Geometryczna interpretacja wartości bezwzględnej na osi liczbowej

Klasa 2 liceum i technikum

Środek i promień - czytanie zapisu

Cały pomysł polega na tym, żeby w zapisie $|x - a|$ zobaczyć odległość $x$ od $a$. Wtedy równanie i nierówności czyta się jak zdania po polsku:

• $|x - 4| = 3$ - „$x$ jest oddalone od $4$ o $3$”;
• $|x - 4| < 3$ - „$x$ jest oddalone od $4$ o mniej niż $3$”;
• $|x - 4| \ge 3$ - „$x$ jest oddalone od $4$ o co najmniej $3$”.

Uwaga na znak w środku: w $|x + 2|$ środkiem jest $-2$, bo $|x + 2| = |x - (-2)|$.

Nierówność „mniej niż” - jeden przedział

Warunek $|x - 2| \le 3$ opisuje liczby oddalone od $2$ o co najwyżej $3$ jednostki, czyli wszystko między $2 - 3 = -1$ a $2 + 3 = 5$:

Ogólna reguła: „blisko środka” daje jeden przedział, symetryczny względem $a$.

$|x - a| < r \iff a - r < x < a + r.$

Przy nierówności nieostrej ($\le$) końce należą do rozwiązania, przy ostrej ($<$) - nie.

Nierówność „więcej niż” - dwa przedziały

Warunek $|x| > 2$ opisuje liczby oddalone od zera o więcej niż $2$ - a takie leżą po obu stronach, na zewnątrz przedziału:

$|x - a| > r \iff x < a - r \ \text{ lub } \ x > a + r.$

Jak to zapamiętać. „Mniej niż” trzyma liczby blisko środka - stąd jeden przedział. „Więcej niż” wypycha je daleko - stąd dwa przedziały i suma.

Równanie - dwa punkty

Równanie $|x - a| = r$ (dla $r > 0$) opisuje dokładnie dwie liczby: leżące o $r$ w lewo i w prawo od środka.

Przykład. $|x + 1| = 4$. Środkiem jest $-1$, promieniem $4$:

$x = -1 - 4 = -5 \qquad \text{lub} \qquad x = -1 + 4 = 3.$

Dla $r = 0$ rozwiązanie jest jedno ($x = a$), a dla $r < 0$ - nie ma go wcale.

Odczytywanie w drugą stronę

Ta sama interpretacja pozwala zapisać dany przedział jednym wzorem z modułem - trzeba tylko znaleźć jego środek i promień.

Przykład. Zapisz przedział $\langle -3;\ 7\rangle$ za pomocą wartości bezwzględnej.

Krok 1. Środek to średnia końców:

$a = \frac{-3 + 7}{2} = 2.$

Krok 2. Promień to połowa długości przedziału:

$r = \frac{7 - (-3)}{2} = 5.$

Krok 3. Zapis. Przedział domknięty odpowiada nierówności nieostrej:

$|x - 2| \le 5.$

Sprawdzenie. Końce: $|-3 - 2| = 5$ oraz $|7 - 2| = 5$. Zgadza się.

Najczęstsze pytania

Jak rozpoznać środek w zapisie $|x + 5|$? To odległość od $-5$, bo $|x + 5| = |x - (-5)|$. Plus w środku oznacza liczbę ujemną.

Kiedy wychodzi jeden przedział, a kiedy dwa? Znak nierówności decyduje: „$<$” i „$\le$” dają jeden przedział wokół środka, a „$>$” i „$\ge$” - sumę dwóch przedziałów po bokach.

Co, gdy po prawej stronie jest liczba ujemna? Wtedy odpowiedź wynika od razu z tego, że moduł jest nieujemny: $|x - a| < -2$ nie ma rozwiązań, a $|x - a| > -2$ jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą.

Czy tak można rozwiązywać wszystkie zadania z modułem? Wszystkie tego typu, czyli z jednym modułem i liczbą po drugiej stronie. Gdy niewiadoma występuje też poza modułem albo modułów jest kilka, potrzebna jest metoda przypadków.

Jak zapisać przedział niesymetryczny, np. $(1; 8)$? Tak samo: środek $\frac{1+8}{2} = 4{,}5$, promień $\frac{8-1}{2} = 3{,}5$, czyli $|x - 4{,}5| < 3{,}5$. Każdy przedział ograniczony da się tak zapisać.

Przećwicz

• Proste równania i nierówności z modułem →
  • odczyt środka i promienia, zapis przedziału modułem.

Podsumowanie

• $|x - a|$ czytamy jako odległość $x$ od $a$; $a$ to środek, liczba po prawej - promień.
• $|x-a| = r$ daje dwie liczby: $a - r$ oraz $a + r$.
• $|x-a| < r$ daje jeden przedział $(a-r;\ a+r)$.
• $|x-a| > r$ daje sumę dwóch przedziałów.
• Odwrotnie: środek przedziału to średnia końców, a promień - połowa jego długości.