Twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta

Q: Czemu równa się kąt zewnętrzny trójkąta?

Sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Równoważnie: 180° minus kąt wewnętrzny przy tym samym wierzchołku.

Q: Ile wynosi suma kątów zewnętrznych?

360° - jeśli weźmiemy po jednym kącie zewnętrznym przy każdym wierzchołku. Dotyczy to każdego wielokąta wypukłego, nie tylko trójkąta.

Twierdzenie o kącie zewnętrznym

W trójkącie o kątach wewnętrznych $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ kąt zewnętrzny $\delta$ przy wierzchołku o kącie $\gamma$ spełnia

$\delta = \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma.$

Wersja słabsza (Euklides I.16): kąt zewnętrzny jest większy od każdego z kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych - i to zachodzi nawet bez postulatu równoległości.

Co mówi twierdzenie

Kąt zewnętrzny trójkąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego - powstaje, gdy przedłużymy jeden z boków poza wierzchołek. Kąt zewnętrzny i odpowiadający mu kąt wewnętrzny leżą po tej samej prostej, więc uzupełniają się do kąta półpełnego:

$\delta = 180^\circ - \gamma.$

Twierdzenie mówi, że ten sam kąt można policzyć zupełnie inaczej - jako sumę dwóch pozostałych kątów trójkąta:

$\delta = \alpha + \beta.$

Kąty $\alpha$ i $\beta$ nazywamy nieprzyległymi do kąta $\delta$ : to te dwa kąty wewnętrzne, które nie mają z nim wspólnego wierzchołka.

Uwaga na liczbę kątów zewnętrznych. Przy każdym wierzchołku można przedłużyć bok w dwie strony, więc kątów zewnętrznych jest tam dwa - są to kąty wierzchołkowe, więc mają równą miarę. Dlatego mówi się „kąt zewnętrzny przy wierzchołku $C$ ” bez dodatkowych zastrzeżeń.

Uwaga terminologiczna. Nazwa „kąty zewnętrzne” pojawia się też przy dwóch prostych przeciętych trzecią - oznacza tam kąty leżące na zewnątrz pary prostych. To zupełnie inne pojęcie niż kąt zewnętrzny trójkąta.

Założenia

Twierdzenie w mocnej postaci ( $\delta = \alpha + \beta$ ) wymaga dwóch rzeczy:

figura jest trójkątem na płaszczyźnie euklidesowej,
obowiązuje twierdzenie o sumie kątów trójkąta ( $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ ), które z kolei opiera się na postulacie równoległości.

Wersja słabsza - $\delta > \alpha$ oraz $\delta > \beta$ - jest znacznie mocniejszym wynikiem w tym sensie, że nie potrzebuje postulatu równoległości. Euklides udowodnił ją jako twierdzenie I.16, zanim po raz pierwszy skorzystał z piątego postulatu.

Dowód - wersja szkolna

Pokaż dowódUkryj dowód

Korzystamy z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie.

Krok 1. Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi $180^\circ$ :

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ.$

Krok 2. Kąt zewnętrzny $\delta$ przy wierzchołku o kącie $\gamma$ jest do niego przyległy, a kąty przyległe sumują się do kąta półpełnego:

$\delta + \gamma = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \delta = 180^\circ - \gamma.$

Krok 3. Z kroku 1 wyznaczamy $180^\circ - \gamma = \alpha + \beta$ i podstawiamy:

$\delta = \alpha + \beta. \qquad \blacksquare$

Zwróć uwagę, że rozumowanie da się odwrócić: mając twierdzenie o kącie zewnętrznym, natychmiast odtwarzamy sumę kątów trójkąta. Oba twierdzenia są równoważne - i oba wymagają postulatu równoległości.

Dowód Euklidesa - bez postulatu równoległości

Pokaż dowódUkryj dowód

Ten dowód daje słabszy wniosek ( $\delta > \alpha$ zamiast $\delta = \alpha + \beta$ ), ale nie korzysta z postulatu równoległości ani z twierdzenia o sumie kątów. To Elementy, księga I, twierdzenie 16.

