Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników

Klasa 1 liceum i technikum

Pomysł metody

Skoro w układzie równań obie strony każdego równania są równe, to wolno dodać równania stronami: lewą stronę do lewej, prawą do prawej - równość zostanie zachowana. Cały trik polega na tym, żeby przed dodaniem doprowadzić współczynniki przy jednej niewiadomej do liczb przeciwnych - wtedy po dodaniu ta niewiadoma zniknie i zostanie równanie z jedną niewiadomą.

Stąd inna nazwa tej metody: metoda dodawania stronami (albo metoda eliminacji - „eliminujemy” jedną niewiadomą).

Przykład 1 - współczynniki już są przeciwne

Przykład 1. Rozwiąż układ równań $\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Krok 1. Przy $y$ stoją współczynniki $1$ i $-1$ - już są przeciwne, niczego nie trzeba mnożyć.

Krok 2. Dodajemy równania stronami:

$(x + y) + (x - y) = 4 + 2 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.$

Krok 3. Podstawiamy $x = 3$ do pierwszego równania: $3 + y = 4$, więc $y = 1$.

Krok 4. Sprawdzenie: $3 + 1 = 4\ \checkmark$ oraz $3 - 1 = 2\ \checkmark$.

Odpowiedź: $x = 3$, $y = 1$. (To ten sam układ, który rozwiązaliśmy graficznie - wynik oczywiście ten sam, ale tu mamy go bez rysowania.)

Przykład 2 - mnożymy jedno równanie

Przykład 2. Rozwiąż układ równań $\begin{cases} x + y = 15 \\ 2x + 3y = 38 \end{cases}$

Krok 1. Przy $x$ stoją współczynniki $1$ i $2$. Wystarczy pomnożyć pierwsze równanie przez $-2$, by otrzymać parę $-2$ i $2$:

$\begin{cases} -2x - 2y = -30 \\ 2x + 3y = 38 \end{cases}$

Uwaga: mnożymy obie strony równania - prawa strona też! Zapomnienie o pomnożeniu prawej strony to najczęstszy błąd w tej metodzie.

Krok 2. Dodajemy stronami:

$(-2x - 2y) + (2x + 3y) = -30 + 38 \quad\Longrightarrow\quad y = 8.$

Krok 3. Podstawiamy $y = 8$ do równania $x + y = 15$: otrzymujemy $x = 7$.

Krok 4. Sprawdzenie: $7 + 8 = 15\ \checkmark$ oraz $2 \cdot 7 + 3 \cdot 8 = 38\ \checkmark$.

Odpowiedź: $x = 7$, $y = 8$ - zgodnie z wynikiem, który w lekcji o metodzie podstawiania dało podstawianie. Każda poprawna metoda prowadzi do tego samego rozwiązania.

Przykład 3 - mnożymy oba równania

Czasem żadna pojedyncza liczba nie wystarczy - wtedy mnożymy oba równania tak, by przy wybranej niewiadomej pojawiła się para współczynników przeciwnych (najwygodniej: najmniejsza wspólna wielokrotność).

Przykład 3. Rozwiąż układ równań $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{cases}$

Krok 1. Eliminujemy $y$: współczynniki $2$ i $-3$. Ich najmniejsza wspólna wielokrotność to $6$, a znaki już są różne - mnożymy pierwsze równanie przez $3$, a drugie przez $2$:

$\begin{cases} 9x + 6y = 21 \\ 8x - 6y = -4 \end{cases}$

Krok 2. Dodajemy stronami:

$17x = 17 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.$

Krok 3. Podstawiamy $x = 1$ do pierwszego równania układu: $3 + 2y = 7$, czyli $y = 2$.

Krok 4. Sprawdzenie: $3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 7\ \checkmark$ oraz $4 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -2\ \checkmark$.

Odpowiedź: $x = 1$, $y = 2$.

A gdy znaki są takie same? Jeśli po doprowadzeniu do wspólnej wielokrotności współczynniki mają ten sam znak (np. $6$ i $6$), wystarczy jedno z równań pomnożyć przez liczbę ujemną - albo po prostu odjąć równania stronami. To ta sama metoda; dodawanie liczb przeciwnych i odejmowanie liczb równych dają ten sam efekt.

Układ sprzeczny i nieoznaczony

Tak jak przy podstawianiu, metoda sama sygnalizuje przypadki szczególne.

Przykład 4. Rozwiąż układ równań $\begin{cases} 2x - y = 1 \\ 4x - 2y = 5 \end{cases}$

Mnożymy pierwsze równanie przez $-2$: $\ -4x + 2y = -2$. Dodajemy stronami do drugiego:

$(-4x + 2y) + (4x - 2y) = -2 + 5 \quad\Longrightarrow\quad 0 = 3.$

Zdanie fałszywe - układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązań. (Gdyby po redukcji zostało zdanie prawdziwe, np. $0 = 0$, układ byłby nieoznaczony - nieskończenie wiele rozwiązań.)

Podstawianie czy przeciwne współczynniki - co wybrać?

Obie metody są równoprawne i zawsze skuteczne; różnią się wygodą:

• podstawianie jest naturalne, gdy któraś niewiadoma ma współczynnik $1$ lub $-1$ (łatwo ją wyznaczyć bez ułamków);
• przeciwne współczynniki błyszczą, gdy współczynniki są „duże” (np. $3x + 2y$ i $4x - 3y$) - zamiast brnąć w ułamki, mnożymy i dodajemy;
• w zadaniach tekstowych często jedno równanie ma postać $x + y = \ldots$ - wtedy obie metody są równie szybkie.

Najczęstsze pytania

Na czym polega metoda przeciwnych współczynników? Doprowadzamy współczynniki przy jednej niewiadomej do liczb przeciwnych (mnożąc równania przez odpowiednie liczby), a następnie dodajemy równania stronami. Jedna niewiadoma się redukuje i zostaje równanie z jedną niewiadomą.

Dlaczego wolno dodawać równania stronami? Bo dodajemy do siebie liczby równe: skoro $L_1 = P_1$ i $L_2 = P_2$, to także $L_1 + L_2 = P_1 + P_2$. To przekształcenie nie psuje rozwiązań układu.

Czy mnożąc równanie, mnoży się też prawą stronę? Tak - zawsze obie strony. Pomnożenie tylko lewej strony zmienia równanie na nierównoważne i prowadzi do błędnego wyniku.

Przećwicz

• Metoda przeciwnych współczynników → - dodawanie stronami i mnożenie równań przed dodaniem.

Podsumowanie

• Metoda przeciwnych współczynników (dodawania stronami): doprowadź współczynniki przy jednej niewiadomej do liczb przeciwnych, dodaj równania stronami, rozwiąż, podstaw, sprawdź.
• Mnożąc równanie przez liczbę, mnożysz obie strony.
• Gdy trzeba, mnożymy oba równania (najwygodniej do najmniejszej wspólnej wielokrotności).
• Redukcja wszystkich niewiadomych: zdanie fałszywe = układ sprzeczny, prawdziwe = nieoznaczony.
• Wybór metody to kwestia wygody - wynik zawsze wychodzi ten sam.