Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej - znaczenie i wzór

Klasa 1 liceum i technikum

Współczynnik kierunkowy steruje nachyleniem

We wzorze $f(x) = ax + b$ to współczynnik kierunkowy $a$ decyduje, jak bardzo prosta jest nachylona i w którą stronę „idzie”. Wyraz wolny $b$ jedynie przesuwa prostą w pionie - o kierunku nie mówi nic.

Najważniejszy wniosek dotyczy monotoniczności:

• gdy $a > 0$ - prosta wznosi się (od lewej do prawej), funkcja jest rosnąca;
• gdy $a < 0$ - prosta opada, funkcja jest malejąca;
• gdy $a = 0$ - prosta jest pozioma, funkcja jest stała.

To zgadza się z tym, co wiemy o monotoniczności: znak $a$ od razu mówi, czy funkcja liniowa rośnie, czy maleje - bez rysowania wykresu.

Współczynnik a jako tempo zmian

Współczynnik kierunkowy mówi, o ile zmienia się wartość funkcji, gdy argument rośnie o 1. Jeśli $a = 3$, to przesunięcie o $1$ w prawo podnosi wykres o $3$ w górę. Jeśli $a = -2$, przesunięcie o $1$ w prawo obniża wykres o $2$.

Ogólnie, gdy argument zmienia się o $\Delta x$, wartość zmienia się o $\Delta y = a \cdot \Delta x$. Stąd najważniejszy wzór tej lekcji:

$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$

Wyznaczanie wzoru z dwóch punktów

Skoro $a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$, to znając dwa punkty prostej, policzymy współczynnik kierunkowy, a potem wyraz wolny.

Przykład. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $A = (1, 3)$ oraz $B = (3, 7)$.

Krok 1. Liczymy współczynnik kierunkowy:

$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2.$

Krok 2. Wstawiamy $a = 2$ i jeden z punktów (np. $A = (1, 3)$) do wzoru $f(x) = ax + b$, aby znaleźć $b$:

$3 = 2 \cdot 1 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 1.$

Krok 3. Zapisujemy wzór: $f(x) = 2x + 1$. (Sprawdzenie z punktem $B$: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ - zgadza się.)

Proste równoległe i prostopadłe

Współczynnik kierunkowy mówi o nachyleniu, więc pozwala szybko porównać dwie proste:

• Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe: $a_1 = a_2$ (to samo nachylenie).
• Proste prostopadłe mają współczynniki, których iloczyn wynosi $-1$: $a_1 \cdot a_2 = -1$ (równoważnie $a_2 = -\frac{1}{a_1}$).

Przykład. Prosta $y = 2x + 5$ ma współczynnik $a_1 = 2$. Prosta do niej równoległa ma też $a = 2$ (np. $y = 2x - 1$). Prosta prostopadła ma $a_2 = -\frac{1}{2}$ (bo $2 \cdot (-\tfrac{1}{2}) = -1$), np. $y = -\tfrac{1}{2}x + 4$.

Najczęstsze pytania

Czy współczynnik kierunkowy to kąt nachylenia prostej? Nie wprost - $a$ to tangens kąta, jaki prosta tworzy z dodatnią półosią $OX$. Dla $a = 1$ kąt wynosi $45^\circ$, dla $a = \sqrt{3}$ już $60^\circ$. Sam współczynnik mówi, o ile zmienia się $y$, gdy $x$ rośnie o $1$.

Co oznacza, że $a$ jest bardzo duże albo bliskie zeru? Im większa wartość bezwzględna $a$, tym prosta bardziej stroma. Wartość bliska zeru daje prostą prawie poziomą. Prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego - nie jest wykresem funkcji.

Dlaczego dla prostych prostopadłych $a_1 \cdot a_2 = -1$? Bo obrót o $90^\circ$ zamienia rolami przyrosty $\Delta x$ i $\Delta y$ i zmienia znak jednego z nich. Praktycznie: prostopadła do prostej o $a = 2$ ma współczynnik $-\tfrac{1}{2}$ - odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Warunek nie działa, gdy jedna z prostych jest pozioma, a druga pionowa.

Czy dwie proste o tym samym $a$ zawsze się pokrywają? Nie - są równoległe. Pokrywają się dopiero wtedy, gdy mają także ten sam wyraz wolny $b$. Przy różnych $b$ nie mają żadnego punktu wspólnego.

Jak wyznaczyć wzór, mając dwa punkty? Najpierw $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, potem podstawiamy jeden z punktów do $y = ax + b$ i wyliczamy $b$. Jeśli $x_1 = x_2$, punkty wyznaczają prostą pionową i funkcja liniowa o takim wykresie nie istnieje.

Podsumowanie

• Znak $a$ decyduje o monotoniczności: $a > 0$ rosnąca, $a < 0$ malejąca, $a = 0$ stała.
• $a$ to tempo zmian: $a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
• Z dwóch punktów wyznaczamy najpierw $a$, potem $b$.
• Równoległe: $a_1 = a_2$; prostopadłe: $a_1 \cdot a_2 = -1$.