Okrąg i koło. Wzajemne położenie prostej i okręgu

Q: Czym różni się okrąg od koła?

Okrąg to sama linia (punkty w odległości dokładnie r), koło to okrąg wraz z wnętrzem (odległość co najwyżej r). Obwód liczymy dla okręgu, pole - dla koła.

Q: Czy styczna może przecinać okrąg w dwóch punktach?

Nie - wtedy z definicji byłaby sieczną. Styczna ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

Q: Jak zmierzyć odległość środka od prostej?

Zawsze wzdłuż prostopadłej poprowadzonej ze środka do tej prostej. Każda inna droga jest dłuższa, więc to najkrótsza odległość.

Q: Ile stycznych można poprowadzić z punktu do okręgu?

Z punktu na zewnątrz - dwie, z punktu na okręgu - jedną, z punktu wewnątrz - żadnej.

Q: Dlaczego promień poprowadzony do środka cięciwy jest do niej prostopadły?

Bo trójkąt utworzony przez środek okręgu i końce cięciwy jest równoramienny (dwa boki to promienie), a w takim trójkącie środkowa poprowadzona do podstawy jest jednocześnie wysokością.

Klasa 2 liceum i technikum

Prosta i okrąg - decyduje odległość

Niech $d$ będzie odległością środka okręgu od prostej, a $r$ - promieniem okręgu.

$d > r \ \Rightarrow \ \text{prosta ROZŁĄCZNA z okręgiem (brak punktów wspólnych)}$

$d = r \ \Rightarrow \ \text{prosta STYCZNA (dokładnie jeden punkt wspólny)}$

$d < r \ \Rightarrow \ \text{prosta SIECZNA (dwa punkty wspólne)}$

Okrąg a koło

To nie to samo, choć w mowie potocznej często się myli.

Okrąg o środku $O$ i promieniu $r$ to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny oddalonych od $O$ dokładnie o $r$ .
Koło o środku $O$ i promieniu $r$ to zbiór punktów oddalonych od $O$ o nie więcej niż $r$ - czyli okrąg wraz z całym wnętrzem.

Okrąg jest więc „obwódką”, a koło - „wypełnionym talerzem”. Obwód dotyczy okręgu, pole - koła.

Nazwy części okręgu i koła:

cięciwa - odcinek łączący dwa punkty okręgu;
średnica - najdłuższa cięciwa, przechodząca przez środek; ma długość $2r$ ;
łuk - część okręgu wyznaczona przez dwa punkty;
wycinek koła - część koła między dwoma promieniami i łukiem;
odcinek koła - część koła odcięta cięciwą.

Trzy położenia prostej

Wszystko rozstrzyga odległość środka od prostej - czyli długość odcinka prostopadłego poprowadzonego ze środka do tej prostej.

Prosta rozłączna (d > r), styczna (d = r, jeden punkt wspólny) i sieczna (d < r, dwa punkty wspólne) dla okręgu o promieniu r.

Prosta rozłączna przebiega „obok” okręgu - nie ma z nim punktów wspólnych.

Prosta styczna dotyka okręgu w dokładnie jednym punkcie, zwanym punktem styczności. Ma ona ważną własność: styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. To najczęściej wykorzystywany fakt w zadaniach.

Prosta sieczna przecina okrąg w dwóch punktach - odcinek między nimi to cięciwa.

Przykład 1 - klasyfikacja położenia

Zadanie. Okrąg ma środek $O$ i promień $r = 5$ . Odległość środka od prostej $k$ wynosi $5$ , od prostej $l$ - $7$ , a od prostej $m$ - $2$ . Określ położenie każdej prostej.

Porównujemy z promieniem:

$d_k = 5 = r$ - prosta $k$ jest styczna;
$d_l = 7 > 5$ - prosta $l$ jest rozłączna z okręgiem;
$d_m = 2 < 5$ - prosta $m$ jest sieczna.

Przykład 2 - długość cięciwy

Zadanie. Odległość środka okręgu o promieniu $5$ od pewnej cięciwy wynosi $3$ . Oblicz długość tej cięciwy.

Krok 1. Rysunek i trójkąt prostokątny. Odcinek łączący środek ze środkiem cięciwy jest do niej prostopadły i dzieli ją na połowy. Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $r = 5$ i przyprostokątnej $3$ .

Krok 2. Twierdzenie Pitagorasa. Połowa cięciwy $x$ spełnia:

$3^2 + x^2 = 5^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.$

Krok 3. Cała cięciwa ma długość $2x = 8$ .

Odpowiedź. Cięciwa ma długość $8$ .

Zapamiętaj tę konstrukcję. Promień poprowadzony do środka cięciwy jest do niej prostopadły - to najczęstszy sposób „wprowadzenia” twierdzenia Pitagorasa do zadania z okręgiem.

Styczna i promień

Prostopadłość stycznej i promienia daje prosty wniosek: jeśli z punktu $P$ leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzimy styczną i oznaczymy punkt styczności $A$ , to trójkąt $OAP$ jest prostokątny z kątem prostym przy $A$ . Stąd

$|PA|^2 = |PO|^2 - r^2,$

czyli długość odcinka stycznej liczymy twierdzeniem Pitagorasa.

Przykład. Dla $|PO| = 13$ i $r = 5$ dostajemy $|PA| = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ .

Najczęstsze pytania

Czym różni się okrąg od koła? Okrąg to sama linia (punkty w odległości dokładnie $r$ ), koło to okrąg wraz z wnętrzem (odległość co najwyżej $r$ ). Obwód liczymy dla okręgu, pole - dla koła.

Czy styczna może przecinać okrąg w dwóch punktach? Nie - wtedy z definicji byłaby sieczną. Styczna ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.

Jak zmierzyć odległość środka od prostej? Zawsze wzdłuż prostopadłej poprowadzonej ze środka do tej prostej. Każda inna droga jest dłuższa, więc to najkrótsza odległość.

Ile stycznych można poprowadzić z punktu do okręgu? Z punktu na zewnątrz - dwie, z punktu na okręgu - jedną, z punktu wewnątrz - żadnej.

Dlaczego promień poprowadzony do środka cięciwy jest do niej prostopadły? Bo trójkąt utworzony przez środek okręgu i końce cięciwy jest równoramienny (dwa boki to promienie), a w takim trójkącie środkowa poprowadzona do podstawy jest jednocześnie wysokością.

Przećwicz

Okrąg, prosta i dwa okręgi → - klasyfikacja położeń, długość cięciwy i odcinek stycznej.

Podsumowanie

Okrąg to zbiór punktów w odległości $r$ od środka; koło obejmuje też wnętrze.
Położenie prostej rozstrzyga porównanie $d$ z $r$ : $d > r$ rozłączna, $d = r$ styczna, $d < r$ sieczna.
Styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Promień poprowadzony do środka cięciwy jest do niej prostopadły i dzieli ją na połowy.
Odcinek stycznej z punktu zewnętrznego: $|PA|^2 = |PO|^2 - r^2$ .