Przystawanie trójkątów

Klasa 1 liceum i technikum

Co to znaczy, że trójkąty przystają?

Dwa trójkąty nazywamy przystającymi, jeżeli ich odpowiednie boki mają równe długości i odpowiednie kąty mają równe miary. Piszemy $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$.

Intuicyjnie: trójkąty przystające to trójkąty identyczne - po wycięciu z papieru można jeden nałożyć na drugi tak, by pokryły się idealnie (czasem trzeba go odwrócić na drugą stronę). Kolejność liter w zapisie ma znaczenie: $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ oznacza, że $|AB| = |DE|$, $|BC| = |EF|$, $|AC| = |DF|$ oraz odpowiednie kąty przy $A$ i $D$, $B$ i $E$, $C$ i $F$ są równe.

Cechy przystawania trójkątów

Czy żeby stwierdzić przystawanie, trzeba sprawdzać wszystkie trzy boki i wszystkie trzy kąty? Na szczęście nie - wystarczą trzy dobrze dobrane elementy. To właśnie cechy przystawania:

Cecha BBB (bok-bok-bok). Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

Cecha BKB (bok-kąt-bok). Jeżeli dwa boki jednego trójkąta i kąt zawarty między nimi są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające.

Cecha KBK (kąt-bok-kąt). Jeżeli bok jednego trójkąta i dwa kąty do niego przyległe są odpowiednio równe bokowi i przyległym kątom w drugim trójkącie, to trójkąty są przystające.

Cecha BBB wyjaśnia przy okazji, dlaczego trójkąt jest figurą sztywną: trzy boki wyznaczają go jednoznacznie (dlatego konstrukcje mostów i dźwigów pełne są trójkątów). Czworokąt tej własności nie ma - kwadrat można „złamać” w romb bez zmiany długości boków.

Pułapki: KKK i BBK

• KKK (trzy kąty) nie jest cechą przystawania. Dwa trójkąty równoboczne - o boku 1 i o boku 100 - mają identyczne kąty, a przystające nie są. Równość samych kątów daje podobieństwo, nie przystawanie.
• W BKB kąt musi leżeć między danymi bokami. Dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich (układ „BBK”) na ogół nie wyznaczają trójkąta jednoznacznie - bywają dwa różne trójkąty o takich danych.

Przykład 1 - dowód z cechy BBB

Zadanie. W trójkącie równoramiennym $ABC$ ($|AC| = |BC|$) poprowadzono środkową $CD$ do podstawy $AB$. Uzasadnij, że trójkąty $ACD$ i $BCD$ są przystające, i wywnioskuj, że kąty przy podstawie są równe.

Krok 1. Porównujemy boki trójkątów $ACD$ i $BCD$:

• $|AC| = |BC|$ - z założenia (ramiona),
• $|AD| = |BD|$ - bo $D$ to środek podstawy (definicja środkowej),
• $|CD| = |CD|$ - bok wspólny.

Krok 2. Trzy pary boków równe, więc z cechy BBB: $\triangle ACD \equiv \triangle BCD$.

Krok 3. W trójkątach przystających odpowiednie kąty są równe, w szczególności kąt przy wierzchołku $A$ równa się kątowi przy wierzchołku $B$. $\blacksquare$

Tak właśnie dowodzi się znanej własności: w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

Przykład 2 - dowód z cechy BKB

Zadanie. Odcinki $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $S$, który jest środkiem każdego z nich. Uzasadnij, że $\triangle ASC \equiv \triangle BSD$.

Krok 1. $|AS| = |BS|$ oraz $|CS| = |DS|$ - bo $S$ jest środkiem obu odcinków.

Krok 2. Kąty $ASC$ i $BSD$ są wierzchołkowe, więc równe - i leżą między porównywanymi bokami.

Krok 3. Z cechy BKB: $\triangle ASC \equiv \triangle BSD$. $\blacksquare$

Wniosek z przystawania: $|AC| = |BD|$ - typowy sposób, w jaki przystawanie „produkuje” równości odcinków i kątów w dowodach.

Najczęstsze pytania

Ile elementów trzeba porównać, żeby stwierdzić przystawanie? Trzy - odpowiednio dobrane: trzy boki (BBB), dwa boki z kątem między nimi (BKB) albo bok z dwoma przyległymi kątami (KBK).

Dlaczego równość trzech kątów nie wystarcza? Bo kąty nie niosą informacji o rozmiarze - trójkąty o równych kątach mogą być różnej wielkości (są podobne, niekoniecznie przystające).

Czy trójkąty przystające mają równe pola? Tak - mają identyczne wszystkie wymiary, więc i pole, i obwód. Uwaga: w drugą stronę to nie działa - równe pola nie oznaczają przystawania.

Po co dowodzi się przystawania trójkątów? To podstawowe narzędzie dowodowe geometrii: z przystawania wynika równość pozostałych boków i kątów, co pozwala uzasadniać własności figur (np. równość kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego).

Przećwicz

• Podobieństwo trójkątów → - rozpoznawanie po kątach i obliczanie boków.

Podsumowanie

• Przystawanie = identyczność: równe odpowiednie boki i kąty; zapis $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ (kolejność liter koduje odpowiedniość).
• Cechy: BBB, BKB (kąt między bokami!), KBK (kąty przyległe do boku).
• KKK nie wystarcza (daje podobieństwo); układ BBK bywa niejednoznaczny.
• Przystawanie służy do dowodzenia równości odcinków i kątów; trójkąt jest figurą sztywną.