Twierdzenie o wartości pośredniej (własność Darboux)

Co mówi twierdzenie

Intuicja jest prosta: funkcja ciągła nie potrafi przeskoczyć żadnej wartości. Jeśli rano temperatura wynosiła $-2^\circ$C, a w południe $+7^\circ$C, to w którymś momencie musiała wynosić dokładnie $0^\circ$C. Jeśli wykres zaczyna się pod osią, a kończy nad nią, to gdzieś oś przecina - nie może jej „przefrunąć”.

Brzmi jak oczywistość - i właśnie dlatego jest ciekawe, że wymaga dowodu. W dowodzie pracują oba założenia: ciągłość funkcji i to, że działamy na liczbach rzeczywistych. Zabierz którekolwiek, a twierdzenie się zawali (kontrprzykłady niżej).

Dowód

Kontrprzykłady - po co każde założenie

Bez ciągłości. Cena biletu w zależności od wieku: do $18$ lat $10$ zł, od $18$ lat $20$ zł. Funkcja skacze z $10$ na $20$ i nigdy nie przyjmuje wartości $15$. Jeden skok wystarczy, by wartości pośrednie przepadły.

Bez zupełności. Weźmy $f(x) = x^2 - 2$ na przedziale $\langle 1, 2 \rangle$, ale tylko dla $x$ wymiernych. Funkcja jest ciągła, $f(1) = -1 < 0$, $f(2) = 2 > 0$ - a miejsca zerowego brak, bo jedynym kandydatem jest $\sqrt{2}$, które nie jest liczbą wymierną. Wykres „przecieka” przez dziurę w osi liczbowej. Twierdzenie o wartości pośredniej jest więc w istocie twierdzeniem o tym, że prosta rzeczywista nie ma dziur.

Twierdzenie odwrotne jest fałszywe. Funkcja może przyjmować wszystkie wartości pośrednie i nie być ciągła - np. $f(x) = \sin\tfrac{1}{x}$ dla $x \neq 0$ z $f(0) = 0$. Własność przyjmowania wartości pośrednich nazywa się własnością Darboux i jest słabsza od ciągłości. Co ciekawe, ma ją każda pochodna - nawet nieciągła (to twierdzenie Darboux).

Zastosowanie 1 - metoda bisekcji

Dowód jest algorytmem: połowienie przedziału to najprostsza metoda numerycznego szukania pierwiastków. Policzmy $\sqrt{2}$ jako miejsce zerowe $f(x) = x^2 - 2$:

• $f(1) = -1$, $f(2) = 2$ - pierwiastek w $\langle 1, 2 \rangle$;
• $f(1{,}5) = 0{,}25 > 0$ - bierzemy $\langle 1, 1{,}5 \rangle$;
• $f(1{,}25) = -0{,}4375 < 0$ - bierzemy $\langle 1{,}25, 1{,}5 \rangle$;
• $f(1{,}375) < 0$ - bierzemy $\langle 1{,}375, 1{,}5 \rangle$;
• $f(1{,}4375) > 0$ - bierzemy $\langle 1{,}375, 1{,}4375 \rangle$ …

Każdy krok podwaja dokładność (jeden bit): po $10$ krokach przedział ma długość $\tfrac{1}{2^{10}} < 0{,}001$, po $20$ - mniej niż jedną milionową. Bisekcja jest wolniejsza od metody Newtona, ale niezawodna: wymaga tylko ciągłości i różnych znaków na końcach.

Zastosowanie 2 - wielomian nieparzystego stopnia ma pierwiastek

Każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Krok 1. Dla dużych $x$ o znaku wielomianu decyduje najwyższa potęga: przy $x \to +\infty$ wielomian (o dodatnim współczynniku wiodącym) jest dodatni, przy $x \to -\infty$ - ujemny, bo nieparzysta potęga zachowuje znak argumentu.

Krok 2. Istnieją więc punkty $a < b$ z $f(a) < 0 < f(b)$, a wielomian jest ciągły - miejsce zerowe istnieje. $\blacksquare$

Dla stopni parzystych to nieprawda: $x^2 + 1$ nie ma pierwiastków rzeczywistych. Ten kontrast jest zresztą echem twierdzenia Abela-Ruffiniego: pierwiastek równania piątego stopnia zawsze istnieje (m.in. dzięki twierdzeniu o wartości pośredniej), choć nie zawsze da się go zapisać wzorem.

Zastosowanie 3 - chwiejący się stół

Kwadratowy stół chwieje się na nierównej podłodze: trzy nogi dotykają ziemi, czwarta wisi. Wystarczy obrócić stół (mniej niż o ćwierć obrotu), by stanął pewnie na wszystkich czterech nogach.

Szkic rozumowania: dociskając trzy wybrane nogi do podłoża, mierzmy „szczelinę” $g(\theta)$ pod czwartą nogą w zależności od kąta obrotu $\theta$. Można pokazać, że po obrocie o $90^\circ$ rola nóg się zamienia i wielkość, która była dodatnia, staje się ujemna (noga musiałaby wejść pod podłogę). Funkcja $g$ jest ciągła (podłoga bez uskoków), więc gdzieś po drodze $g(\theta) = 0$ - i to jest położenie, w którym stół stoi stabilnie. Praktyczne? Tak - kręcenie chwiejącym się stolikiem w kawiarni naprawdę działa.

