Skąd wiadomo, że Δ = 0 daje pierwiastek podwójny?

Bo w postaci iloczynowej ten sam czynnik występuje dwa razy: f(x) = a(x - x_0)². Geometrycznie oznacza to, że parabola nie przecina osi, tylko jej dotyka.

Delta i miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa

Q: Czy delta może być ujemna?

Tak, i wtedy funkcja po prostu nie ma miejsc zerowych - parabola leży w całości nad osią OX (gdy a > 0) albo pod nią (gdy a < 0). Ujemna delta nie jest błędem rachunkowym.

Q: Czy zawsze trzeba liczyć deltę?

Nie. Gdy brakuje wyrazu wolnego, wystarczy wyłączyć x przed nawias; gdy brakuje wyrazu z x - przenieść i spierwiastkować. Delta jest potrzebna dopiero przy równaniu zupełnym.

Q: Czy x_1 musi być mniejsze od x_2?

Przy zapisie ze wzorów tak wychodzi (bo od -b najpierw odejmujemy pierwiastek) - o ile a > 0. Dla a < 0 kolejność się odwraca. W zadaniach warto uporządkować pierwiastki rosnąco i wyraźnie napisać, który jest który.

Q: Dlaczego przy postaci iloczynowej trzeba pisać a przed nawiasami?

Bo miejsca zerowe wyznaczają tylko kształt rozkładu, a nie „rozciągnięcie" paraboli. Funkcje (x+1)(x-3) i 5(x+1)(x-3) mają te same miejsca zerowe, ale różne wartości we wszystkich pozostałych punktach.

Klasa 2 liceum i technikum

Delta, miejsca zerowe i postać iloczynowa

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta > 0: \quad x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad\qquad \Delta = 0: \quad x_0 = \frac{-b}{2a}$

$\Delta < 0: \quad \text{brak miejsc zerowych}$

$\text{postać iloczynowa:}\quad f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \quad \text{albo} \quad f(x) = a(x - x_0)^2$

Miejsce zerowe to punkt przecięcia z osią OX

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero. Szukanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej sprowadza się więc do rozwiązania równania

$ax^2 + bx + c = 0.$

Na wykresie odpowiadają im punkty, w których parabola przecina oś $OX$ . Parabola może przeciąć tę oś w dwóch punktach, dotknąć jej w jednym (wierzchołkiem) albo w ogóle jej nie spotkać - i to właśnie rozstrzyga wyróżnik.

Wyróżnik: skąd się bierze

Skorzystajmy z postaci kanonicznej, którą już znamy:

$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}, \qquad \Delta = b^2 - 4ac.$

Przyrównajmy ją do zera i wyznaczmy kwadrat:

$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a} \qquad\Longrightarrow\qquad \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}.$

Po lewej stronie stoi kwadrat, który nigdy nie jest ujemny. Po prawej mianownik $4a^2$ też jest dodatni, więc o wszystkim decyduje znak $\Delta$ :

gdy $\Delta < 0$ , prawa strona jest ujemna - równanie nie ma rozwiązań;
gdy $\Delta = 0$ , kwadrat jest zerem, więc $x + \frac{b}{2a} = 0$ i mamy jedno rozwiązanie;
gdy $\Delta > 0$ , pierwiastkujemy obie strony i dostajemy $x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ , czyli dwa rozwiązania.

Przenosząc $\frac{b}{2a}$ na prawą stronę, otrzymujemy znane wzory:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.$

Znak wyróżnika decyduje o liczbie punktów wspólnych paraboli z osią OX. Od lewej: y = x² − 2x − 3, y = x² − 2x + 1, y = x² − 2x + 3.

Przykład 1 - dwa miejsca zerowe

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji $f(x) = x^2 - 2x - 3$ .

Krok 1. Wypisujemy współczynniki: $a = 1$ , $b = -2$ , $c = -3$ .

Krok 2. Liczymy deltę:

$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.$

Krok 3. Delta jest dodatnia, więc mamy dwa miejsca zerowe. Liczymy $\sqrt{\Delta} = 4$ :

$x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, \qquad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3.$

Odpowiedź. Miejsca zerowe to $x = -1$ oraz $x = 3$ .

Przykład 2 - jedno miejsce zerowe

Dla $f(x) = x^2 - 2x + 1$ mamy $\Delta = 4 - 4 = 0$ , więc miejsce zerowe jest jedno:

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2} = 1.$

Zwróć uwagę, że wzór na $x_0$ to dokładnie wzór na odciętą wierzchołka - parabola dotyka osi $OX$ właśnie wierzchołkiem. Mówimy wtedy o pierwiastku podwójnym.

Przykład 3 - brak miejsc zerowych

Dla $f(x) = x^2 - 2x + 3$ dostajemy

$\Delta = 4 - 12 = -8 < 0,$

więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Cała parabola leży nad osią $OX$ (bo $a > 0$ ), a najniższy jej punkt to wierzchołek $W = (1, 2)$ .

