Własności funkcji liniowej - zadania różne

Klasa 1 liceum i technikum

Ta lekcja zbiera typowe zadania o funkcji liniowej - takie, jakie pojawiają się w sprawdzianach i na maturze. Każde rozwiązujemy krok po kroku, korzystając z poznanych własności: wzoru funkcji liniowej, miejsca zerowego i znaczenia współczynnika kierunkowego.

Zadanie 1. Znak funkcji liniowej

Treść. Dla jakich argumentów funkcja $f(x) = -2x + 4$ przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne?

Krok 1. Najpierw miejsce zerowe - to ono oddziela wartości dodatnie od ujemnych:

$-2x + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.$

Krok 2. Patrzymy na współczynnik kierunkowy: $a = -2 < 0$, więc funkcja jest malejąca - najpierw (dla małych $x$) jest dodatnia, potem ujemna.

Krok 3. Stąd odczytujemy znak:

$f(x) > 0 \ \text{ dla } \ x < 2, \qquad f(x) < 0 \ \text{ dla } \ x > 2.$

Odpowiedź. Funkcja jest dodatnia dla $x \in (-\infty; 2)$, a ujemna dla $x \in (2; +\infty)$.

Zadanie 2. Wzór z miejsca zerowego i wyrazu wolnego

Treść. Funkcja liniowa ma miejsce zerowe $x_0 = 3$, a jej wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -6)$. Wyznacz jej wzór.

Krok 1. Punkt przecięcia z osią $OY$ to wyraz wolny: $b = -6$. Mamy więc $f(x) = ax - 6$.

Krok 2. Korzystamy z miejsca zerowego: $f(3) = 0$:

$a \cdot 3 - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3a = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.$

Odpowiedź. $f(x) = 2x - 6$.

Zadanie 3. Parametr a monotoniczność

Treść. Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f(x) = (m - 1)x + 3$ jest malejąca?

Krok 1. Funkcja liniowa jest malejąca dokładnie wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny. Tutaj współczynnikiem kierunkowym jest $m - 1$:

$m - 1 < 0.$

Krok 2. Rozwiązujemy nierówność: $m < 1$.

Odpowiedź. Funkcja jest malejąca dla $m \in (-\infty; 1)$. (Dla $m = 1$ byłaby stała, a dla $m > 1$ rosnąca.)

Zadanie 4. Prosta równoległa przez dany punkt

Treść. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do prostej $y = 3x - 2$ i przechodzi przez punkt $P = (1, 5)$.

Krok 1. Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc $a = 3$. Szukany wzór ma postać $f(x) = 3x + b$.

Krok 2. Wstawiamy współrzędne punktu $P = (1, 5)$:

$5 = 3 \cdot 1 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 2.$

Odpowiedź. $f(x) = 3x + 2$.

Zadanie 5. Prosta prostopadła przez dany punkt

Treść. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do prostej $y = \tfrac{1}{2}x + 1$ i przechodzi przez punkt $P = (2, -3)$.

Krok 1. Dla prostych prostopadłych iloczyn współczynników kierunkowych wynosi $-1$. Ponieważ $a_1 = \tfrac{1}{2}$, szukany współczynnik to:

$a_2 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{\tfrac{1}{2}} = -2.$

Krok 2. Wzór ma postać $f(x) = -2x + b$. Wstawiamy $P = (2, -3)$:

$-3 = -2 \cdot 2 + b \quad\Longrightarrow\quad -3 = -4 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 1.$

Odpowiedź. $f(x) = -2x + 1$.

Zadanie 6. Punkt przecięcia dwóch prostych

Treść. Wyznacz punkt wspólny wykresów funkcji $f(x) = 2x - 1$ oraz $g(x) = -x + 5$.

Krok 1. W punkcie wspólnym obie funkcje mają tę samą wartość, więc przyrównujemy wzory:

$2x - 1 = -x + 5.$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie:

$2x + x = 5 + 1 \quad\Longrightarrow\quad 3x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.$

Krok 3. Obliczamy wartość (z dowolnego wzoru): $f(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.

Odpowiedź. Wykresy przecinają się w punkcie $(2, 3)$.

Podsumowanie metod

• Znak funkcji odczytujemy z miejsca zerowego i znaku $a$ (rosnąca/malejąca).
• Wzór budujemy z dostępnych danych: punkt przecięcia z $OY$ daje $b$, miejsce zerowe lub dowolny punkt pozwala wyznaczyć $a$.
• Parametr badamy, przekładając warunek (rosnąca/malejąca/stała) na nierówność lub równanie dla współczynnika kierunkowego.
• Równoległość: $a_1 = a_2$; prostopadłość: $a_1 \cdot a_2 = -1$.
• Punkt wspólny dwóch prostych znajdujemy, przyrównując ich wzory.

Najczęstsze pytania

Jak sprawdzić, czy punkt leży na prostej? Podstawiamy jego współrzędne do wzoru. Jeśli równość jest prawdziwa, punkt należy do wykresu. Dla $f(x) = 2x - 1$ i punktu $(3, 5)$: $2 \cdot 3 - 1 = 5$ - zgadza się, punkt leży na prostej.

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych? Przyrównujemy ich wzory: $a_1x + b_1 = a_2x + b_2$ i wyliczamy $x$, a potem podstawiamy do dowolnego wzoru po $y$. Gdy $a_1 = a_2$ i $b_1 \ne b_2$, równanie jest sprzeczne - proste są równoległe i punktu przecięcia nie ma.

Co robić z zadaniami „dla jakich wartości parametru $m$…”? Zapisujemy warunek na współczynniku, a nie na całej funkcji. Rosnąca to $a > 0$, malejąca $a < 0$, stała $a = 0$, równoległa do danej prostej to równość współczynników kierunkowych. Potem rozwiązujemy zwykłą nierówność lub równanie z niewiadomą $m$.

Skąd wiadomo, dla jakich argumentów funkcja liniowa jest dodatnia? Rozwiązujemy nierówność $ax + b > 0$. Wynikiem jest zawsze półprosta - przedział nieograniczony z jednej strony, którego końcem jest miejsce zerowe. Pamiętaj o zmianie zwrotu nierówności przy dzieleniu przez ujemne $a$.

Przećwicz

Chcesz rozwiązać więcej? Zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku, pogrupowane według rodzaju:

• Wyznaczanie wzoru z dwóch punktów → - obliczanie $a$ i $b$ z dwóch punktów wykresu.
• Miejsce zerowe funkcji liniowej → - rozwiązanie równania $ax + b = 0$.
• Monotoniczność i parametr → - znak współczynnika $a$, dobieranie parametru $m$.
• Prosta równoległa przez punkt → - ten sam współczynnik kierunkowy.
• Prosta prostopadła przez punkt → - współczynnik $-\tfrac{1}{a}$.

Albo zobacz wszystkie zadania z funkcji liniowej →. Przyda się też interaktywny rysownik funkcji liniowej.