Pole koła i pole wycinka koła - wzory i przykłady

Klasa 2 liceum i technikum

Pole koła o promieniu $r$ wynosi $\pi r^2$, a pole wycinka o kącie środkowym $\alpha$ to $\frac{\alpha}{360^\circ}$ pola całego koła. Ta sama proporcja działa dla długości łuku: łuk stanowi taką część całego okręgu, jaką kąt $\alpha$ stanowi w kącie pełnym. Pozostałe figury z tej lekcji - odcinek koła, pierścień, „księżyce” - liczymy, dodając i odejmując pola koła, wycinka i trójkąta.

Skąd się bierze wzór na pole koła

Potnijmy koło o promieniu $r$ na dużo jednakowych wycinków i ułóżmy je na przemian: raz wierzchołkiem do góry, raz do dołu. Powstaje figura bardzo podobna do prostokąta.

• Wysokość tej figury to prawie dokładnie promień $r$ (boki wycinków to promienie).
• Podstawa składa się z łuków połowy wycinków - to połowa obwodu, czyli $\frac{1}{2} \cdot 2\pi r = \pi r$.

Im więcej wycinków, tym brzegi są prostsze, a figura coraz bliższa prostokątowi o bokach $\pi r$ i $r$. Jego pole to $\pi r \cdot r = \pi r^2$ - i to jest pole koła. Ten sam pomysł (rozcinamy, przekładamy, liczymy pole prostszej figury) poznałeś w lekcji pole figury płaskiej.

Obwód koła i liczba π

Liczba $\pi$ to stosunek długości okręgu do jego średnicy - jednakowy dla każdego okręgu. Stąd obwód (dokładniej: długość okręgu) $L = \pi d = 2\pi r$. Liczba $\pi$ jest niewymierna, więc w obliczeniach zostawiamy ją w wyniku ($25\pi$) albo zastępujemy przybliżeniem.

Ułamek $\frac{22}{7}$ znał już Archimedes, a $\frac{355}{113}$ - chiński matematyk Zu Chongzhi w V wieku. Jeśli zadanie nie mówi, jakiego przybliżenia użyć, zostaw $\pi$ w wyniku.

Przykład 1 - pole koła, gdy znamy obwód

Zadanie. Obwód koła wynosi $18\pi$. Oblicz pole tego koła.

Krok 1. Z obwodu wyznaczamy promień: $2\pi r = 18\pi$, więc $r = 9$.

Krok 2. Liczymy pole:

$P = \pi \cdot 9^2 = 81\pi \approx 254{,}47.$

Odpowiedź. $P = 81\pi \approx 254{,}47$.

Pułapka: gdy w zadaniu jest średnica, najpierw dzielimy ją przez $2$. Koło o średnicy $14$ ma promień $7$ i pole $49\pi \approx 153{,}94$, a nie $196\pi$.

Pole wycinka koła i długość łuku

Wycinek koła to część koła ograniczona dwoma promieniami i łukiem. Odcinek koła to część koła odcięta cięciwą. Na rysunku oba mają ten sam kąt środkowy $\alpha$.

Kąt środkowy $\alpha$ wycina z koła część $\frac{\alpha}{360^\circ}$, więc:

$P_{\text{wycinka}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2, \qquad l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r.$

Wzory łuku i kąta środkowego poznałeś już przy kącie wpisanym i środkowym. Tu dochodzi wygodna zależność: $P_{\text{wycinka}} = \frac{1}{2}\, l \, r$ - jak pole „trójkąta” o podstawie $l$ i wysokości $r$.

Przykład 2 - wycinek o kącie 144°

Zadanie. Oblicz pole wycinka i długość łuku dla $r = 10$ i $\alpha = 144^\circ$.

Krok 1. Jaką część koła stanowi wycinek? $\frac{144^\circ}{360^\circ} = \frac{2}{5}$.

Krok 2. Pole wycinka: $\frac{2}{5} \cdot \pi \cdot 10^2 = 40\pi$.

Krok 3. Długość łuku: $\frac{2}{5} \cdot 2\pi \cdot 10 = 8\pi$. Sprawdzenie: $\frac{1}{2} \cdot 8\pi \cdot 10 = 40\pi$ - zgadza się z krokiem 2.

Odpowiedź. $P = 40\pi \approx 125{,}66$, $l = 8\pi \approx 25{,}13$.

Przykład 3 - kąt środkowy z pola wycinka

Zadanie. Wycinek koła o promieniu $6$ ma pole $15\pi$. Oblicz jego kąt środkowy i długość łuku.

Krok 1. Pole koła to $36\pi$, więc wycinek stanowi $\frac{15\pi}{36\pi} = \frac{5}{12}$ koła.

Krok 2. Kąt to ta sama część kąta pełnego: $\alpha = \frac{5}{12} \cdot 360^\circ = 150^\circ$.

Krok 3. Łuk: $\frac{5}{12} \cdot 12\pi = 5\pi$.

Odpowiedź. $\alpha = 150^\circ$, $l = 5\pi$.