Niech w trójkącie $ABC$ bok $BC$ przedłużymy poza $C$ do punktu $D$ . Kątem zewnętrznym jest $\angle ACD$ . Pokażemy, że $\angle ACD > \angle BAC$ .

Krok 1. Wybieramy środek boku. Niech $E$ będzie środkiem odcinka $AC$ , czyli $|AE| = |EC|$ .

Krok 2. Odbijamy punkt $B$ przez $E$ . Przedłużamy odcinek $BE$ poza $E$ do punktu $F$ tak, by $|EF| = |BE|$ .

Krok 3. Rozpoznajemy przystające trójkąty. W trójkątach $AEB$ i $CEF$ mamy:

$|AE| = |CE|, \qquad |BE| = |FE|, \qquad \angle AEB = \angle CEF$

(ostatnia równość - bo to kąty wierzchołkowe). Trójkąty są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok.

Krok 4. Przenosimy kąt. Z przystawania wynika

$\angle BAC = \angle BAE = \angle FCE.$

Krok 5. Porównujemy. Punkt $F$ leży wewnątrz kąta $\angle ACD$ , więc kąt $\angle FCE$ jest jego częścią właściwą:

$\angle ACD > \angle FCE = \angle BAC.$

Analogicznie - przedłużając bok $AC$ zamiast $BC$ i korzystając z tego, że kąty zewnętrzne przy tym samym wierzchołku są wierzchołkowe - dowodzimy $\angle ACD > \angle ABC$ . $\blacksquare$

W kroku 5 milcząco korzystamy z tego, że prosta jest nieskończona - że da się przedłużyć $BE$ i że $F$ wypadnie po właściwej stronie. To założenie, nie postulat równoległości, i właśnie ono zawodzi na sferze (patrz niżej).

Przykład

W trójkącie dane są kąty $\alpha = 47^\circ$ i $\beta = 68^\circ$ . Obliczmy kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku.

Sposób 1 - wprost z twierdzenia:

$\delta = \alpha + \beta = 47^\circ + 68^\circ = 115^\circ.$

Sposób 2 - okrężnie, przez kąt wewnętrzny:

$\gamma = 180^\circ - 47^\circ - 68^\circ = 65^\circ, \qquad \delta = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ.$

Oba dają ten sam wynik - o to właśnie chodzi w tym twierdzeniu. Sposób 1 oszczędza jeden krok rachunkowy, co przy zadaniach z wieloma trójkątami szybko się kumuluje.

Suma kątów zewnętrznych

Jeśli w trójkącie weźmiemy po jednym kącie zewnętrznym przy każdym wierzchołku, ich suma jest stała:

$(180^\circ - \alpha) + (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \gamma) = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ.$

Co więcej, ten sam wynik zachodzi dla każdego wielokąta wypukłego, niezależnie od liczby boków. Dla $n$ -kąta suma kątów wewnętrznych wynosi $(n-2) \cdot 180^\circ$ , więc suma kątów zewnętrznych to

$n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ.$

Intuicja: idąc wzdłuż obwodu wielokąta, przy każdym wierzchołku skręcamy o kąt zewnętrzny - a po obejściu całej figury wracamy do punktu wyjścia, obróciwszy się dokładnie raz.

Kiedy przestaje działać

Na sferze zawodzi nawet wersja słabsza. Weźmy trójkąt sferyczny o wierzchołku na biegunie północnym i dwóch wierzchołkach na równiku, oddalonych o $170^\circ$ długości geograficznej. Kąty przy równiku są proste, a kąt przy biegunie wynosi $170^\circ$ . Kąt zewnętrzny przy wierzchołku na równiku to $90^\circ$ - a nieprzyległy kąt przy biegunie ma $170^\circ$ , czyli więcej. Twierdzenie Euklidesa I.16 nie zachodzi, bo na sferze „proste” (koła wielkie) przecinają się dwukrotnie i nie są nieskończone.

