Odcinek w układzie współrzędnych - długość, środek i zadania

Klasa 2 liceum i technikum

Długość odcinka $AB$ w układzie współrzędnych to pierwiastek z sumy kwadratów różnic współrzędnych jego końców - wzór jest twierdzeniem Pitagorasa zapisanym w liczbach. Środek odcinka ma współrzędne równe średnim arytmetycznym współrzędnych końców: „połowa drogi” w poziomie i „połowa drogi” w pionie.

To pierwsza lekcja geometrii analitycznej i fundament wszystkich następnych: odległość punktów pojawi się w równaniu okręgu, a środek odcinka - przy symetralnych, środkowych i przekątnych. Same wzory zebrano też na stronie długość i środek odcinka - wzory; tutaj pokazujemy, skąd się biorą i jak z nich korzystać w zadaniach.

Skąd się bierze wzór na długość odcinka

Weźmy punkty $A = (1, 1)$ i $B = (5, 4)$. Dorysujmy punkt $C = (5, 1)$ - leży on na tej samej wysokości co $A$ i na tej samej pionowej co $B$. Trójkąt $ABC$ jest prostokątny, bo odcinek $AC$ jest poziomy, a $CB$ pionowy.

Krok 1. Przyprostokątne to różnice współrzędnych. Odcinek poziomy $AC$ ma długość $x_B - x_A = 5 - 1 = 4$, a pionowy $CB$ - długość $y_B - y_A = 4 - 1 = 3$.

Krok 2. Twierdzenie Pitagorasa. Z twierdzenia Pitagorasa:

$|AB|^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25, \qquad |AB| = 5.$

Krok 3. Uogólnienie. Dla dowolnych punktów przyprostokątne mają długości $|x_B - x_A|$ i $|y_B - y_A|$. Wartość bezwzględna znika przy podnoszeniu do kwadratu, więc:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.$

Dzięki kwadratom kolejność punktów nie ma znaczenia: $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$. Wzór działa też wtedy, gdy punkty leżą w różnych ćwiartkach - nie trzeba niczego rysować.

Ten sam rachunek daje długość wektora: $|AB|$ to długość wektora $\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]$, o którym była mowa w lekcji wektor w układzie współrzędnych.

Obliczanie długości odcinka - przykłady

Przykład 1. Oblicz długość odcinka o końcach $A = (-2, 3)$ i $B = (4, -5)$.

Krok 1. Różnice współrzędnych: $x_B - x_A = 4 - (-2) = 6$ oraz $y_B - y_A = -5 - 3 = -8$.

Krok 2. Podstawiamy do wzoru:

$|AB| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.$

Odpowiedź: $|AB| = 10$.

Przykład 2. Oblicz długość odcinka o końcach $P = (-1, 2)$ i $Q = (3, 4)$.

$|PQ| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.$

Wynik niewymierny zostawiamy w postaci pierwiastka i wyłączamy czynnik przed pierwiastek - $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$.

Odcinki równoległe do osi

Gdy końce mają tę samą drugą współrzędną, odcinek jest poziomy i jego długość to po prostu różnica pierwszych współrzędnych (w wartości bezwzględnej). Podobnie odcinek pionowy:

Wzór ogólny daje w tych przypadkach to samo: dla $A = (-3, 2)$, $B = (5, 2)$ wychodzi $\sqrt{8^2 + 0^2} = 8$. Odcinki równoległe do osi rozpoznajemy jednak od razu i liczymy w pamięci.

Środek odcinka

Środek $S$ odcinka $AB$ dzieli go na dwie równe części. Rzut na oś $OX$ też dzieli się na połowy, więc pierwsza współrzędna środka leży w połowie między $x_A$ a $x_B$ - to ich średnia arytmetyczna. Tak samo z drugą współrzędną:

$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).$

Na rysunku wyżej: $S = \left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{1 + 4}{2}\right) = (3;\ 2{,}5)$. Gdy współrzędne mają przecinek dziesiętny, punkty oddzielamy średnikiem, żeby nie pomylić $(3;\ 2{,}5)$ z trzema liczbami.

