Ciąg geometryczny krok po kroku - iloraz i wzór na n-ty wyraz

Klasa 3 liceum i technikum

Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez tę samą liczbę $q$, zwaną ilorazem ciągu. Na przykład $3, 6, 12, 24, \ldots$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q = 2$, a jego $n$-ty wyraz to $a_n = 3 \cdot 2^{\,n-1}$.

Ciąg arytmetyczny rośnie przez dodawanie stałej liczby, geometryczny - przez mnożenie. To piąta lekcja rozdziału ciągi; warto mieć za sobą lekcję o ciągu arytmetycznym, bo wiele kroków przebiega identycznie, tylko z mnożeniem i potęgami zamiast dodawania.

Jak obliczyć iloraz ciągu geometrycznego

Iloraz to liczba, przez którą mnożymy, żeby przejść do następnego wyrazu. Jeśli wyrazy są różne od zera, dzielimy dowolny wyraz przez poprzedni:

$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \ldots = \frac{a_{n+1}}{a_n}$

• $3, 6, 12, 24$: $q = \frac{6}{3} = 2$;
• $81, 27, 9, 3$: $q = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$;
• $5, -10, 20, -40$: $q = \frac{-10}{5} = -2$ (znaki się przeplatają);
• $7, 7, 7, 7$: $q = 1$ (ciąg stały).

Żeby sprawdzić, czy ciąg dany wzorem jest geometryczny, liczymy iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ dla ogólnego $n$. Jeśli wychodzi liczba niezależna od $n$ - ciąg jest geometryczny.

Przykład 1. Sprawdź, czy ciąg $a_n = 5 \cdot 2^n$ jest geometryczny.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5 \cdot 2^{n+1}}{5 \cdot 2^n} = 2$

Odpowiedź. Tak: iloraz $q = 2$ nie zależy od $n$. Pierwszy wyraz to $a_1 = 5 \cdot 2 = 10$ (a nie $5$ - wykładnik to $n$, nie $n - 1$).

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Od $a_1$ do $a_n$ mnożymy przez $q$ dokładnie $n - 1$ razy:

$a_2 = a_1 q, \quad a_3 = a_1 q^2, \quad a_4 = a_1 q^3, \quad \ldots, \quad a_n = a_1 q^{\,n-1}$

Przykład 2. Wyznacz wzór ogólny i ósmy wyraz ciągu $3, 6, 12, 24, \ldots$

$a_1 = 3$, $q = 2$, więc $a_n = 3 \cdot 2^{\,n-1}$ i

$a_8 = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384$

Odpowiedź. $a_n = 3 \cdot 2^{\,n-1}$, $a_8 = 384$.

Przykład 3. W ciągu geometrycznym $a_1 = 81$ i $q = \frac{1}{3}$. Oblicz $a_5$.

$a_5 = 81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{81}{81} = 1$

Odpowiedź. $a_5 = 1$.

Ciąg geometryczny z dwóch wyrazów

Gdy znamy dwa wyrazy, ale nie $a_1$ i $q$, korzystamy z tego, że od $a_k$ do $a_n$ mnożymy przez $q$ dokładnie $n - k$ razy: $a_n = a_k \cdot q^{\,n-k}$. Dzielimy więc większy numer przez mniejszy i dostajemy równanie z potęgą $q$.

Przykład 4. W ciągu geometrycznym $a_2 = 6$ i $a_5 = 48$. Wyznacz $a_1$ i $q$.

Krok 1. Iloraz. Od $a_2$ do $a_5$ są trzy mnożenia: $a_5 = a_2 \cdot q^3$.

$q^3 = \frac{48}{6} = 8 \quad\Longrightarrow\quad q = 2$

Krok 2. Pierwszy wyraz. $a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{6}{2} = 3$.

Odpowiedź. $a_1 = 3$, $q = 2$ (ciąg $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$).

Przy parzystej potędze trzeba uważać - równanie $q^2 = 9$ ma dwa rozwiązania.

