Twierdzenia Fermata - małe, wielkie i o ekstremum

Pierre de Fermat (1601-1665) był z zawodu prawnikiem, radcą parlamentu w Tuluzie, a matematyką zajmował się po godzinach. Mimo to zostawił po sobie wyniki, które zajmowały zawodowych matematyków przez kolejne trzysta lat. Jego nazwisko noszą dziś trzy różne twierdzenia - z teorii liczb, znowu z teorii liczb i z analizy matematycznej - a do tego zasada z optyki, punkt w trójkącie, ciąg liczb i krzywa. Ta strona porządkuje, co jest czym, i prowadzi do haseł z pełnymi dowodami.

Małe twierdzenie Fermata

Dla dowolnej liczby całkowitej $a$ i liczby pierwszej $p$ liczba $a^p - a$ jest podzielna przez $p$. Gdy dodatkowo $p$ nie dzieli $a$, twierdzenie przyjmuje wygodniejszą postać

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.$

Fermat sformułował je w liście z 1640 roku, dowód pomijając; pierwszy opublikowany dowód podał Leonhard Euler w 1736 roku. To twierdzenie stoi u podstaw szyfrowania RSA i testów pierwszości, a jego twierdzenie odwrotne jest fałszywe - świadczą o tym liczby Carmichaela.

Przymiotnik „małe” nie oznacza tu „mniej ważne”, lecz odróżnia je od hipotezy z marginesu. W praktyce to właśnie małe twierdzenie jest dziś używane częściej - codziennie, w każdym połączeniu szyfrowanym.

Pełny dowód indukcyjny, przykłady rachunkowe, liczby Carmichaela i mechanizm RSA: małe twierdzenie Fermata.

Wielkie twierdzenie Fermata

Równanie

$x^n + y^n = z^n$

nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych dla żadnego wykładnika $n > 2$.

Kontrast z przypadkiem $n = 2$ jest uderzający: równanie $x^2 + y^2 = z^2$ ma nieskończenie wiele rozwiązań - to trójki pitagorejskie w rodzaju $(3,4,5)$ czy $(5,12,13)$, dające się wypisać jednym wzorem. Wystarczy podnieść wykładnik o jeden, by rozwiązania zniknęły całkowicie.

Przez ponad trzysta lat była to hipoteza, mimo tradycyjnej nazwy „twierdzenie”. W wielu językach nazywa się ją ostatnim twierdzeniem Fermata - bo była ostatnim z jego zapisków, którego nie udało się rozstrzygnąć. Dowód ogłosił Andrew Wiles w 1993 roku, a po usunięciu wykrytej luki opublikował w 1995.

Treść, pełny dowód przypadku $n = 4$ metodą nieskończonego schodzenia i historia dowodu Wilesa: wielkie twierdzenie Fermata.

Twierdzenie Fermata o ekstremum

Trzecie twierdzenie noszące to nazwisko należy do analizy matematycznej:

Jeśli funkcja $f$ ma w punkcie wewnętrznym $x_0$ swojej dziedziny ekstremum lokalne i jest w tym punkcie różniczkowalna, to $f'(x_0) = 0$.

To warunek konieczny, ale nie wystarczający - i właśnie ta różnica jest źródłem najczęstszego błędu w zadaniach optymalizacyjnych. Funkcja $f(x) = x^3$ ma $f'(0) = 0$, a ekstremum w zerze nie ma; z kolei $f(x) = |x|$ ma minimum w zerze, choć nie jest tam różniczkowalna.

Praktyczny wniosek: miejsca zerowe pochodnej to jedynie kandydaci na ekstremum - trzeba je jeszcze zbadać, np. sprawdzając zmianę znaku pochodnej.

Dowód przez ilorazy różnicowe, trzy kontrprzykłady i przykład optymalizacyjny krok po kroku: twierdzenie Fermata o ekstremum.

Historia - 358 lat poszukiwań

Skrót drogi od notatki na marginesie do dowodu; szczegóły każdego etapu opisuje hasło o wielkim twierdzeniu.

• 1637 - Fermat zapisuje hipotezę na marginesie Arytmetyki Diofantosa, dodając, że margines jest zbyt wąski, by pomieścić dowód. Notatkę znaleziono po jego śmierci.
• 1637-1839 - rozstrzygnięte pojedyncze wykładniki: $n = 4$ (Fermat), $n = 3$ (Euler, 1753), $n = 5$ (Dirichlet i Legendre, 1825), $n = 7$ (Lamé, 1839).
• XIX wiek - Ernst Kummer wyjaśnia, dlaczego kolejne „dowody” zawodzą, i wprowadza liczby idealne; z nich wyrasta współczesna algebra.
• 1908 - Paul Wolfskehl funduje nagrodę $100$ tysięcy marek, ściągając lawinę błędnych prac.
• 1983 - Gerd Faltings dowodzi hipotezy Mordella: rozwiązań jest co najwyżej skończenie wiele.
• 1993-1995 - Andrew Wiles dowodzi szczególnego przypadku hipotezy Taniyamy-Shimury, z której wynika teza; lukę w rozumowaniu usuwa wraz z Richardem Taylorem.