Przykład 3. Wyznacz środek odcinka o końcach $A = (-2, 3)$ i $B = (4, -5)$.

$S = \left(\frac{-2 + 4}{2},\ \frac{3 + (-5)}{2}\right) = \left(\frac{2}{2},\ \frac{-2}{2}\right) = (1, -1).$

Uwaga na częsty błąd: środek to suma podzielona przez $2$, a nie różnica. Różnica współrzędnych podzielona przez $2$ daje połowę długości rzutu, a nie położenie środka.

Brakujący koniec odcinka

Często znamy środek $S$ i jeden koniec $A$, a szukamy drugiego końca $B$. Ze wzoru na środek $x_S = \frac{x_A + x_B}{2}$, więc $x_B = 2x_S - x_A$ - i analogicznie dla drugiej współrzędnej.

Przykład 4. Punkt $S = (2, -1)$ jest środkiem odcinka $AB$, a $A = (-3, 4)$. Wyznacz $B$.

Krok 1. Pierwsza współrzędna: $x_B = 2 \cdot 2 - (-3) = 4 + 3 = 7$.

Krok 2. Druga współrzędna: $y_B = 2 \cdot (-1) - 4 = -2 - 4 = -6$.

Krok 3. Sprawdzenie. Środek odcinka o końcach $(-3, 4)$ i $(7, -6)$ to $\left(\frac{-3 + 7}{2}, \frac{4 - 6}{2}\right) = (2, -1)$ - zgadza się.

Odpowiedź: $B = (7, -6)$.

Można też myśleć wektorowo: z $A$ do $S$ idziemy o $[5, -5]$, więc z $S$ do $B$ - o ten sam wektor. Tak wyznacza się na przykład czwarty wierzchołek równoległoboku (przekątne dzielą się na połowy).

Zastosowania: obwód i rodzaj trójkąta

Mając wierzchołki trójkąta, liczymy długości trzech boków - a z nich obwód i rodzaj trójkąta.

Przykład 5. Oblicz obwód trójkąta o wierzchołkach $A = (-2, -1)$, $B = (4, -1)$, $C = (1, 3)$ i rozstrzygnij, czy jest równoramienny.

Krok 1. Bok $AB$ jest poziomy: $|AB| = 4 - (-2) = 6$.

Krok 2. Pozostałe boki:

$|AC| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \qquad |BC| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5.$

Krok 3. Obwód: $6 + 5 + 5 = 16$. Dwa boki są równe, więc trójkąt jest równoramienny (o podstawie $AB$).

Przykład 6. Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach $K = (-1, -1)$, $L = (5, 2)$, $M = (3, 6)$ jest prostokątny.

Do twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wystarczą kwadraty długości - nie trzeba wyciągać pierwiastków:

$|KL|^2 = 6^2 + 3^2 = 45, \qquad |LM|^2 = (-2)^2 + 4^2 = 20, \qquad |KM|^2 = 4^2 + 7^2 = 65.$

Najdłuższy jest bok $KM$, a $45 + 20 = 65$, czyli $|KL|^2 + |LM|^2 = |KM|^2$. Trójkąt jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku $L$ (naprzeciw najdłuższego boku).

Punkt na osi równo oddalony od dwóch punktów

Przykład 7. Na osi $OX$ znajdź punkt $P$ równo oddalony od $A = (1, 4)$ i $B = (5, 2)$.

Krok 1. Punkt na osi $OX$ ma drugą współrzędną równą zero: $P = (x, 0)$.

Krok 2. Warunek $|PA| = |PB|$ zapisujemy dla kwadratów (obie strony są dodatnie, więc to równoważne):

$(x - 1)^2 + 4^2 = (x - 5)^2 + 2^2.$

Krok 3. Po rozwinięciu $x^2$ się redukuje:

$x^2 - 2x + 17 = x^2 - 10x + 29 \quad\Rightarrow\quad 8x = 12 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{3}{2}.$

Odpowiedź: $P = (1{,}5;\ 0)$. Sprawdzenie: $|PA|^2 = 0{,}25 + 16 = 16{,}25$ oraz $|PB|^2 = 12{,}25 + 4 = 16{,}25$.

