Postać kanoniczna funkcji kwadratowej i postać ogólna

Klasa 2 liceum i technikum

Po co dwie postacie

Postać ogólna jest wygodna, gdy chcemy odczytać przecięcie z osią $OY$ - wystarczy podstawić $x = 0$ i wychodzi $f(0) = c$. Nie widać z niej jednak rzeczy najważniejszej: gdzie leży wierzchołek paraboli.

Postać kanoniczna odpowiada na to pytanie od razu. Zapis $f(x) = a(x-p)^2 + q$ czytamy tak: weź podstawową parabolę $y = ax^2$ i przesuń ją o $p$ w poziomie oraz o $q$ w pionie. Wierzchołek, który dla $y = ax^2$ leży w początku układu, wyląduje wtedy w punkcie $(p, q)$.

Uzupełnianie do pełnego kwadratu

Przejście z postaci ogólnej na kanoniczną to nic innego jak odtworzenie wzoru skróconego mnożenia. Przypomnijmy go sobie:

$(x - p)^2 = x^2 - 2px + p^2.$

Widać tu, że wyraz przy $x$ jest równy $-2p$. Skoro w naszym wzorze mamy $-4x$, to znaczy, że $-2p = -4$, czyli $p = 2$. Prześledźmy to na przykładzie $f(x) = x^2 - 4x + 1$:

Krok 1. Patrzymy na dwa pierwsze składniki: $x^2 - 4x$. Chcemy je uzupełnić do pełnego kwadratu. Skoro $-2p = -4$, to $p = 2$, a brakuje nam $p^2 = 4$.

Krok 2. Dodajemy i od razu odejmujemy tę brakującą czwórkę - wartość wyrażenia się nie zmienia:

$f(x) = \underbrace{x^2 - 4x + 4}_{(x-2)^2} - 4 + 1.$

Krok 3. Zwijamy pierwsze trzy składniki wzorem skróconego mnożenia i porządkujemy resztę:

$f(x) = (x-2)^2 - 3.$

Gotowe. Wierzchołek leży w punkcie $W = (2, -3)$, co widać na rysunku wyżej.

Gdy współczynnik a nie jest równy 1

Wtedy przed uzupełnianiem wyłączamy $a$ przed nawias - inaczej wzór skróconego mnożenia się nie zgodzi. Weźmy $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$:

Krok 1. Wyłączamy $-2$ przed nawias, ale tylko z dwóch pierwszych składników:

$f(x) = -2\left(x^2 - 2x\right) + 1.$

Krok 2. Uzupełniamy wnętrze nawiasu: skoro $-2p = -2$, to $p = 1$ i brakuje $p^2 = 1$:

$f(x) = -2\left(x^2 - 2x + 1 - 1\right) + 1 = -2\left[(x-1)^2 - 1\right] + 1.$

Krok 3. Wymnażamy nawias kwadratowy przez $-2$ i porządkujemy:

$f(x) = -2(x-1)^2 + 2 + 1 = -2(x-1)^2 + 3.$

Wierzchołek to $W = (1, 3)$, a ramiona idą w dół, bo $a = -2 < 0$.

Uwaga na znaki. Gdy odejmujemy liczbę wewnątrz nawiasu, mnoży się ona przez $a$ przy wychodzeniu na zewnątrz. To najczęstsze miejsce pomyłek - dlatego warto na końcu sprawdzić wynik, podstawiając jedną liczbę do obu postaci wzoru.

Wzory na współrzędne wierzchołka

Uzupełnianie do kwadratu można wykonać raz, ogólnie - dla dowolnych $a$, $b$, $c$. Wynik jest tak przydatny, że zapamiętuje się go jako gotowe wzory:

$p = \frac{-b}{2a}, \qquad q = \frac{-\Delta}{4a}, \qquad \Delta = b^2 - 4ac.$

Skąd biorą się te wzory? Powtórzmy rachunek z poprzedniego punktu, tyle że z literami:

$f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c.$

Ostatnie dwa składniki sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$-\frac{b^2}{4a} + c = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} = \frac{-(b^2 - 4ac)}{4a} = \frac{-\Delta}{4a}.$

Otrzymujemy dokładnie postać kanoniczną, w której $p = -\frac{b}{2a}$ oraz $q = \frac{-\Delta}{4a}$.

