Geometria płaska - twierdzenie sinusów i cosinusów, pole trójkąta i koła
Klasa 2 liceum i technikum
W pierwszej klasie trójkąty rozwiązywaliśmy głównie wtedy, gdy miały kąt prosty - działało twierdzenie Pitagorasa i trygonometria kąta ostrego. Ten dział daje narzędzia do dowolnego trójkąta: twierdzenie sinusów łączy boki z przeciwległymi kątami, a twierdzenie cosinusów uogólnia Pitagorasa na trójkąty bez kąta prostego.
Druga część działu to pole. Poznasz kilka wzorów na pole trójkąta - każdy wygodny przy innych danych - zobaczysz, jak zmienia się pole przy podobieństwie figur, policzysz pole koła i wycinka, a na koniec użyjesz pola jako narzędzia do dowodzenia twierdzeń.
Czego nauczysz się w tym dziale:
- stosować twierdzenie sinusów i wyznaczać promień okręgu opisanego na trójkącie;
- stosować twierdzenie cosinusów i rozpoznawać, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny;
- rozwiązywać dowolny trójkąt, czyli wyznaczać brakujące boki i kąty;
- liczyć pole trójkąta z wysokości, z dwóch boków i kąta, wzorem Herona i z promieni okręgów;
- korzystać z faktu, że pola figur podobnych mają się jak kwadrat skali;
- liczyć pole koła i wycinka koła;
- dowodzić twierdzeń metodą porównywania pól.
Warto wcześniej znać trygonometrię kąta ostrego, podobieństwo trójkątów oraz okrąg opisany i wpisany. Szybką kontrolę wyników daje kalkulator trójkąta. Pełne dowody obu twierdzeń są w haśle twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.
Do twierdzeń sinusów i cosinusów jest osobny zestaw zadań z rozwiązaniami: 49 zadań w 7 typach, od wyznaczania boku i kąta po zadania tekstowe i czworokąty.