Wszystkie punkty równo oddalone od $A$ i $B$ tworzą symetralną odcinka $AB$. Jej równanie zapiszemy w następnej lekcji, gdy poznamy równanie kierunkowe prostej.

Długość odcinka z parametrem

Przykład 8. Dla jakich $m$ odcinek o końcach $A = (1, m)$ i $B = (4, 2)$ ma długość $5$?

$\sqrt{3^2 + (2 - m)^2} = 5 \quad\Rightarrow\quad 9 + (2 - m)^2 = 25 \quad\Rightarrow\quad (2 - m)^2 = 16.$

Stąd $2 - m = 4$ albo $2 - m = -4$, czyli $m = -2$ lub $m = 6$. Dwa rozwiązania mają sens: na pionowej prostej $x = 1$ są dwa punkty odległe o $5$ od $B$ - jeden niżej, drugi wyżej.

Typowe błędy

• Zgubiony minus przy odejmowaniu liczby ujemnej: $4 - (-2) = 6$, a nie $2$.
• Kwadrat liczby ujemnej: $(-8)^2 = 64$, a nie $-64$ - długość nigdy nie wychodzi ujemna.
• „Pierwiastek z sumy to suma pierwiastków”: $\sqrt{36 + 64} = 10$, a nie $6 + 8 = 14$.
• Środek jako różnica: we wzorze na środek współrzędne się dodaje.
• Mieszanie współrzędnych: od $x$ odejmujemy $x$, od $y$ - $y$. Najbezpieczniej najpierw wypisać obie różnice, a dopiero potem podnosić do kwadratu.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć długość odcinka mając współrzędne? Odejmij od siebie pierwsze współrzędne końców i drugie współrzędne, podnieś obie różnice do kwadratu, dodaj i wyciągnij pierwiastek: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Jak obliczyć środek odcinka? Dodaj pierwsze współrzędne końców i podziel przez $2$, potem to samo z drugimi współrzędnymi. Środek odcinka o końcach $(-2, 3)$ i $(4, -5)$ to $(1, -1)$.

Czy kolejność punktów we wzorze na długość ma znaczenie? Nie. Różnice są podnoszone do kwadratu, więc $(x_B - x_A)^2 = (x_A - x_B)^2$. Ważne jest tylko, żeby w obu nawiasach odejmować w tej samej kolejności - przy długości i tak nie zmienia to wyniku.

Jak znaleźć drugi koniec odcinka, gdy znam środek? Podwój współrzędne środka i odejmij współrzędne znanego końca: $B = (2x_S - x_A,\ 2y_S - y_A)$.

Skąd wiadomo, że trójkąt jest prostokątny, jeśli mam tylko współrzędne? Oblicz kwadraty długości boków. Jeśli suma dwóch mniejszych równa się największemu, trójkąt jest prostokątny - to twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Czy długość odcinka może być liczbą niewymierną? Tak, i zdarza się to często - na przykład $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Wynik zostawiamy w postaci pierwiastka, a przybliżenie podajemy tylko wtedy, gdy zadanie o to prosi.

Przećwicz

• Długość i środek odcinka → - długość, środek, brakujący koniec, punkt na osi i odcinek z parametrem.
• Figury w układzie współrzędnych → - trójkąty i czworokąty ze współrzędnych wierzchołków.
• Cały zestaw: geometria analityczna - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ - to twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta z przyprostokątnymi równymi różnicom współrzędnych.
• Odcinek poziomy ma długość $|x_B - x_A|$, pionowy - $|y_B - y_A|$.
• Środek odcinka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców; brakujący koniec: $B = (2x_S - x_A,\ 2y_S - y_A)$.
• Rodzaj trójkąta rozpoznajemy po długościach boków, a kąt prosty - po kwadratach długości.
• Punkt równo oddalony od dwóch punktów wyznaczamy z równania $|PA|^2 = |PB|^2$.