Równania kwadratowe

Q: Czy każde równanie kwadratowe ma rozwiązanie?

Nie. Gdy Δ < 0, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych - parabola nie przecina osi OX. To poprawna odpowiedź, a nie błąd rachunkowy.

Q: Dlaczego nie wolno dzielić przez x?

Bo x może być zerem, a dzielenie przez zero jest niedozwolone - i właśnie to rozwiązanie gubimy. Zamiast dzielić, wyłączamy x przed nawias.

Q: Czy x² = 25 ma jedno rozwiązanie, czy dwa?

Dwa: x = 5 i x = -5. Symbol √25 oznacza jedną liczbę (pierwiastek arytmetyczny, czyli 5), ale równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

Q: Co, gdy współczynniki są ułamkami?

Najwygodniej pomnożyć całe równanie przez wspólny mianownik - rozwiązania się nie zmienią, a rachunki będą prostsze. Równanie 1/2x² - x - 3/2 = 0 po pomnożeniu przez 2 daje x² - 2x - 3 = 0.

Q: Czy trzeba sprawdzać rozwiązania?

Nie ma takiego obowiązku, ale podstawienie jednego pierwiastka do równania wyjściowego zajmuje chwilę i wyłapuje pomyłki w znakach - najczęstsze źródło błędów.

Klasa 2 liceum i technikum

Równanie kwadratowe - komplet wzorów

$ax^2 + bx + c = 0, \qquad a \ne 0, \qquad \Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta > 0: \quad x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad\quad \Delta = 0: \quad x_0 = \frac{-b}{2a} \qquad\quad \Delta < 0: \quad \text{brak rozwiązań}$

To samo, co miejsca zerowe

Równanie kwadratowe $ax^2 + bx + c = 0$ pyta dokładnie o to samo, co miejsca zerowe funkcji kwadratowej: dla jakich argumentów wartość wyrażenia wynosi zero. Dlatego wzory są te same, a rozwiązania równania to odcięte punktów przecięcia paraboli z osią $OX$ .

W tej lekcji skupiamy się na technice: jak rozwiązywać szybko i bez błędów, w tym kiedy delta nie jest potrzebna.

Krok zerowy: uporządkuj równanie

Wzory działają dopiero wtedy, gdy równanie ma postać $ax^2 + bx + c = 0$ - czyli zero po prawej stronie i uporządkowane wyrazy po lewej. To pierwsza czynność w każdym zadaniu.

$3x^2 + 5 = 8x \quad\Longrightarrow\quad 3x^2 - 8x + 5 = 0.$

Dopiero teraz odczytujemy $a = 3$ , $b = -8$ , $c = 5$ .

Uwaga na znaki. Współczynnik $b$ przenosi znak: w równaniu $x^2 - 7x + 12 = 0$ mamy $b = -7$ , a nie $7$ . Przy podstawianiu do wzorów warto wypisać współczynniki osobno.

Metoda 1: równania niezupełne (bez delty)

Brak wyrazu wolnego ( $c = 0$ ) - wyłączamy $x$ przed nawias:

$2x^2 - 10x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(x - 5) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \ \text{ lub } \ x = 5.$

Brak wyrazu z $x$ ( $b = 0$ ) - przenosimy i pierwiastkujemy:

$4x^2 - 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{9}{4} \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{3}{2} \ \text{ lub } \ x = \frac{3}{2}.$

Gdy po przeniesieniu wychodzi liczba ujemna, np. $x^2 = -4$ , równanie nie ma rozwiązań - kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.

Najczęstszy błąd. W równaniu $2x^2 = 10x$ nie wolno podzielić obu stron przez $x$ - gubimy wtedy rozwiązanie $x = 0$ . Zawsze przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy $x$ przed nawias.

Metoda 2: rozkład na czynniki

Gdy lewa strona da się rozłożyć, rozwiązanie jest natychmiastowe - iloczyn jest zerem wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik.

Najczęściej pomagają wzory skróconego mnożenia:

$x^2 - 6x + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.$

$x^2 - 16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-4)(x+4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 4 \ \text{ lub } \ x = -4.$

Czasem widać rozkład „na oko” - szukamy dwóch liczb o sumie $-b$ i iloczynie $c$ (dla $a = 1$ ):

$x^2 - 7x + 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)(x-4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 3 \ \text{ lub } \ x = 4,$

bo $3 + 4 = 7$ oraz $3 \cdot 4 = 12$ . To nic innego jak wzory Viète’a czytane od tyłu.

