Nierówności z wartością bezwzględną

Klasa 2 liceum i technikum

Kiedy potrzebna jest metoda przypadków

Proste nierówności $|W| < r$ i $|W| > r$ rozwiązujemy regułami z wcześniejszej lekcji. Gdy jednak niewiadoma występuje poza modułem albo modułów jest kilka, trzeba rozbić zadanie na przedziały - tak samo jak przy równaniach, z jedną różnicą: wynik każdego przypadku jest zbiorem, więc trzeba go przeciąć z warunkiem przedziału.

Przykład 1 - niewiadoma poza modułem

Rozwiąż $|x - 1| < 2x$.

Krok 1. Miejsce zerowe: $x = 1$. Przedziały: $(-\infty; 1)$ oraz $\langle 1; +\infty)$.

Przypadek A: $x < 1$. Wtedy $|x-1| = 1 - x$:

$1 - x < 2x \quad\Longrightarrow\quad 1 < 3x \quad\Longrightarrow\quad x > \tfrac{1}{3}.$

Przecinamy z warunkiem przedziału:

$x \in \left(\tfrac{1}{3};\ 1\right).$

Przypadek B: $x \ge 1$. Wtedy $|x-1| = x - 1$:

$x - 1 < 2x \quad\Longrightarrow\quad -1 < x,$

co dla $x \ge 1$ jest zawsze prawdą. Część wspólna to cały przedział:

$x \in \langle 1;\ +\infty).$

Krok 2. Sumujemy wyniki obu przypadków:

$x \in \left(\tfrac{1}{3};\ 1\right) \cup \langle 1;\ +\infty) = \left(\tfrac{1}{3};\ +\infty\right).$

Sprawdzenie. Dla $x = 1$: $|1-1| = 0 < 2$ - prawda. Dla $x = 0$: $|0-1| = 1 < 0$ - fałsz, i rzeczywiście $0$ nie należy do rozwiązania.

Odpowiedź. $x \in \left(\tfrac{1}{3};\ +\infty\right)$.

Przykład 2 - dwa moduły

Rozwiąż $|x + 1| + |x - 2| \le 5$.

Krok 1. Miejsca zerowe: $x = -1$ oraz $x = 2$. Przedziały: $(-\infty; -1)$, $\langle -1; 2)$, $\langle 2; +\infty)$.

Przypadek A: $x < -1$. Oba wyrażenia ujemne:

$-(x+1) - (x-2) \le 5 \quad\Longrightarrow\quad -2x + 1 \le 5 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -2.$

Część wspólna z $(-\infty; -1)$: $x \in \langle -2;\ -1)$.

Przypadek B: $-1 \le x < 2$. Pierwsze nieujemne, drugie ujemne:

$(x+1) - (x-2) \le 5 \quad\Longrightarrow\quad 3 \le 5,$

co jest prawdą zawsze. Cały przedział wchodzi do rozwiązania: $x \in \langle -1;\ 2)$.

Przypadek C: $x \ge 2$. Oba nieujemne:

$(x+1) + (x-2) \le 5 \quad\Longrightarrow\quad 2x - 1 \le 5 \quad\Longrightarrow\quad x \le 3.$

Część wspólna: $x \in \langle 2;\ 3\rangle$.

Krok 2. Suma wszystkich przypadków:

$x \in \langle -2;\ -1) \cup \langle -1;\ 2) \cup \langle 2;\ 3\rangle = \langle -2;\ 3\rangle.$

Odpowiedź. $x \in \langle -2;\ 3\rangle$.

Kontrola geometryczna. Warunek mówi: suma odległości od $-1$ i od $2$ nie przekracza $5$. Same te liczby są oddalone o $3$, więc „zapas” wynosi $2$, po jednej jednostce na stronę - stąd końce $-2$ i $3$. Zgadza się.

Przykład 3 - moduł po obu stronach

Rozwiąż $|x - 4| \ge |x|$.

Obie strony są nieujemne, więc wolno podnieść nierówność do kwadratu:

$(x-4)^2 \ge x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 8x + 16 \ge x^2 \quad\Longrightarrow\quad -8x \ge -16 \quad\Longrightarrow\quad x \le 2.$

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ 2\rangle$.

Interpretacja: szukamy liczb, które są nie bliżej czwórki niż zera - czyli leżących na lewo od środka odcinka $\langle 0; 4\rangle$, wraz z samym środkiem.

Najczęstsze pytania

Dlaczego w przedziale przecinamy, a między przypadkami sumujemy? Bo wewnątrz przypadku muszą być spełnione jednocześnie dwa warunki (nierówność i warunek przedziału), a rozwiązaniem całego zadania jest każdy argument spełniający którykolwiek z przypadków.

Co, jeśli w przypadku wyszła nierówność zawsze prawdziwa? Wtedy cały rozważany przedział wchodzi do rozwiązania - jak w przypadku B w przykładzie 2.

Kiedy wolno podnieść nierówność z modułami do kwadratu? Gdy obie strony są nieujemne - na przykład gdy po obu stronach stoją moduły. To najkrótsza droga w takich zadaniach.

Czy przedziały z różnych przypadków mogą się nakładać? Mogą się stykać końcami (jak wyżej) - przy sumowaniu skleją się w jeden przedział. To normalne i warto uprościć zapis odpowiedzi.

Jak sprawdzić odpowiedź? Podstawić kilka liczb: jedną ze środka rozwiązania, jedną spoza i jedną z końca. Trzy podstawienia wyłapują większość błędów.

Przećwicz

• Nierówności z modułem → - metoda przypadków, dwa moduły i moduł po obu stronach.

Podsumowanie

• Schemat jak przy równaniach, ale wynik każdego przypadku przecinamy z jego przedziałem.
• Wyniki poszczególnych przypadków na końcu sumujemy.
• Nierówność zawsze prawdziwa w przypadku oznacza, że cały ten przedział jest rozwiązaniem.
• Gdy po obu stronach stoją moduły, można podnieść nierówność do kwadratu.