Równania niezupełne - bez liczenia delty

Gdy brakuje wyrazu $b$ albo $c$ , delta jest niepotrzebna - jest szybszy sposób.

Gdy brakuje wyrazu wolnego ( $c = 0$ ), wyłączamy $x$ przed nawias:

$2x^2 - 6x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(x - 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \ \text{ lub } \ x = 3.$

Gdy brakuje wyrazu z $x$ ( $b = 0$ ), przenosimy i pierwiastkujemy:

$3x^2 - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -2 \ \text{ lub } \ x = 2.$

Uwaga. W drugim przypadku łatwo zgubić rozwiązanie ujemne. Równanie $x^2 = 4$ ma dwa rozwiązania, mimo że $\sqrt{4} = 2$ jest jedną liczbą - to dwie różne rzeczy.

Postać iloczynowa

Gdy znamy miejsca zerowe, wzór funkcji można zapisać jako iloczyn:

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \qquad \text{(gdy } \Delta > 0\text{)},$

$f(x) = a(x - x_0)^2 \qquad \text{(gdy } \Delta = 0\text{)}.$

Dla $\Delta < 0$ postać iloczynowa nie istnieje - nie ma czego wstawić w nawiasy.

Przykład. Funkcja $f(x) = x^2 - 2x - 3$ ma miejsca zerowe $-1$ i $3$ , a współczynnik $a = 1$ , więc

$f(x) = (x + 1)(x - 3).$

Sprawdźmy, wymnażając: $(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$ . Zgadza się.

Nie zapomnij o współczynniku $a$ . Dla $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$ miejsca zerowe są takie same ( $-1$ i $3$ ), ale postać iloczynowa to $f(x) = 2(x+1)(x-3)$ . Pominięcie dwójki dałoby zupełnie inną funkcję - o połowę „niższą” parabolę.

Po co postać iloczynowa

Bo z iloczynu natychmiast widać miejsca zerowe, a to one wyznaczają, gdzie funkcja zmienia znak. Postać iloczynowa jest więc podstawowym narzędziem przy nierównościach kwadratowych i przy skracaniu ułamków algebraicznych, np.

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3} = \frac{(x+1)(x-3)}{x - 3} = x + 1 \qquad \text{dla } x \ne 3.$

Najczęstsze pytania

Czy delta może być ujemna? Tak, i wtedy funkcja po prostu nie ma miejsc zerowych - parabola leży w całości nad osią $OX$ (gdy $a > 0$ ) albo pod nią (gdy $a < 0$ ). Ujemna delta nie jest błędem rachunkowym.

Skąd wiadomo, że $\Delta = 0$ daje pierwiastek podwójny? Bo w postaci iloczynowej ten sam czynnik występuje dwa razy: $f(x) = a(x - x_0)^2$ . Geometrycznie oznacza to, że parabola nie przecina osi, tylko jej dotyka.

Czy zawsze trzeba liczyć deltę? Nie. Gdy brakuje wyrazu wolnego, wystarczy wyłączyć $x$ przed nawias; gdy brakuje wyrazu z $x$ - przenieść i spierwiastkować. Delta jest potrzebna dopiero przy równaniu zupełnym.

Czy $x_1$ musi być mniejsze od $x_2$ ? Przy zapisie ze wzorów tak wychodzi (bo od $-b$ najpierw odejmujemy pierwiastek) - o ile $a > 0$ . Dla $a < 0$ kolejność się odwraca. W zadaniach warto uporządkować pierwiastki rosnąco i wyraźnie napisać, który jest który.

Dlaczego przy postaci iloczynowej trzeba pisać $a$ przed nawiasami? Bo miejsca zerowe wyznaczają tylko kształt rozkładu, a nie „rozciągnięcie” paraboli. Funkcje $(x+1)(x-3)$ i $5(x+1)(x-3)$ mają te same miejsca zerowe, ale różne wartości we wszystkich pozostałych punktach.

Przećwicz

Delta, miejsca zerowe i postać iloczynowa → - liczenie wyróżnika, wyznaczanie pierwiastków i zapisywanie wzoru w postaci iloczynowej.
Równania kwadratowe → - te same wzory w zastosowaniu do rozwiązywania równań.

Podsumowanie

Miejsca zerowe to rozwiązania równania $ax^2 + bx + c = 0$ ; na wykresie - punkty przecięcia z osią $OX$ .
Wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$ rozstrzyga o ich liczbie: $\Delta > 0$ - dwa, $\Delta = 0$ - jedno (podwójne), $\Delta < 0$ - żadne.
Wzory: $x_{1} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ , $x_{2} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ , a przy $\Delta = 0$ : $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ .
Postać iloczynowa: $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ - istnieje tylko wtedy, gdy $\Delta \ge 0$ .
Równania niezupełne rozwiązujemy szybciej: przez wyłączenie $x$ przed nawias albo przez spierwiastkowanie.