Metoda 3: delta - działa zawsze

Przykład. Rozwiąż równanie $3x^2 - 8x + 5 = 0$ .

Krok 1. Współczynniki: $a = 3$ , $b = -8$ , $c = 5$ .

Krok 2. Delta:

$\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4, \qquad \sqrt{\Delta} = 2.$

Krok 3. Pierwiastki:

$x_1 = \frac{8 - 2}{6} = 1, \qquad x_2 = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}.$

Odpowiedź. $x = 1$ lub $x = \frac{5}{3}$ .

Sprawdzenie: $3 \cdot 1 - 8 + 5 = 0$ . Zgadza się.

Gdy delta nie jest kwadratem liczby całkowitej

Nic złego się nie dzieje - wynik po prostu zostaje z pierwiastkiem. Dla równania $x^2 - 4x + 1 = 0$ :

$\Delta = 16 - 4 = 12, \qquad \sqrt{12} = 2\sqrt{3},$

$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}, \qquad x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}.$

Zwróć uwagę na ostatni krok: skracamy ułamek, wyłączając wcześniej wspólny czynnik. Odpowiedź w postaci $2 \pm \sqrt{3}$ jest dokładna - przybliżenia dziesiętnego podajemy tylko wtedy, gdy zadanie o nie prosi.

Którą metodę wybrać

Brakuje $b$ albo $c$ $\Rightarrow$ metoda 1 (bez delty, najszybciej).
Widać wzór skróconego mnożenia albo prosty rozkład $\Rightarrow$ metoda 2.
W pozostałych przypadkach $\Rightarrow$ delta.

Delta zawsze zadziała, więc gdy tylko masz wątpliwość, licz deltę - stracisz kilkanaście sekund, ale nie popełnisz błędu.

Najczęstsze pytania

Czy każde równanie kwadratowe ma rozwiązanie? Nie. Gdy $\Delta < 0$ , równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych - parabola nie przecina osi $OX$ . To poprawna odpowiedź, a nie błąd rachunkowy.

Dlaczego nie wolno dzielić przez $x$ ? Bo $x$ może być zerem, a dzielenie przez zero jest niedozwolone - i właśnie to rozwiązanie gubimy. Zamiast dzielić, wyłączamy $x$ przed nawias.

Czy $x^2 = 25$ ma jedno rozwiązanie, czy dwa? Dwa: $x = 5$ i $x = -5$ . Symbol $\sqrt{25}$ oznacza jedną liczbę (pierwiastek arytmetyczny, czyli $5$ ), ale równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

Co, gdy współczynniki są ułamkami? Najwygodniej pomnożyć całe równanie przez wspólny mianownik - rozwiązania się nie zmienią, a rachunki będą prostsze. Równanie $\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2} = 0$ po pomnożeniu przez $2$ daje $x^2 - 2x - 3 = 0$ .

Czy trzeba sprawdzać rozwiązania? Nie ma takiego obowiązku, ale podstawienie jednego pierwiastka do równania wyjściowego zajmuje chwilę i wyłapuje pomyłki w znakach - najczęstsze źródło błędów.

Przećwicz

Równania kwadratowe → - wszystkie metody, od równań niezupełnych po pełną deltę.
Delta, miejsca zerowe i postać iloczynowa →
- to samo od strony funkcji.

Podsumowanie

Równanie porządkujemy do postaci $ax^2 + bx + c = 0$ przed liczeniem czegokolwiek.
Niezupełne: $c = 0$ - wyłącz $x$ przed nawias; $b = 0$ - przenieś i spierwiastkuj.
Rozkład na czynniki działa, gdy widać wzór skróconego mnożenia albo prosty iloczyn.
Delta rozwiązuje każdy przypadek: $\Delta > 0$ - dwa pierwiastki, $\Delta = 0$ - jeden, $\Delta < 0$ - brak.
Nigdy nie dziel równania przez $x$ - gubisz rozwiązanie $x = 0$ .