Przykład 5. W ciągu geometrycznym $a_3 = 4$ i $a_5 = 36$. Wyznacz ten ciąg.

Krok 1. $a_5 = a_3 \cdot q^2$, więc $q^2 = 9$, czyli $q = 3$ lub $q = -3$.

Krok 2. $a_1 = \frac{a_3}{q^2} = \frac{4}{9}$ - w obu przypadkach tyle samo.

Odpowiedź. Są dwa takie ciągi: $a_n = \frac{4}{9} \cdot 3^{\,n-1}$ oraz $a_n = \frac{4}{9} \cdot (-3)^{\,n-1}$. W drugim wyrazy parzyste są ujemne ($a_2 = -\frac{4}{3}$, $a_4 = -12$). Jeśli zadanie mówi, że wyrazy są dodatnie, zostaje tylko $q = 3$.

Warunek na trzy kolejne wyrazy: b² = ac

Jeśli $a, b, c$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to $b = aq$ i $c = aq^2$, więc

$b^2 = a^2q^2 = a \cdot aq^2 = a \cdot c$

Dla liczb dodatnich oznacza to, że środkowy wyraz jest średnią geometryczną sąsiadów: $b = \sqrt{ac}$. Na przykład między $4$ i $9$ wstawiamy $6$, bo $6^2 = 4 \cdot 9$.

Odwrotnie: jeśli $a, b, c$ są różne od zera i $b^2 = ac$, to tworzą ciąg geometryczny. Założenie o zerach jest konieczne - liczby $0, 0, 5$ spełniają $0^2 = 0 \cdot 5$, a ciągiem geometrycznym nie są (z $0$ nie da się dojść do $5$ mnożeniem).

Przykład 6. Dla jakich $x$ liczby $x - 1$, $x + 3$, $3x + 1$ (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny?

Krok 1. Warunek. $(x + 3)^2 = (x - 1)(3x + 1)$.

Krok 2. Równanie.

$x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 8x - 10 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 4x - 5 = 0$

$(x - 5)(x + 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 5 \ \text{ lub } \ x = -1$

Krok 3. Sprawdzenie, czy wyrazy są niezerowe.

• $x = 5$: liczby $4, 8, 16$ - ciąg geometryczny o $q = 2$;
• $x = -1$: liczby $-2, 2, -2$ - ciąg geometryczny o $q = -1$.

Odpowiedź. $x = 5$ lub $x = -1$.

Monotoniczność ciągu geometrycznego

O tym, czy ciąg geometryczny rośnie, czy maleje, decydują dwie liczby: znak $a_1$ i wartość $q$ (sama $q > 1$ nie wystarcza). Badanie wynika z różnicy $a_{n+1} - a_n = a_n(q - 1)$ - por. lekcja o monotoniczności ciągu.

Przykład 7. Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = -2 \cdot 3^n$.

Ciąg jest geometryczny: $a_1 = -6$, $q = 3$. Pierwszy wyraz ujemny i $q > 1$, więc ciąg jest malejący: $-6, -18, -54, \ldots$ - każdy wyraz jest trzy razy „bardziej ujemny”.

Ciąg geometryczny w życiu: wzrost i zanik

Ciągi geometryczne opisują wszystko, co co jakiś czas rośnie lub maleje o ten sam procent

• kapitał na lokacie, liczbę bakterii, wartość samochodu tracącego co roku część ceny. Wzrost o $p\%$ to mnożenie przez $q = 1 + \frac{p}{100}$, spadek o $p\%$ - przez $q = 1 - \frac{p}{100}$.

Przykład 8. Liczba bakterii w hodowli podwaja się co $20$ minut. Na początku było ich $500$. Ile będzie ich po $3$ godzinach?

W $3$ godzinach mieści się $180 : 20 = 9$ podwojeń, więc liczba bakterii to $500 \cdot 2^9 = 500 \cdot 512 = 256\,000$.

