięciwy AB i CD przecinają się w punkcie S, to |AS| · |SB| = |CS| · |SD|. Stycznej wtedy nie ma, bo z punktu wewnętrznego nie da się jej poprowadzić.

Q: Jak udowodnić twierdzenie o stycznej i siecznej?

Najkrócej z podobieństwa trójkątów PAB i PCA: mają wspólny kąt przy P, a kąt między styczną a cięciwą AB jest równy kątowi wpisanemu ∠ BCA. Z proporcji boków wychodzi |PA|² = |PB| · |PC|. Drugi dowód, z twierdzenia Pitagorasa, jest wyżej.

Q: Co to jest potęga punktu względem okręgu?

Liczba d² - r², gdzie d to odległość punktu od środka okręgu, a r - promień. Dla punktu na zewnątrz jest równa kwadratowi stycznej i iloczynowi odcinków każdej siecznej; to ona sprawia, że wszystkie trzy twierdzenia z tej lekcji są w gruncie rzeczy jednym.

Klasa 2 liceum i technikum

Twierdzenia o odcinkach w okręgu

$\text{styczna i sieczna z punktu } P: \qquad |PA|^2 = |PB| \cdot |PC|$

$\text{dwie sieczne z punktu } P: \qquad |PB| \cdot |PC| = |PD| \cdot |PE|$

$\text{dwie cięciwy przecinające się w } S: \qquad |AS| \cdot |SB| = |CS| \cdot |SD|$

$\text{dwie styczne z punktu } P: \qquad |PA| = |PA'|$

Oznaczenia: $A$ - punkt styczności, $B$ - bliższy, a $C$ - dalszy punkt przecięcia siecznej z okręgiem.

Twierdzenie o stycznej i siecznej

Twierdzenie. Jeżeli z punktu $P$ leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzimy styczną (o punkcie styczności $A$ ) oraz sieczną przecinającą okrąg w punktach $B$ i $C$ , to $|PA|^2 = |PB| \cdot |PC|.$

Kwadrat odcinka stycznej równa się iloczynowi całej siecznej przez jej zewnętrzną część. Kolejność liter jest istotna: $B$ to punkt bliższy $P$ , a $C$ - dalszy.

Styczna PA i sieczna PBC poprowadzone z punktu P. Zachodzi równość PA² = PB · PC - tutaj PA² = 21 oraz PB · PC = 3 · 7 = 21.

Kąt między styczną a cięciwą

Do dowodu potrzebne jest jedno twierdzenie pomocnicze.

Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą. Kąt między styczną w punkcie $A$ a cięciwą $AB$ jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku $AB$ (leżącemu po drugiej stronie cięciwy).

Uzasadnienie. Niech $O$ będzie środkiem okręgu, a $\angle AOB = 2\alpha$ kątem środkowym. Trójkąt $AOB$ jest równoramienny ( $|OA| = |OB|$ ), więc $\angle OAB = 90° - \alpha$ . Promień $OA$ jest prostopadły do stycznej, zatem kąt między styczną a cięciwą wynosi $90° - (90° - \alpha) = \alpha$ . Tyle samo ma każdy kąt wpisany oparty na łuku $AB$ , bo jest połową kąta środkowego (zobacz kąt wpisany i kąt środkowy).

Dowód twierdzenia o stycznej i siecznej

Dowód 1 (podobieństwo trójkątów). Porównajmy trójkąty $PAB$ i $PCA$ :

kąt przy wierzchołku $P$ jest w obu trójkątach wspólny;
$\angle PAB = \angle PCA$ - po lewej jest kąt między styczną $PA$ a cięciwą $AB$ , po prawej kąt wpisany $\angle BCA$ oparty na tym samym łuku $AB$ ; z twierdzenia powyżej są równe.

Trójkąty mają więc dwa równe kąty, czyli są podobne (cecha kkk). Odpowiednie boki są proporcjonalne:

$\frac{|PA|}{|PC|} = \frac{|PB|}{|PA|} \quad\Longrightarrow\quad |PA|^2 = |PB| \cdot |PC|. \qquad \blacksquare$

Dowód 2 (twierdzenie Pitagorasa). Niech $r$ będzie promieniem, $d = |PO|$ , a $M$ - środkiem cięciwy $BC$ . Odcinek $OM$ jest prostopadły do cięciwy, więc z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach $OMP$ i $OMB$ :

$|PB| \cdot |PC| = (|PM| - |MB|)(|PM| + |MB|) = |PM|^2 - |MB|^2 = (d^2 - |OM|^2) - (r^2 - |OM|^2) = d^2 - r^2.$

Z kolei $|PA|^2 = d^2 - r^2$ z trójkąta prostokątnego $OAP$ . Obie strony są równe. $\blacksquare$

Drugi dowód pokazuje coś więcej: iloczyn $|PB| \cdot |PC|$ zależy tylko od odległości punktu od środka i od promienia, a nie od kierunku siecznej. Liczba $d^2 - r^2$ nazywa się potęgą punktu względem okręgu.

