Przesunięcie równoległe wzdłuż osi OX

Klasa 2 liceum i technikum

Przesunięcie równoległe

Przesunięcie równoległe (translacja) o wektor $\vec{u} = [p, q]$ przenosi każdy punkt $(x, y)$ w punkt $(x + p,\ y + q)$. Cała figura zmienia położenie, ale nie zmienia kształtu ani wielkości - dlatego przesunięty wykres wygląda identycznie jak wyjściowy.

W tej lekcji zajmujemy się przesunięciem poziomym, czyli o wektor $[p, 0]$.

Skąd bierze się minus we wzorze

To najczęstsze źródło pomyłek, więc wyprowadźmy wzór dokładnie. Chcemy, żeby nowy wykres przechodził przez punkty przesunięte o $p$ w prawo. Weźmy punkt $(x_0, y_0)$ leżący na wykresie $y = f(x)$, czyli $y_0 = f(x_0)$. Po przesunięciu trafia on w punkt $(x_0 + p,\ y_0)$.

Sprawdźmy, że ten punkt leży na wykresie funkcji $g(x) = f(x - p)$. Podstawiamy $x = x_0 + p$:

$g(x_0 + p) = f\big((x_0 + p) - p\big) = f(x_0) = y_0. \qquad \checkmark$

Zgadza się. Innymi słowy: żeby wartość została ta sama, argument musi „nadrobić” przesunięcie

• dlatego we wzorze odejmujemy $p$, choć wykres wędruje w prawo.

Sposób na zapamiętanie. Patrz, dla jakiego $x$ nawias się zeruje. W $f(x-3)$ nawias jest zerem dla $x = 3$, więc to, co wcześniej działo się „w zerze”, teraz dzieje się „w trójce” - czyli o trzy w prawo.

Przykład 1 - w którą stronę i o ile

• $y = f(x - 4)$ - przesunięcie o $[4, 0]$, czyli w prawo o $4$;
• $y = f(x + 1)$ - zapiszmy to jako $f\big(x - (-1)\big)$: przesunięcie o $[-1, 0]$, czyli w lewo o $1$;
• $y = f(x - 0{,}5)$ - w prawo o pół jednostki.

Przykład 2 - co dzieje się z punktami

Niech wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkty $(0, 2)$, $(1, 5)$ i $(4, 0)$. Gdzie znajdą się te punkty na wykresie $y = f(x - 3)$?

Każdy przesuwa się o $[3, 0]$, czyli pierwsza współrzędna rośnie o 3, druga zostaje:

$(0, 2) \to (3, 2), \qquad (1, 5) \to (4, 5), \qquad (4, 0) \to (7, 0).$

Sprawdźmy jeden: $g(3) = f(3 - 3) = f(0) = 2$. Zgadza się.

Co się zmienia, a co zostaje

Przy przesunięciu poziomym:

• zmienia się dziedzina (przesuwa się o $p$) oraz miejsca zerowe (też przesuwają się o $p$);
• nie zmienia się zbiór wartości, wartość najmniejsza i największa, ani kształt wykresu;
• monotoniczność „wędruje razem z wykresem”: jeśli funkcja rosła w przedziale $\langle a;\ b\rangle$, to po przesunięciu rośnie w $\langle a + p;\ b + p\rangle$.

Przykład. Funkcja $f$ ma dziedzinę $\langle -2;\ 6\rangle$ i miejsce zerowe $x = 1$. Funkcja $g(x) = f(x + 2)$ (przesunięcie w lewo o $2$) ma dziedzinę $\langle -4;\ 4\rangle$ i miejsce zerowe $x = -1$.

Najczęstsze pytania

Dlaczego $f(x-3)$ przesuwa w prawo, a nie w lewo? Bo argument musi „nadrobić” przesunięcie: żeby nawias $x - 3$ dał tę samą wartość co wcześniej $x$, trzeba wziąć $x$ większe o $3$. Wartości powtarzają się więc trzy jednostki dalej w prawo.

Jak szybko sprawdzić kierunek? Zobacz, dla jakiego $x$ nawias się zeruje: w $f(x+2)$ jest to $x = -2$, czyli wykres przesuwa się w lewo o $2$.

Czy przesunięcie poziome zmienia zbiór wartości? Nie. Wykres wędruje w bok, więc te same wartości są przyjmowane, tylko dla innych argumentów. Zmienia się natomiast dziedzina.

Co, gdy wykres jest symetryczny względem osi $OY$? Wygląda tak samo po odbiciu, ale przesunięcie i tak działa normalnie - np. $y = (x-3)^2$ to parabola $y = x^2$ przesunięta o trzy w prawo, z wierzchołkiem w $(3, 0)$.

Czy da się przesunąć wykres o wektor niecałkowity? Oczywiście. $f(x - 0{,}5)$ to przesunięcie o pół jednostki w prawo - wzór działa dla dowolnej liczby rzeczywistej $p$.

Przećwicz

• Przesunięcia wykresu → - wzór po przesunięciu, odczyt wektora, dziedzina i miejsca zerowe.
• Rysownik przekształceń → - przesuń suwak $p$ i zobacz, dlaczego minus we wzorze oznacza ruch w prawo.

Podsumowanie

• $y = f(x - p)$ to wykres $y = f(x)$ przesunięty o wektor $[p, 0]$.
• $p > 0$ - w prawo, $p < 0$ - w lewo (patrz, dla jakiego $x$ zeruje się nawias).
• Punkt $(x_0, y_0)$ przechodzi w $(x_0 + p,\ y_0)$.
• Zmieniają się dziedzina i miejsca zerowe; zbiór wartości i kształt zostają bez zmian.