Zastosowanie 4 - temperatura na antypodach

W każdej chwili istnieją na równiku dwa punkty położone dokładnie naprzeciw siebie, w których temperatura jest identyczna.

Krok 1. Niech $T(\theta)$ będzie temperaturą w punkcie równika o długości geograficznej $\theta$. Zdefiniujmy różnicę względem antypodu:

$g(\theta) = T(\theta) - T(\theta + 180^\circ).$

Krok 2. Zauważmy, że

$g(\theta + 180^\circ) = T(\theta + 180^\circ) - T(\theta + 360^\circ) = -g(\theta).$

Jeśli więc $g$ nie jest tożsamościowo zerem, to w punktach $\theta$ i $\theta + 180^\circ$ ma przeciwne znaki.

Krok 3. Temperatura zmienia się w sposób ciągły, więc $g$ też - między tymi punktami istnieje $\theta_0$ z $g(\theta_0) = 0$, czyli $T(\theta_0) = T(\theta_0 + 180^\circ)$. $\blacksquare$

To jednowymiarowy przypadek twierdzenia Borsuka-Ulama; w wersji dwuwymiarowej na całej kuli ziemskiej istnieją antypody zgodne jednocześnie w temperaturze i ciśnieniu.

Kto i kiedy

Przez stulecia uważano to twierdzenie za oczywiste - używali go Euler i Gauss bez słowa komentarza. Pierwszy dowód podał w 1817 roku Bernard Bolzano, czeski ksiądz i matematyk, w pracy o znamiennym tytule Czysto analityczny dowód twierdzenia… - chodziło mu właśnie o to, by fakt „geometrycznie oczywisty” wywieść z definicji, bez odwoływania się do rysunku. Stąd druga nazwa: twierdzenie Bolzano. Niezależnie dowód opublikował Augustin-Louis Cauchy (1821).

Praca Bolzano wyprzedziła swoje czasy: wymusiła precyzyjne definicje ciągłości i zupełności, które pół wieku później dokończyli Weierstrass i Dedekind. Nazwa „własność Darboux” pochodzi od Gastona Darboux, który w 1875 roku pokazał, że wartości pośrednie przyjmuje każda pochodna - nawet nieciągła.

Najczęstsze pytania

Czy punkt $c$ jest tylko jeden? Nie - twierdzenie gwarantuje co najmniej jeden. Funkcja może przecinać daną wartość wiele razy (np. sinus przecina zero nieskończenie często). Bisekcja znajduje któryś z takich punktów.

Czy twierdzenie działa na przedziale otwartym? Nie wprost - potrzebujemy wartości na końcach. Na $(0, 1)$ funkcja $f(x) = \tfrac{1}{x}$ jest ciągła, a wartości nie ma gdzie „zakotwiczyć”. Kluczowy jest przedział domknięty i ograniczony.

Czym różni się to twierdzenie od twierdzenia Weierstrassa? Weierstrass mówi, że funkcja ciągła na przedziale domkniętym osiąga wartość największą i najmniejszą; wartość pośrednia - że osiąga wszystko pomiędzy. Razem dają: obrazem przedziału domkniętego przez funkcję ciągłą jest przedział domknięty.

Dlaczego dowód wymaga zupełności liczb rzeczywistych? Bo bez niej ciąg połowionych przedziałów może „zbiegać do dziury” - jak w kontrprzykładzie z liczbami wymiernymi i $\sqrt{2}$. Zupełność gwarantuje, że punkt graniczny istnieje.

Czy funkcja z własnością Darboux musi być ciągła? Nie - to najczęstsza pułapka. Przykład $\sin\tfrac{1}{x}$ (z dowolną wartością w zerze z przedziału $\langle -1, 1 \rangle$) ma własność Darboux i nieciągłość w zerze. Dlatego „sprawdzenie wartości pośrednich” nie jest testem ciągłości.

Podsumowanie

• Funkcja ciągła na $\langle a, b \rangle$ przyjmuje każdą wartość między $f(a)$ a $f(b)$; w szczególności różne znaki na końcach gwarantują miejsce zerowe.
• Dowód to metoda bisekcji: połowienie przedziału + zasada zstępujących przedziałów Cantora; zupełność liczb rzeczywistych jest niezbędna (kontrprzykład: $x^2 - 2$ na wymiernych).
• Twierdzenie odwrotne jest fałszywe - własność Darboux nie wymusza ciągłości (ma ją każda pochodna).
• Bisekcja jest zarazem praktycznym algorytmem: jeden bit dokładności na krok, niezawodna przy samej ciągłości.
• Konsekwencje bliskie i dalekie: pierwiastek każdego wielomianu nieparzystego stopnia, stabilizacja chwiejącego się stołu obrotem, równe temperatury na antypodach.