Co jeszcze nosi nazwisko Fermata

Nazwisko Fermata pojawia się w matematyce i fizyce częściej, niż sugerują trzy twierdzenia:

• Zasada Fermata (optyka) - światło biegnie między dwoma punktami po drodze, którą pokonuje w najkrótszym czasie. Z niej wyprowadza się prawo załamania Snelliusa. To fizyczna zasada, nie twierdzenie matematyczne, ale metoda jej stosowania jest dokładnie ta sama co w twierdzeniu o ekstremum: szukamy minimum funkcji czasu.
• Punkt Fermata (geometria), zwany też punktem Torricellego - punkt wewnątrz trójkąta, dla którego suma odległości od trzech wierzchołków jest najmniejsza. Gdy wszystkie kąty trójkąta są mniejsze niż $120°$, każdy z boków widać z tego punktu pod kątem $120°$.
• Liczby Fermata - liczby postaci

$F_n = 2^{2^n} + 1.$

Pierwsze pięć ($3$, $5$, $17$, $257$, $65537$) jest pierwszych i Fermat przypuszczał, że tak będzie zawsze. Euler obalił to w 1732 roku, pokazując, że $F_5 = 4\,294\,967\,297 = 641 \cdot 6\,700\,417$. Do dziś nie znaleziono ani jednej liczby pierwszej Fermata poza tymi pięcioma. Ciekawostka: liczby pierwsze Fermata rozstrzygają, których wielokątów foremnych da się użyć w konstrukcji cyrklem i linijką.

• Metoda nieskończonego schodzenia - technika dowodowa Fermata: z rozwiązania buduje się mniejsze, co wśród liczb naturalnych jest niemożliwe. Używamy jej w dowodzie przypadku $n = 4$ wielkiego twierdzenia.
• Spirala Fermata - krzywa o równaniu $r^2 = a^2\varphi$, spotykana w opisie układu nasion w koszyczku słonecznika.

Kim był Pierre de Fermat

Fermat studiował prawo w Orleanie, a od 1631 roku pracował jako radca parlamentu w Tuluzie - matematyka była dla niego zajęciem prywatnym. Prawie nic nie publikował; swoje wyniki rozsyłał w listach, często bez dowodów i w formie wyzwania rzuconego innym matematykom. Większość tego, co po nim zostało, znamy z korespondencji i z notatek na marginesach książek, wydanych pośmiertnie przez syna Samuela w 1670 roku.

Poza teorią liczb Fermat położył podwaliny pod rachunek prawdopodobieństwa - w korespondencji z Blaise’em Pascalem z 1654 roku o podziale stawki w przerwanej grze - oraz pod geometrię analityczną i rachunek różniczkowy, niezależnie od Kartezjusza i na kilkadziesiąt lat przed Newtonem i Leibnizem.

Najczęstsze pytania

Czym różni się małe twierdzenie Fermata od wielkiego? Wszystkim poza nazwiskiem. Małe dotyczy reszt z dzielenia przez liczbę pierwszą i ma prosty dowód indukcyjny; wielkie dotyczy rozwiązań równania w liczbach całkowitych i czekało na dowód $358$ lat.

Które z nich to „ostatnie twierdzenie Fermata”? Wielkie. Nazwa bierze się stąd, że było ostatnim z jego zapisków, którego nie udało się rozstrzygnąć - wszystkie pozostałe z czasem udowodniono lub obalono.

O które twierdzenie chodzi, gdy mówi się po prostu „twierdzenie Fermata”? Zależy od kontekstu. W teorii liczb i w tekstach popularnych - najczęściej o wielkie. Na zajęciach z analizy matematycznej - o twierdzenie o ekstremum. W kryptografii - o małe.

Czy Fermat naprawdę miał dowód wielkiego twierdzenia? Prawie na pewno nie. Wszystkie znane dowody wymagają matematyki z XX wieku, a sam Fermat nigdy później nie wracał do ogólnego przypadku - opublikował za to dowód dla $n = 4$, co sugeruje, że zauważył lukę w swoim rozumowaniu.

Czy zasada Fermata z optyki to twierdzenie matematyczne? Nie, to zasada fizyczna: światło biegnie po drodze najkrótszej czasowo. Matematycznie sprowadza się jednak do zadania na minimum funkcji, rozwiązywanego dokładnie tak jak inne zadania optymalizacyjne.

Podsumowanie

• Małe twierdzenie Fermata: $a^p \equiv a \pmod p$ dla $p$ pierwszej - podstawa RSA i testów pierwszości.
• Wielkie twierdzenie Fermata: $x^n + y^n = z^n$ nie ma rozwiązań dla $n > 2$; hipoteza z 1637 roku, udowodniona przez Andrew Wilesa w 1995 roku.
• Twierdzenie Fermata o ekstremum: zerowanie pochodnej to warunek konieczny, nie wystarczający.
• Nazwisko Fermata noszą też zasada z optyki, punkt w trójkącie, liczby $F_n = 2^{2^n} + 1$ i spirala - żadne z nich nie jest twierdzeniem z tej trójki.
• Próby rozwiązania problemu z marginesu dały matematyce więcej niż sam wynik: liczby idealne Kummera, teorię ideałów i związek krzywych eliptycznych z formami modularnymi.