Symetria środkowa względem punktu (0, 0)

Klasa 2 liceum i technikum

Symetria środkowa - przypomnienie

Symetria środkowa względem punktu $S$ przenosi punkt $P$ w taki punkt $P'$, że $S$ jest środkiem odcinka $PP'$. Innymi słowy: obracamy figurę o $180^\circ$ wokół punktu $S$.

Nas interesuje przypadek $S = (0, 0)$, czyli obrót wokół początku układu. Wtedy obie współrzędne zmieniają znak:

$(x,\ y) \to (-x,\ -y).$

Dlaczego wzorem jest y = −f(−x)

Rozłóżmy przekształcenie na dwa kroki, które już znamy z symetrii osiowej:

1. odbicie względem osi $OY$ daje $y = f(-x)$, czyli zmianę znaku argumentu;
2. odbicie względem osi $OX$ zmienia znak wartości, więc otrzymujemy $y = -f(-x)$.

Po obu krokach punkt $(x_0, y_0)$ trafia w $(-x_0, -y_0)$ - dokładnie tak, jak w symetrii środkowej. Kolejność kroków nie ma znaczenia: odbicie „najpierw w pionie, potem w poziomie” daje ten sam wynik.

Co się zmienia

Symetria środkowa odbija zarówno argumenty, jak i wartości, więc:

• dziedzina odbija się względem zera (np. $\langle -1;\ 5\rangle \to \langle -5;\ 1\rangle$);
• zbiór wartości też odbija się względem zera;
• miejsca zerowe zmieniają znak;
• monotoniczność zostaje zachowana! To zaskakujące, ale prawdziwe: dwie zmiany znaku znoszą się nawzajem, więc funkcja rosnąca pozostaje rosnąca (tyle że w odbitym przedziale).

Ta ostatnia własność odróżnia symetrię środkową od obu symetrii osiowych, które monotoniczność odwracają.

Przykład - na wzorze

Niech $f(x) = x^2 - 4x$. Wtedy

$-f(-x) = -\Big((-x)^2 - 4(-x)\Big) = -\big(x^2 + 4x\big) = -x^2 - 4x.$

Wierzchołek $(2, -4)$ funkcji $f$ przechodzi w $(-2, 4)$ - obie współrzędne zmieniły znak. Zgadza się z rachunkiem: nowa funkcja ma $p = \frac{4}{-2} = -2$ oraz wartość $4$.

Funkcje nieparzyste - gdy wykres wygląda tak samo

Jeśli dla każdego argumentu zachodzi

$f(-x) = -f(x),$

to obrót o $180^\circ$ nie zmienia wykresu - mówimy wtedy, że funkcja jest nieparzysta, a jej wykres jest symetryczny względem początku układu. Przykłady: $f(x) = x$, $f(x) = x^3$, $f(x) = \tfrac{1}{x}$.

Dla porównania funkcja parzysta spełnia $f(-x) = f(x)$ i ma wykres symetryczny względem osi $OY$ (np. $f(x) = x^2$, $f(x) = |x|$). Większość funkcji nie jest ani parzysta, ani nieparzysta - tak jak łamana z naszych rysunków.

Najczęstsze pytania

Czym różni się symetria środkowa od osiowej? Osiowa odbija względem prostej („lustro”), środkowa obraca o $180^\circ$ wokół punktu. W symetrii środkowej zmieniają się obie współrzędne, w osiowej tylko jedna.

Dlaczego monotoniczność się nie odwraca? Bo zmieniamy znak dwa razy: raz przy argumencie, raz przy wartości. Pierwsza zmiana odwraca monotoniczność, druga odwraca ją z powrotem.

Czy punkt $(0,0)$ zawsze zostaje na miejscu? Tak - środek symetrii jest jedynym punktem, który się nie przesuwa. Jeśli wykres przechodził przez początek układu, po obrocie nadal będzie przez niego przechodził.

Jak rozpoznać funkcję nieparzystą ze wzoru? Podstawić $-x$ i sprawdzić, czy wynik jest przeciwny do $f(x)$. Dla $f(x) = x^3$: $f(-x) = -x^3 = -f(x)$ - jest nieparzysta.

Czy istnieje funkcja jednocześnie parzysta i nieparzysta? Tak, ale tylko jedna: $f(x) = 0$. Musiałoby zachodzić $f(x) = -f(x)$, co daje $f(x) = 0$ dla każdego argumentu.

Przećwicz

• Symetria osiowa i środkowa → - symetria środkowa, funkcje parzyste i nieparzyste.

Podsumowanie

• $y = -f(-x)$ to obrót wykresu o $180^\circ$ wokół punktu $(0,0)$; punkty $(x, y) \to (-x, -y)$.
• To złożenie dwóch symetrii osiowych - względem $OX$ i $OY$, w dowolnej kolejności.
• Dziedzina, zbiór wartości i miejsca zerowe odbijają się względem zera.
• Monotoniczność zostaje zachowana (w odbitych przedziałach).
• Funkcja nieparzysta ($f(-x) = -f(x)$) ma wykres symetryczny względem początku układu.