Dwusieczne kątów trójkąta. Okrąg wpisany w trójkąt

Q: Czym różnią się oba środki?

Środek opisanego to przecięcie symetralnych boków (równa odległość od wierzchołków), środek wpisanego - przecięcie dwusiecznych kątów (równa odległość od boków).

Q: Kiedy oba środki się pokrywają?

Dokładnie wtedy, gdy trójkąt jest równoboczny. Wtedy pokrywają się też z punktem przecięcia środkowych i wysokości.

Klasa 2 liceum i technikum

Okrąg wpisany w trójkąt

Dwusieczne wszystkich trzech kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie - jest nim środek okręgu wpisanego w trójkąt.

$r = \frac{P}{s}, \qquad \text{gdzie } s = \frac{a+b+c}{2}$

Dla trójkąta prostokątnego: $\ r = \dfrac{a + b - c}{2}$ ( $c$ - przeciwprostokątna).

Dwusieczna jako zbiór punktów równoodległych

Dwusieczna kąta dzieli go na dwa równe kąty, ale ważniejsza jest jej druga własność:

Punkt leży na dwusiecznej kąta wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednakowo oddalony od obu ramion kąta.

Odległość punktu od prostej mierzymy oczywiście wzdłuż prostopadłej.

Dlaczego dwusieczne przecinają się w jednym punkcie

Rozumowanie jest bliźniaczo podobne do tego z okręgu opisanego. Niech $I$ będzie punktem przecięcia dwusiecznych kątów $A$ i $B$ trójkąta $ABC$ .

$I$ leży na dwusiecznej kąta $A$ , więc jest równo oddalony od boków $AB$ i $AC$ ;
$I$ leży na dwusiecznej kąta $B$ , więc jest równo oddalony od boków $AB$ i $BC$ .

Stąd odległości od $AC$ i $BC$ też są równe, czyli $I$ leży na dwusiecznej kąta $C$ . Punkt $I$ jest więc równo oddalony od wszystkich trzech boków - okrąg o środku $I$ i promieniu równym tej odległości jest styczny do każdego boku. To okrąg wpisany.

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8: dwusieczne kątów przecinają się w punkcie I, a okrąg wpisany o promieniu 2 jest styczny do wszystkich boków.

Wzór na promień

Pole trójkąta można policzyć, dzieląc go na trzy trójkąty o wspólnym wierzchołku $I$ . Każdy ma wysokość $r$ (bo to odległość środka od boku), więc

$P = \tfrac{1}{2}ar + \tfrac{1}{2}br + \tfrac{1}{2}cr = r \cdot \frac{a+b+c}{2} = r \cdot s.$

Stąd

$r = \frac{P}{s}.$

To wyprowadzenie omawiamy szczegółowo także w lekcji rozwiązywanie trójkąta.

Przykład 1 - trójkąt prostokątny

Zadanie. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $6$ i $8$ .

Sposób I - ze wzoru ogólnego.

$c = 10, \qquad P = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24, \qquad s = \frac{6+8+10}{2} = 12,$

$r = \frac{24}{12} = 2.$

Sposób II - wzorem dla trójkąta prostokątnego.

$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2.$

Odpowiedź. $r = 2$ .

Przykład 2 - trójkąt dowolny

Zadanie. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach $5$ , $6$ i $7$ .

Krok 1. Połowa obwodu i pole (wzór Herona).

$s = 9, \qquad P = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 6\sqrt{6}.$

Krok 2. Promień.

$r = \frac{P}{s} = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1{,}63.$

Odpowiedź. $r = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1{,}63$ .

Odcinki styczne w trójkącie

Z równości odcinków stycznych poprowadzonych z jednego punktu wynika ładna zależność: jeśli oznaczymy odcinki od wierzchołków do punktów styczności przez $x$ , $y$ , $z$ , to

$x + y = c, \qquad y + z = a, \qquad z + x = b,$

skąd $x = s - a$ , $y = s - b$ , $z = s - c$ . To narzędzie przydaje się w trudniejszych zadaniach o okręgu wpisanym.

Konstrukcja okręgu wpisanego

Konstruujemy dwusieczną jednego kąta.
Konstruujemy dwusieczną drugiego kąta.
Punkt przecięcia to środek $I$ .
Z punktu $I$ prowadzimy prostopadłą do dowolnego boku - jej długość to promień $r$ .
Rysujemy okrąg o środku $I$ i promieniu $r$ .

Krok czwarty jest konieczny: promienia nie wolno wziąć „na oko” ani zmierzyć linijką.

Najczęstsze pytania

Czy każdy trójkąt ma okrąg wpisany? Tak, dokładnie jeden - dwusieczne zawsze przecinają się w jednym punkcie leżącym wewnątrz trójkąta.

Czy środek okręgu wpisanego może leżeć poza trójkątem? Nie. W odróżnieniu od środka okręgu opisanego, środek wpisanego zawsze leży wewnątrz figury.

Czym różnią się oba środki? Środek opisanego to przecięcie symetralnych boków (równa odległość od wierzchołków), środek wpisanego - przecięcie dwusiecznych kątów (równa odległość od boków).

Kiedy oba środki się pokrywają? Dokładnie wtedy, gdy trójkąt jest równoboczny. Wtedy pokrywają się też z punktem przecięcia środkowych i wysokości.

Czy w każdy czworokąt można wpisać okrąg? Nie. Warunek jest taki, że sumy długości przeciwległych boków muszą być równe ( $a + c = b + d$ ).

Przećwicz

Okrąg opisany i wpisany → - promienie obu okręgów, trójkąt prostokątny i wzór Herona.

Podsumowanie

Punkt dwusiecznej jest równoodległy od ramion kąta.
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie: środku okręgu wpisanego.
Środek okręgu wpisanego zawsze leży wewnątrz trójkąta.
$r = \frac{P}{s}$ , a dla trójkąta prostokątnego $r = \frac{a+b-c}{2}$ .
Odcinki od wierzchołków do punktów styczności mają długości $s-a$ , $s-b$ , $s-c$ .