Pole odcinka koła

Odcinek koła (dla $\alpha < 180^\circ$) to wycinek minus trójkąt $AOB$. Trójkąt ma dwa boki równe $r$ i kąt $\alpha$ między nimi, więc jego pole liczymy wzorem $\frac{1}{2} r^2 \sin\alpha$ z lekcji wzory na pole trójkąta:

$P_{\text{odcinka}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin\alpha.$

Przykład 4 - odcinek odcięty bokiem sześciokąta

Zadanie. W koło o promieniu $6$ wpisano sześciokąt foremny. Oblicz pole jednego z sześciu odcinków koła leżących między bokiem sześciokąta a okręgiem.

Krok 1. Bok sześciokąta widać ze środka pod kątem $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$. Wycinek: $\frac{1}{6} \cdot 36\pi = 6\pi$.

Krok 2. Trójkąt $AOB$ jest równoboczny o boku $6$: $\frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \sin 60^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$.

Krok 3. Odejmujemy:

$P = 6\pi - 9\sqrt{3} \approx 18{,}85 - 15{,}59 = 3{,}26.$

Odpowiedź. $P = 6\pi - 9\sqrt{3} \approx 3{,}26$.

Przykład 5 - mniejszy i większy odcinek

Zadanie. Cięciwa koła o promieniu $4$ wyznacza kąt środkowy $120^\circ$. Oblicz pola obu odcinków koła, na które ta cięciwa dzieli koło.

Krok 1. Mniejszy odcinek: wycinek $\frac{1}{3} \cdot 16\pi = \frac{16\pi}{3}$ minus trójkąt $\frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \sin 120^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$:

$P_1 = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} \approx 9{,}83.$

Krok 2. Większy odcinek to reszta koła:

$P_2 = 16\pi - \left(\frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}\right) = \frac{32\pi}{3} + 4\sqrt{3} \approx 40{,}44.$

Odpowiedź. $P_1 = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3} \approx 9{,}83$, $P_2 = \frac{32\pi}{3} + 4\sqrt{3} \approx 40{,}44$.

Odcinek większy od półkola (kąt ponad $180^\circ$) najprościej liczyć właśnie tak: pole koła minus mniejszy odcinek. Trójkąt $AOB$ się wtedy dodaje do wycinka, a nie odejmuje.

Pierścień kołowy

Pierścień kołowy to figura między dwoma okręgami o wspólnym środku i promieniach $R > r$. Jego pole to różnica pól kół: $P = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

Przykład 6 - pierścień z promieni i z cięciwy

Zadanie a. Oblicz pole pierścienia o promieniach $R = 7$ i $r = 4$.

$P = \pi(49 - 16) = 33\pi \approx 103{,}67.$

Zadanie b. Cięciwa większego okręgu jest styczna do mniejszego i ma długość $10$. Oblicz pole pierścienia, nie znając promieni.

Krok 1. Promień mniejszego okręgu poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do cięciwy i dzieli ją na połowy (po $5$).

Krok 2. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie o bokach $r$, $5$ i $R$: $R^2 = r^2 + 25$, czyli $R^2 - r^2 = 25$.

Krok 3. $P = \pi(R^2 - r^2) = 25\pi \approx 78{,}54$.

Odpowiedź. a) $33\pi$, b) $25\pi$ - wynik nie zależy od tego, jakie dokładnie są promienie.

Figury złożone z łuków

Pola „dziwnych” figur ograniczonych łukami liczymy zawsze tak samo: szukamy figur, które umiemy policzyć (koło, wycinek, trójkąt, kwadrat), i dodajemy lub odejmujemy ich pola.

Przykład 7 - pole między kwadratem a kołem wpisanym

Zadanie. W kwadrat o boku $10$ wpisano koło. Oblicz łączne pole czterech narożników kwadratu leżących poza kołem.

Koło wpisane ma średnicę równą bokowi, więc $r = 5$. Pole narożników:

$P = 10^2 - \pi \cdot 5^2 = 100 - 25\pi \approx 21{,}46.$

Odpowiedź. $100 - 25\pi \approx 21{,}46$ (jeden narożnik: czwarta część, ok. $5{,}37$).

Przykład 8 - soczewka z dwóch ćwiartek koła

Zadanie. W kwadracie o boku $4$ narysowano dwie ćwiartki okręgów o promieniu $4$ i środkach w przeciwległych wierzchołkach (jak na rysunku po prawej). Oblicz pole soczewki.

Krok 1. Przekątna dzieli soczewkę na dwa jednakowe odcinki koła o kącie $90^\circ$.

Krok 2. Jeden odcinek: ćwiartka koła minus trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $4$: $\frac{1}{4} \cdot 16\pi - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 4\pi - 8$.

Krok 3. Soczewka: $2(4\pi - 8) = 8\pi - 16 \approx 9{,}13$.

Odpowiedź. $P = 8\pi - 16 \approx 9{,}13$.

