Układy równań w geometrii analitycznej - zadania krok po kroku

Klasa 2 liceum i technikum

Układ równań w geometrii analitycznej służy do wyznaczania punktów zadanych jako przecięcie dwóch linii: wierzchołek trójkąta to punkt wspólny dwóch boków, spodek wysokości - przecięcie wysokości z podstawą, środek okręgu opisanego - przecięcie symetralnych. Każde takie zadanie ma ten sam schemat: zapisz równania dwóch prostych, które przechodzą przez szukany punkt, i rozwiąż układ.

Poniższe zadania korzystają z równania kierunkowego i równania ogólnego prostej, równania okręgu oraz rachunków z lekcji punkty wspólne prostych, okręgów i parabol. Zadania 1-5 dotyczą jednego trójkąta, dzięki czemu wyniki można ze sobą porównywać.

Zadanie 1. Wierzchołki trójkąta z równań boków

Zadanie. Boki trójkąta $ABC$ zawierają się w prostych $AB\colon x - 2y = 0$, $BC\colon x + y - 6 = 0$ i $AC\colon 3x - y + 10 = 0$. Wyznacz wierzchołki.

Każdy wierzchołek leży na dwóch bokach, więc jest rozwiązaniem układu ich równań.

Krok 1. Wierzchołek $A$ - wspólny punkt prostych $AB$ i $AC$:

$\begin{cases} x - 2y = 0 \\ 3x - y + 10 = 0 \end{cases}$

Z pierwszego $x = 2y$, więc $6y - y + 10 = 0$, $y = -2$, $x = -4$. Zatem $A = (-4, -2)$.

Krok 2. Wierzchołek $B$ - proste $AB$ i $BC$: $x = 2y$ podstawiamy do $x + y - 6 = 0$ i dostajemy $3y = 6$, czyli $y = 2$, $x = 4$. Zatem $B = (4, 2)$.

Krok 3. Wierzchołek $C$ - proste $BC$ i $AC$. Dodajemy równania stronami (znika $y$): $4x + 4 = 0$, więc $x = -1$ i $y = 6 - x = 7$. Zatem $C = (-1, 7)$.

Odpowiedź. $A = (-4, -2)$, $B = (4, 2)$, $C = (-1, 7)$. Kontrola: każdy wierzchołek spełnia równania obu swoich boków, np. $C$: $-1 + 7 - 6 = 0$ i $-3 - 7 + 10 = 0$.

Zadanie 2. Wysokość trójkąta i jej spodek

Zadanie. Wyznacz równanie wysokości trójkąta z zadania 1 poprowadzonej z wierzchołka $C$, jej spodek $D$ i długość $|CD|$.

Krok 1. Kierunek wysokości. Bok $AB$ to $y = \frac{1}{2}x$, ma współczynnik kierunkowy $\frac{1}{2}$. Wysokość jest do niego prostopadła, więc jej współczynnik to $-2$ (bo $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$).

Krok 2. Wysokość przechodzi przez $C = (-1, 7)$: $y - 7 = -2(x + 1)$, czyli $y = -2x + 5$.

Krok 3. Spodek $D$ to punkt wspólny wysokości i boku $AB$:

$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x \\ y = -2x + 5 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}x = -2x + 5 \quad\Longrightarrow\quad x = 2,\ y = 1.$

Krok 4. Długość wysokości: $|CD| = \sqrt{(2 + 1)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

Odpowiedź. Wysokość: $y = -2x + 5$, spodek $D = (2, 1)$, $|CD| = 3\sqrt{5}$. Kontrola wzorem na odległość punktu od prostej $x - 2y = 0$: $\frac{|-1 - 14|}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$.

Zadanie 3. Pole trójkąta

Zadanie. Oblicz pole trójkąta $ABC$ z zadania 1.

Sposób 1. Podstawa razy wysokość. $|AB| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$, a wysokość z zadania 2 to $3\sqrt{5}$:

$P = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30.$

Sposób 2. Wzór ze współrzędnych (bez szukania wysokości):

$P = \frac{1}{2}\left|8 \cdot 9 - 4 \cdot 3\right| = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30.$

Tu $x_B - x_A = 8$, $y_C - y_A = 9$, $y_B - y_A = 4$, $x_C - x_A = 3$.