Sprawdźmy wzory na naszym przykładzie $f(x) = x^2 - 4x + 1$:

$p = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2, \qquad \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 12, \qquad q = \frac{-12}{4 \cdot 1} = -3.$

Zgadza się z wynikiem uzupełniania do kwadratu: $f(x) = (x-2)^2 - 3$.

Praktyczna wskazówka. Współrzędną $q$ najszybciej policzysz, podstawiając $p$ do wzoru funkcji: $q = f(p)$. Dla naszej funkcji $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$ - bez liczenia delty.

W drugą stronę: z kanonicznej na ogólną

Tu wystarczy wymnożyć nawias i zredukować wyrazy podobne:

$f(x) = 3(x+1)^2 - 5 = 3\left(x^2 + 2x + 1\right) - 5 = 3x^2 + 6x + 3 - 5 = 3x^2 + 6x - 2.$

Postać ogólna przydaje się wtedy, gdy trzeba szybko odczytać $c$ (przecięcie z osią $OY$) albo policzyć deltę.

Oś symetrii

Z postaci kanonicznej wynika jeszcze jedna ważna rzecz. Wyrażenie $(x-p)^2$ przyjmuje tę samą wartość dla argumentów oddalonych od $p$ o tyle samo w lewo i w prawo - na przykład dla $p = 2$ mamy $f(1) = f(3)$, $f(0) = f(4)$ i tak dalej. Oznacza to, że prosta

$x = p$

jest osią symetrii paraboli. To ona pozwala później znajdować drugie miejsce zerowe, gdy znamy jedno, albo szkicować wykres z niewielkiej liczby punktów.

Najczęstsze pytania

Po co w ogóle zamieniać postać ogólną na kanoniczną? Żeby od razu zobaczyć wierzchołek, a przez to wartość najmniejszą lub największą funkcji, oś symetrii i przedziały monotoniczności. Każde zadanie typu „wyznacz wartość największą” albo „dla jakich argumentów funkcja rośnie” rozwiązuje się właśnie z postaci kanonicznej.

Czy w postaci kanonicznej $p$ to zawsze liczba w nawiasie ze zmienionym znakiem? Tak. W zapisie $a(x-p)^2 + q$ odejmujemy $p$, więc gdy widzisz $(x+3)^2$, to znaczy $p = -3$. Wierzchołek ma wtedy odciętą $-3$, a nie $3$ - to bardzo częsty błąd.

Czy każdą funkcję kwadratową da się zapisać w postaci kanonicznej? Tak, zawsze i to jednoznacznie - w odróżnieniu od postaci iloczynowej, która istnieje tylko wtedy, gdy funkcja ma miejsca zerowe.

Czy muszę liczyć deltę, żeby znaleźć wierzchołek? Nie. Wystarczy $p = \frac{-b}{2a}$, a potem $q = f(p)$. Wzór $q = \frac{-\Delta}{4a}$ jest wygodny głównie wtedy, gdy deltę i tak liczysz przy okazji miejsc zerowych.

Jak sprawdzić, czy nie pomyliłem się przy przekształceniu? Podstaw jakąkolwiek liczbę (np. $x = 0$) do obu postaci - muszą dać ten sam wynik. Dla $f(x) = x^2-4x+1$ i $f(x) = (x-2)^2-3$ dostajemy $f(0) = 1$ oraz $f(0) = 4 - 3 = 1$. Zgadza się.

Przećwicz

Zamiana postaci i wyznaczanie wierzchołka to podstawowa umiejętność w całym dziale - warto ją przećwiczyć na zadaniach z pełnym rozwiązaniem:

• Postać kanoniczna i wierzchołek → - zamiana wzoru na postać kanoniczną, współrzędne wierzchołka, oś symetrii.

Podsumowanie

• Postać ogólna: $f(x) = ax^2 + bx + c$ - widać z niej $c$, czyli przecięcie z osią $OY$.
• Postać kanoniczna: $f(x) = a(x-p)^2 + q$ - widać z niej wierzchołek $W = (p, q)$.
• Przejście „ogólna → kanoniczna” to uzupełnianie do pełnego kwadratu; gdy $a \ne 1$, najpierw wyłączamy $a$ przed nawias.
• Gotowe wzory: $p = \dfrac{-b}{2a}$, $q = f(p) = \dfrac{-\Delta}{4a}$, gdzie $\Delta = b^2 - 4ac$.
• Prosta $x = p$ jest osią symetrii paraboli.