Przykład 9 - księżyce Hipokratesa

Na bokach trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ i $8$ (przeciwprostokątna $10$) zbudowano półkola: na przyprostokątnych - na zewnątrz, a na przeciwprostokątnej - po stronie trójkąta. Ile wynosi łączne pole dwóch „księżyców” $K_1$ i $K_2$?

Krok 1. Pola półkoli: na boku $6$ ($r = 3$) - $\frac{9\pi}{2}$, na boku $8$ ($r = 4$) - $8\pi$, na boku $10$ ($r = 5$) - $\frac{25\pi}{2}$.

Krok 2. Półkole na przeciwprostokątnej to trójkąt plus dwa odcinki koła. Księżyce to małe półkola bez tych odcinków:

$K_1 + K_2 = \frac{9\pi}{2} + 8\pi - \left(\frac{25\pi}{2} - 24\right) = 24.$

Odpowiedź. $24$ - dokładnie tyle, ile pole trójkąta ($\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8$). Liczba $\pi$ się skróciła, bo $\frac{9\pi}{2} + 8\pi = \frac{25\pi}{2}$ - to twierdzenie Pitagorasa zapisane polami półkoli. Tak jest dla każdego trójkąta prostokątnego. Ten wynik zna się od V wieku p.n.e. (Hipokrates z Chios) - to jedna z pierwszych figur ograniczonych łukami, której pole udało się wyrazić bez $\pi$. Więcej o liczeniu pola przez porównywanie figur w lekcji pole w dowodach twierdzeń.

Typowe błędy

• Średnica zamiast promienia. Wzór $\pi r^2$ wymaga promienia; dla $d = 14$ pole to $49\pi$, nie $196\pi$.
• Mylenie obwodu z polem. $2\pi r$ to długość (w cm), $\pi r^2$ - pole (w cm²).
• Wycinek zamiast odcinka. Odcinek koła to wycinek bez trójkąta; jeśli w zadaniu jest cięciwa, prawie na pewno trzeba odjąć trójkąt.
• Pierścień jako $\pi(R - r)^2$. Poprawnie: $\pi(R^2 - r^2)$. Dla $R = 7$, $r = 4$ błędny wzór daje $9\pi$ zamiast $33\pi$.
• Za wczesne przybliżanie $\pi$. Licz z $\pi$ do końca i przybliżaj dopiero wynik.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pole koła, mając obwód? Z obwodu wyznacz promień: $r = \frac{L}{2\pi}$, potem $P = \pi r^2$. Dla $L = 18\pi$ wychodzi $r = 9$ i $P = 81\pi$.

Jak obliczyć pole koła, mając średnicę? Podziel średnicę przez $2$ i podstaw do $\pi r^2$. Można też od razu użyć $P = \frac{\pi d^2}{4}$.

Jaki jest wzór na pole wycinka koła?$P = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$, gdzie $\alpha$ to kąt środkowy w stopniach. Równoważnie $P = \frac{1}{2}\, l\, r$, gdy znasz długość łuku $l$.

Czym różni się wycinek koła od odcinka koła? Wycinek ograniczają dwa promienie i łuk (kształt kawałka pizzy), a odcinek - cięciwa i łuk. Pole odcinka to pole wycinka minus pole trójkąta utworzonego przez promienie i cięciwę.

Ile wynosi pole koła o promieniu 1? Dokładnie $\pi \approx 3{,}14$. Dlatego liczbę $\pi$ można zdefiniować także jako pole koła o promieniu $1$.

Dlaczego pole koła to πr²? Bo koło pocięte na bardzo wąskie wycinki i przełożone naprzemiennie daje prawie prostokąt o bokach $\pi r$ (połowa obwodu) i $r$. Jego pole to $\pi r \cdot r = \pi r^2$.

Jak obliczyć długość łuku?$l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$. Dla $r = 10$ i $\alpha = 144^\circ$: $l = 8\pi$.

Podsumowanie

• Pole koła $P = \pi r^2$, długość okręgu $L = 2\pi r$; $\pi \approx 3{,}14$.
• Wycinek i łuk to część $\frac{\alpha}{360^\circ}$ koła i okręgu; $P_{\text{wycinka}} = \frac{1}{2}\, l\, r$.
• Odcinek koła = wycinek minus trójkąt o polu $\frac{1}{2} r^2 \sin\alpha$.
• Pierścień: $\pi(R^2 - r^2)$ - wystarczy znać różnicę kwadratów promieni.
• Figury z łuków rozkładamy na koła, wycinki, trójkąty i kwadraty - i dodajemy lub odejmujemy pola.

Przećwicz

• Łuki i wycinki - zadania z rozwiązaniami → - długość łuku, pole wycinka, kąt środkowy z pola i pierścień kołowy.
• Wzory na koło i okrąg → - tabela wzorów, także w radianach.
• Miara łukowa kąta → - radiany oraz wzory l = rα i P = ½r²α, w których kąt podajemy w radianach.
• Poprzednia lekcja: pola figur podobnych; następna: pole w dowodach twierdzeń.