Odpowiedź. $256\,000$ bakterii. Do pieniędzy na lokatach wrócimy w lekcji o procencie składanym.

Typowe błędy

• Wykładnik $n$ zamiast $n - 1$. $a_n = a_1 q^{\,n-1}$; przy $a_1 = 3$, $q = 2$ wyraz $a_8$ to $3 \cdot 2^7 = 384$, a nie $3 \cdot 2^8 = 768$.
• Zgubione ujemne $q$ przy równaniu $q^2 = 9$ (albo $q^4 = 16$) - są dwa ciągi.
• Warunek $b^2 = ac$ bez sprawdzenia zer. Rozwiązanie dające wyraz $0$ trzeba odrzucić.
• Monotoniczność tylko z $q$. Przy $a_1 < 0$ i $q > 1$ ciąg maleje, nie rośnie.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć iloraz ciągu geometrycznego? Podziel dowolny wyraz przez poprzedni: $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Dla $3, 6, 12$ wychodzi $q = 2$. Gdy znasz dwa dalsze wyrazy, np. $a_2$ i $a_5$, rozwiąż $q^3 = \frac{a_5}{a_2}$.

Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego?$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$, gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, a $q$ to iloraz.

Jak sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny? Oblicz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ dla ogólnego $n$ (przy niezerowych wyrazach). Jeśli wynik jest stałą liczbą, ciąg jest geometryczny i ta liczba to iloraz.

Jaki jest warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego? Liczby niezerowe $a, b, c$ tworzą ciąg geometryczny dokładnie wtedy, gdy $b^2 = ac$. Dla dodatnich oznacza to $b = \sqrt{ac}$.

Czym różni się ciąg geometryczny od arytmetycznego? W arytmetycznym do każdego wyrazu dodajemy tę samą różnicę $r$, w geometrycznym każdy wyraz mnożymy przez ten sam iloraz $q$.

Czy ciąg geometryczny może mieć iloraz ujemny? Tak. Wtedy znaki wyrazów się przeplatają, np. $5, -10, 20, -40$ ($q = -2$), a ciąg nie jest monotoniczny.

Czy ciąg stały jest geometryczny? Tak, ciąg stały o niezerowych wyrazach ($7, 7, 7, \ldots$) jest geometryczny z ilorazem $q = 1$. Jest też arytmetyczny z różnicą $r = 0$.

Przećwicz

• Ciąg geometryczny - zadania → - 7 zadań z rozwiązaniami: wzór na $n$-ty wyraz, sprawdzanie ilorazu, ciąg z dwóch wyrazów (także z ujemnym $q$), warunek $b^2 = ac$ z pułapką zerowego wyrazu, układ z sumą i iloczynem oraz utrata wartości samochodu.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• Ciąg geometryczny: $a_{n+1} = a_n \cdot q$; $q$ to iloraz.
• $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ (dla wyrazów niezerowych), $a_n = a_1 q^{\,n-1}$, ogólniej $a_n = a_k q^{\,n-k}$.
• Z dwóch wyrazów: równanie $q^{\,n-k} = \frac{a_n}{a_k}$; przy parzystej potędze dwa rozwiązania.
• Trzy kolejne niezerowe wyrazy: $b^2 = ac$.
• Monotoniczność zależy od znaku $a_1$ i od $q$; przy $q < 0$ ciąg nie jest monotoniczny.
• Wzrost lub spadek o stały procent to ciąg geometryczny z $q = 1 \pm \frac{p}{100}$.

Zobacz też

• Suma ciągu arytmetycznego - poprzednia lekcja.
• Suma ciągu geometrycznego - następna lekcja: wzór na $S_n$.
• Ciąg geometryczny - wzory, iloraz, suma - zestawienie wzorów w dziale teorii.
• Funkcja wykładnicza - wzór $a_1 q^{\,n-1}$ to funkcja wykładnicza obejrzana tylko w liczbach naturalnych.