Odpowiedź. $P = 30$. Dwie niezależne metody dają ten sam wynik - to najlepsza kontrola.

Zadanie 4. Środek okręgu opisanego - przecięcie symetralnych

Zadanie. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ z zadania 1.

Środek okręgu opisanego jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków, więc leży na symetralnych boków (okrąg opisany na trójkącie). Wystarczą dwie symetralne.

Krok 1. Symetralna $AB$. Środek $AB$ to $(0, 0)$, a prostopadła do $y = \frac{1}{2}x$ ma współczynnik $-2$: $y = -2x$.

Krok 2. Symetralna $BC$. Środek $BC$ to $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)$. Bok $BC$: $y = -x + 6$ ma współczynnik $-1$, więc prostopadła ma współczynnik $1$: $y - \frac{9}{2} = x - \frac{3}{2}$, czyli $y = x + 3$.

Krok 3. Przecięcie symetralnych:

$\begin{cases} y = -2x \\ y = x + 3 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad -2x = x + 3 \quad\Longrightarrow\quad x = -1,\ y = 2.$

Krok 4. Promień to odległość środka od dowolnego wierzchołka: $R = |SB| = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$.

Odpowiedź. $S = (-1, 2)$, $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$. Kontrola: $|SA| = \sqrt{9 + 16} = 5$, $|SC| = \sqrt{0 + 25} = 5$.

Zadanie 5. Styczna do okręgu w danym punkcie

Zadanie. Wyznacz równanie stycznej do okręgu $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ w punkcie $P = (2, 6)$.

Krok 1. Czy $P$ leży na okręgu? $(2 + 1)^2 + (6 - 2)^2 = 9 + 16 = 25$ - tak.

Krok 2. Kierunek promienia $SP$. $m_{SP} = \frac{6 - 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}$.

Krok 3. Styczna jest prostopadła do promienia, więc ma współczynnik $-\frac{3}{4}$ i przechodzi przez $P$:

$y - 6 = -\frac{3}{4}(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{2} \quad\Longrightarrow\quad 3x + 4y - 30 = 0.$

Odpowiedź. $3x + 4y - 30 = 0$. Kontrola: odległość środka $S = (-1, 2)$ od tej prostej to $\frac{|-3 + 8 - 30|}{5} = 5 = R$, więc prosta jest styczna.

Zadanie 6. Czwarty wierzchołek równoległoboku

Zadanie. Punkty $A = (-3, 1)$, $B = (2, -1)$, $C = (4, 3)$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz wierzchołek $D = (x, y)$.

Sposób 1. Przekątne dzielą się na połowy. Środek $AC$ i środek $BD$ to ten sam punkt:

$\begin{cases} \frac{-3 + 4}{2} = \frac{2 + x}{2} \\ \frac{1 + 3}{2} = \frac{-1 + y}{2} \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x = -1 \\ y = 5 \end{cases}$

Sposób 2. Przecięcie dwóch prostych. $D$ leży na prostej przez $A$ równoległej do $BC$ i na prostej przez $C$ równoległej do $AB$. Współczynnik $BC$ to $\frac{3 + 1}{4 - 2} = 2$, a $AB$ to $\frac{-1 - 1}{2 + 3} = -\frac{2}{5}$:

$\begin{cases} y = 2x + 7 \\ y = -\frac{2}{5}x + \frac{23}{5} \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \frac{12}{5}x = -\frac{12}{5} \quad\Longrightarrow\quad x = -1,\ y = 5.$

Odpowiedź. $D = (-1, 5)$. Kontrola: przesunięcie z $A$ do $B$ to $(5, -2)$, z $D$ do $C$ też $(5, -2)$ - boki $AB$ i $DC$ są równe i równoległe.

Zadanie 7. Punkt na prostej równo oddalony od dwóch punktów

Zadanie. Na prostej $y = 2x - 3$ znajdź punkt $M$ równo oddalony od $K = (-2, 3)$ i $L = (4, 5)$.

