Wzajemne położenie dwóch okręgów

Klasa 2 liceum i technikum

Wszystko zależy od odległości środków

Podobnie jak przy prostej i okręgu, cała klasyfikacja sprowadza się do porównania jednej odległości z sumą i różnicą promieni. Warto zapamiętać skrajne przypadki: gdy okręgi są „daleko” - nie mają punktów wspólnych, gdy „w sam raz” - dotykają się, gdy „blisko” - przecinają się w dwóch punktach.

Jak rozpoznać przypadek

Krok 1. Policz odległość środków $d$.

Krok 2. Policz sumę $R + r$ oraz różnicę $R - r$.

Krok 3. Porównaj i odczytaj przypadek z ramki.

Zauważ, że liczba punktów wspólnych wynosi: $0$ (rozłączne), $1$ (styczne) albo $2$ (przecinające się). Więcej być nie może - dwa różne okręgi nie mają trzech punktów wspólnych.

Przykład 1 - klasyfikacja

Zadanie. Okręgi mają promienie $R = 7$ i $r = 3$, a odległość ich środków wynosi $d$. Określ położenie okręgów dla $d = 12$, $d = 10$, $d = 6$, $d = 4$ oraz $d = 2$.

Liczymy raz sumę i różnicę promieni: $R + r = 10$, $R - r = 4$.

• $d = 12 > 10$ - okręgi rozłączne zewnętrznie;
• $d = 10 = R + r$ - styczne zewnętrznie;
• $4 < 6 < 10$ - okręgi przecinają się w dwóch punktach;
• $d = 4 = R - r$ - styczne wewnętrznie;
• $d = 2 < 4$ - rozłączne wewnętrznie (mniejszy okrąg leży wewnątrz większego).

Przykład 2 - z współrzędnymi

Zadanie. Zbadaj położenie okręgów o środkach $O_1 = (0, 0)$, $r_1 = 2$ oraz $O_2 = (6, 8)$, $r_2 = 5$.

Krok 1. Odległość środków.

$d = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.$

Krok 2. Suma i różnica promieni: $r_1 + r_2 = 7$, $r_2 - r_1 = 3$.

Krok 3. Porównanie. Ponieważ $10 > 7$, okręgi są rozłączne zewnętrznie - nie mają punktów wspólnych.

Przypadek szczególny: okręgi współśrodkowe

Gdy $d = 0$, czyli oba okręgi mają ten sam środek, mówimy o okręgach współśrodkowych. Nie mają one punktów wspólnych (o ile promienie są różne), a obszar między nimi nazywa się pierścieniem kołowym. To szczególny przypadek położenia „rozłączne wewnętrznie”.

Odcinek łączący środki

W przypadku okręgów stycznych punkt styczności leży zawsze na prostej łączącej środki. To bardzo praktyczna obserwacja: przy styczności zewnętrznej odległość środków to suma promieni, a przy wewnętrznej - ich różnica. Dzięki temu zadania konstrukcyjne sprowadzają się do odmierzenia odcinka.

Najczęstsze pytania

Czy dwa okręgi mogą mieć trzy punkty wspólne? Nie. Przez trzy punkty niewspółliniowe przechodzi dokładnie jeden okrąg, więc dwa różne okręgi mają co najwyżej dwa punkty wspólne.

Czym różni się styczność zewnętrzna od wewnętrznej? Przy zewnętrznej okręgi leżą po przeciwnych stronach punktu styczności ($d = R + r$), przy wewnętrznej jeden jest w środku drugiego i dotyka go od wewnątrz ($d = R - r$).

Co, gdy promienie są równe, a $d = 0$? Wtedy okręgi się pokrywają - to ten sam okrąg, a punktów wspólnych jest nieskończenie wiele. Dlatego w klasyfikacji zakładamy, że okręgi są różne.

Skąd wiadomo, że punkt styczności leży na prostej środków? Bo w punkcie styczności oba okręgi mają wspólną styczną, a promienie obu okręgów są do niej prostopadłe - muszą więc leżeć na jednej prostej.

Jak liczyć odległość środków w układzie współrzędnych? Wzorem na odległość punktów, czyli z twierdzenia Pitagorasa: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Przećwicz

• Okrąg, prosta i dwa okręgi → - klasyfikacja położeń dwóch okręgów, także w układzie współrzędnych.

Podsumowanie

• O położeniu decyduje porównanie $d$ z $R+r$ oraz $R-r$.
• $d > R+r$ - rozłączne zewnętrznie; $d = R+r$ - styczne zewnętrznie.
• $R-r < d < R+r$ - przecinające się w dwóch punktach.
• $d = R-r$ - styczne wewnętrznie; $d < R-r$ - rozłączne wewnętrznie.
• Punkt styczności zawsze leży na prostej łączącej środki.