Przykład 1 - liczbowa kontrola twierdzenia

Weźmy okrąg o promieniu $2$ i punkt $P$ oddalony od środka o $5$ (jak na rysunku).

Długość stycznej liczymy z twierdzenia Pitagorasa (promień jest prostopadły do stycznej):

$|PA|^2 = 5^2 - 2^2 = 21.$

Sieczna przez środek przecina okrąg w odległościach $5 - 2 = 3$ oraz $5 + 2 = 7$ od punktu $P$ , więc

$|PB| \cdot |PC| = 3 \cdot 7 = 21.$

Obie wartości są równe - twierdzenie działa.

Przykład 2 - typowe zadanie

Zadanie. Z punktu $P$ poprowadzono styczną do okręgu o długości $6$ oraz sieczną, której bliższa część ma długość $|PB| = 4$ . Oblicz długość cięciwy $BC$ .

Krok 1. Twierdzenie o stycznej i siecznej.

$|PA|^2 = |PB| \cdot |PC| \quad\Longrightarrow\quad 36 = 4 \cdot |PC| \quad\Longrightarrow\quad |PC| = 9.$

Krok 2. Cięciwa to różnica całej siecznej i jej części zewnętrznej:

$|BC| = |PC| - |PB| = 9 - 4 = 5.$

Odpowiedź. $|BC| = 5$ .

Przykład 3 - promień okręgu

Zadanie. Odcinek stycznej poprowadzonej z punktu $P$ ma długość $12$ . Sieczna z punktu $P$ przechodzi przez środek okręgu, a jej zewnętrzna część ma długość $8$ . Oblicz promień okręgu.

Krok 1. Z twierdzenia o stycznej i siecznej: $144 = 8 \cdot |PC|$ , więc $|PC| = 18$ .

Krok 2. Sieczna przechodzi przez środek, więc cięciwa $BC$ jest średnicą: $|BC| = 18 - 8 = 10$ , czyli $r = 5$ .

Sprawdzenie. $|PO| = 8 + 5 = 13$ i $13^2 - 5^2 = 144 = 12^2$ - zgadza się z twierdzeniem Pitagorasa w trójkącie $OAP$ .

Odpowiedź. $r = 5$ .

Twierdzenie o dwóch siecznych

Gdy z punktu $P$ poprowadzimy dwie sieczne - jedną przecinającą okrąg w punktach $B$ i $C$ , drugą w punktach $D$ i $E$ - iloczyny odcinków są równe:

$|PB| \cdot |PC| = |PD| \cdot |PE|.$

Wynika to natychmiast z poprzedniego twierdzenia: oba iloczyny są równe $|PA|^2$ , czyli kwadratowi długości stycznej z tego samego punktu. Można to też udowodnić bez stycznej - trójkąty $PBE$ i $PDC$ są podobne, bo mają wspólny kąt przy $P$ i równe kąty wpisane $\angle PEB = \angle PCD$ oparte na łuku $BD$ .

Dwie sieczne poprowadzone z punktu P. Iloczyny są równe: PB · PC = PD · PE - każdy z nich jest równy kwadratowi stycznej z punktu P.

Przykład. Dla $|PB| = 3$ , $|PC| = 8$ oraz $|PD| = 4$ dostajemy

$3 \cdot 8 = 4 \cdot |PE| \quad\Longrightarrow\quad |PE| = 6.$

Twierdzenie o przecinających się cięciwach

To samo prawo działa, gdy punkt leży wewnątrz okręgu - wtedy zamiast siecznych mamy cięciwy.

Twierdzenie. Jeżeli cięciwy $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $S$ , to $|AS| \cdot |SB| = |CS| \cdot |SD|.$

Cięciwy AB i CD przecinają się w punkcie S wewnątrz okręgu. Zachodzi równość AS · SB = CS · SD.