Krok 1. Warunek równej odległości. Dla $M = (x, y)$ żądamy $|MK|^2 = |ML|^2$:

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 4)^2 + (y - 5)^2.$

Kwadraty $x^2$ i $y^2$ się redukują i zostaje $12x + 4y - 28 = 0$, czyli $3x + y - 7 = 0$. To równanie symetralnej odcinka $KL$.

Krok 2. Układ z prostą z zadania:

$\begin{cases} 3x + y - 7 = 0 \\ y = 2x - 3 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad 3x + 2x - 3 - 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2,\ y = 1.$

Odpowiedź. $M = (2, 1)$. Kontrola: $|MK|^2 = 16 + 4 = 20$ i $|ML|^2 = 4 + 16 = 20$.

Gdyby prosta z treści była równoległa do symetralnej (np. $y = -3x + 1$), układ byłby sprzeczny i takiego punktu by nie było - to częsty haczyk w zadaniach z parametrem.

Jak podejść do każdego zadania

• Nazwij szukany punkt i zapytaj: na jakich dwóch liniach leży? Wierzchołek - na dwóch bokach, spodek wysokości - na wysokości i boku, środek okręgu opisanego - na dwóch symetralnych.
• Zapisz równania tych linii. Najczęściej potrzebna jest prosta przez punkt o danym kierunku (równoległa: ten sam współczynnik, prostopadła: $-\frac{1}{m}$).
• Rozwiąż układ i sprawdź wynik w obu równaniach albo drugą metodą.
• Narysuj szkic. Nie zastąpi rachunku, ale od razu pokaże wynik, który „nie pasuje”.

Najczęstsze pytania

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych? Rozwiąż układ złożony z ich równań. Na przykład proste $x - 2y = 0$ i $3x - y + 10 = 0$ przecinają się w punkcie $(-4, -2)$.

Jak wyznaczyć wierzchołki trójkąta, gdy dane są równania jego boków? Rozwiąż trzy układy równań - po jednym dla każdej pary boków. Każdy wierzchołek to punkt wspólny dwóch boków, które w nim się spotykają.

Jak wyznaczyć spodek wysokości trójkąta? Zapisz równanie prostej prostopadłej do boku i przechodzącej przez przeciwległy wierzchołek, a potem rozwiąż układ tej prostej z równaniem boku.

Jak wyznaczyć środek okręgu opisanego na trójkącie w układzie współrzędnych? Zapisz równania symetralnych dwóch boków i rozwiąż ich układ. Promień to odległość otrzymanego punktu od dowolnego wierzchołka.

Jak wyznaczyć czwarty wierzchołek równoległoboku? Skorzystaj z tego, że przekątne mają wspólny środek: dla $ABCD$ jest $D = (x_A + x_C - x_B,\ y_A + y_C - y_B)$. Kolejność wierzchołków ma znaczenie - bez niej istnieją trzy różne równoległoboki.

Przećwicz

• Figury w układzie współrzędnych → - pole trójkąta, czwarty wierzchołek równoległoboku, wysokość, symetralna, okrąg opisany.
• Równanie prostej → - proste równoległe i prostopadłe, punkt przecięcia, odległość punktu od prostej.
• Prosta i okrąg → - równanie stycznej, punkty przecięcia, cięciwa.
• Odległość i środek odcinka → - m.in. punkt na osi równo oddalony od dwóch punktów.

Cały zestaw: geometria analityczna - zadania z rozwiązaniami. Wzory w jednym miejscu: geometria analityczna - wzory.

Podsumowanie

• Szukany punkt prawie zawsze jest przecięciem dwóch prostych - jego współrzędne daje układ równań.
• Wierzchołki trójkąta: układy równań par boków. Spodek wysokości: wysokość (prostopadła przez wierzchołek) i bok.
• Środek okręgu opisanego: przecięcie dwóch symetralnych; promień to odległość od wierzchołka.
• Pole trójkąta: $\frac{1}{2} \cdot$ podstawa $\cdot$ wysokość albo wzór ze współrzędnych - dobra wzajemna kontrola.
• Styczna w punkcie okręgu jest prostopadła do promienia; czwarty wierzchołek równoległoboku daje wspólny środek przekątnych.
• Punkt równo oddalony od dwóch punktów leży na ich symetralnej.