Dowód. Trójkąty $ASC$ i $DSB$ mają równe kąty przy $S$ (wierzchołkowe) oraz $\angle CAB = \angle CDB$ (kąty wpisane oparte na tym samym łuku $CB$ ). Są więc podobne, a stąd $\frac{|AS|}{|DS|} = \frac{|CS|}{|BS|}$ , czyli $|AS| \cdot |SB| = |CS| \cdot |SD|$ . $\blacksquare$

Przykład. Cięciwy przecinają się w punkcie $S$ , przy czym $|AS| = 5$ , $|SB| = 6$ i $|CS| = 3$ . Wtedy $5 \cdot 6 = 3 \cdot |SD|$ , więc $|SD| = 10$ , a cała cięciwa $CD$ ma długość $13$ .

W tej wersji iloczyn jest równy $r^2 - d^2$ , gdzie $d$ to odległość punktu $S$ od środka - znów zależy tylko od położenia punktu.

Dwie styczne z jednego punktu

Twierdzenie. Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu do okręgu są równe.

Dowód jest krótki: trójkąty $OAP$ i $OA'P$ są prostokątne, mają wspólną przeciwprostokątną $OP$ i równe przyprostokątne (promienie), więc są przystające - a stąd $|PA| = |PA'|$ .

Ta własność jest podstawą wielu zadań o okręgu wpisanym w wielokąt: odcinki styczne z każdego wierzchołka są parami równe. Z niej wynika też, że w czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe: $a + c = b + d$ .

Najczęstsze pytania

Jak brzmi twierdzenie o stycznej i siecznej? Jeżeli z punktu $P$ poza okręgiem poprowadzimy styczną $PA$ i sieczną przecinającą okrąg w punktach $B$ i $C$ , to $|PA|^2 = |PB| \cdot |PC|$ - kwadrat stycznej jest równy iloczynowi całej siecznej i jej zewnętrznej części.

Który odcinek jest „całą sieczną”, a który zewnętrzną częścią? $|PC|$ to odległość od $P$ do dalszego punktu przecięcia (cała sieczna), a $|PB|$ - do bliższego (część zewnętrzna). Pomylenie ich to najczęstszy błąd w tym temacie. Cięciwa $BC$ to różnica: $|BC| = |PC| - |PB|$ .

Jak brzmi twierdzenie o dwóch siecznych? Dla dwóch siecznych poprowadzonych z jednego punktu $P$ iloczyny odcinków są równe: $|PB| \cdot |PC| = |PD| \cdot |PE|$ (za każdym razem część zewnętrzna razy cała sieczna).

Czy twierdzenie działa dla punktu wewnątrz okręgu? Tak, w wersji dla cięciw: jeśli cięciwy $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $S$ , to $|AS| \cdot |SB| = |CS| \cdot |SD|$ . Stycznej wtedy nie ma, bo z punktu wewnętrznego nie da się jej poprowadzić.

Jak udowodnić twierdzenie o stycznej i siecznej? Najkrócej z podobieństwa trójkątów $PAB$ i $PCA$ : mają wspólny kąt przy $P$ , a kąt między styczną a cięciwą $AB$ jest równy kątowi wpisanemu $\angle BCA$ . Z proporcji boków wychodzi $|PA|^2 = |PB| \cdot |PC|$ . Drugi dowód, z twierdzenia Pitagorasa, jest wyżej.

Co to jest potęga punktu względem okręgu? Liczba $d^2 - r^2$ , gdzie $d$ to odległość punktu od środka okręgu, a $r$ - promień. Dla punktu na zewnątrz jest równa kwadratowi stycznej i iloczynowi odcinków każdej siecznej; to ona sprawia, że wszystkie trzy twierdzenia z tej lekcji są w gruncie rzeczy jednym.

Do czego to się przydaje? Do liczenia długości cięciw, siecznych i promieni w zadaniach z okręgiem, a nawet do obliczenia, jak daleko widać horyzont z danej wysokości. Pozwala też skonstruować odcinek o długości równej średniej geometrycznej dwóch danych odcinków.

Przećwicz

Twierdzenie o stycznej i siecznej - zadania z rozwiązaniami → - długości stycznych, siecznych i cięciw, dwie sieczne, przecinające się cięciwy, promień okręgu i odległość do horyzontu.

Podsumowanie

$|PA|^2 = |PB| \cdot |PC|$ - kwadrat stycznej równa się iloczynowi całej siecznej przez jej część zewnętrzną.
Dla dwóch siecznych z tego samego punktu: $|PB| \cdot |PC| = |PD| \cdot |PE|$ .
Dla cięciw przecinających się w punkcie $S$ : $|AS| \cdot |SB| = |CS| \cdot |SD|$ .
Odcinki dwóch stycznych z jednego punktu są równe.
Dowód: podobieństwo trójkątów i twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą - albo twierdzenie Pitagorasa, które pokazuje, że wszystkie iloczyny są równe $d^2 - r^2$ .