W geometrii hiperbolicznej zawodzi tylko wersja mocna. Tam suma kątów trójkąta jest mniejsza od $180^\circ$ , więc

$\delta = 180^\circ - \gamma > \alpha + \beta.$

Kąt zewnętrzny jest większy od sumy dwóch nieprzyległych, a nie równy. Wersja słabsza (I.16) pozostaje prawdziwa - i to właśnie dlatego Euklides dowodził jej osobno, przed wprowadzeniem piątego postulatu.

Częsty błąd w zadaniach. Kąt zewnętrzny jest równy sumie kątów nieprzyległych - a nie dowolnych dwóch. Dodanie kąta przyległego do pozostałych daje bezsens: $\delta \neq \alpha + \gamma$ .

Po co to komu

Rachunki na kątach. W zadaniach z kilkoma trójkątami twierdzenie skraca drogę: kąt zewnętrzny odczytujemy jednym dodawaniem, bez liczenia kąta wewnętrznego po drodze.
Dowód, że trójkąt ma najwyżej jeden kąt prosty lub rozwarty. Gdyby były dwa, kąt zewnętrzny przy jednym z nich nie mógłby być większy od drugiego - wbrew I.16.
Istnienie prostych równoległych. Z twierdzenia I.16 Euklides wyprowadza I.27: jeśli kąty naprzemianległe są równe, proste są równoległe. To pierwszy dowód istnienia równoległych - i co istotne, nie wymaga piątego postulatu.
Kąt środkowy i wpisany. Klasyczny dowód twierdzenia o kącie wpisanym korzysta z trójkątów równoramiennych i właśnie z kąta zewnętrznego.

Kto i kiedy

Oba twierdzenia pochodzą z Elementów Euklidesa (ok. 300 r. p.n.e.):

I.16 - kąt zewnętrzny jest większy od każdego z kątów wewnętrznych nieprzyległych. Dowód nie korzysta z postulatu równoległości, więc twierdzenie obowiązuje także w geometrii hiperbolicznej. Takie wyniki nazywamy dziś twierdzeniami geometrii absolutnej.
I.32 - kąt zewnętrzny równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych nieprzyległych, a suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$ . Tu piąty postulat jest już niezbędny.

Kolejność u Euklidesa nie jest przypadkowa: przez pierwsze dwadzieścia osiem twierdzeń księgi I konsekwentnie unika on piątego postulatu, korzystając z niego dopiero w I.29. Dwa tysiące lat później okazało się, że ta ostrożność miała głęboki sens - geometrie nieeuklidesowe odrzucają właśnie ten postulat, zachowując całą resztę.

Najczęstsze pytania

Co to jest kąt zewnętrzny trójkąta? Kąt przyległy do kąta wewnętrznego, powstający przez przedłużenie boku poza wierzchołek. Razem z kątem wewnętrznym daje $180^\circ$ .

Ile kątów zewnętrznych ma trójkąt? Przy każdym wierzchołku dwa (bok można przedłużyć w obie strony), czyli sześć łącznie - ale te dwa przy tym samym wierzchołku są kątami wierzchołkowymi i mają równą miarę.

Czemu równa się kąt zewnętrzny trójkąta? Sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Równoważnie: $180^\circ$ minus kąt wewnętrzny przy tym samym wierzchołku.

Ile wynosi suma kątów zewnętrznych? $360^\circ$ - jeśli weźmiemy po jednym kącie zewnętrznym przy każdym wierzchołku. Dotyczy to każdego wielokąta wypukłego, nie tylko trójkąta.

Czy kąt zewnętrzny zawsze jest rozwarty? Nie. Jest rozwarty dokładnie wtedy, gdy odpowiadający mu kąt wewnętrzny jest ostry. W trójkącie prostokątnym kąt zewnętrzny przy kącie prostym też ma $90^\circ$ .

Czym różni się kąt zewnętrzny trójkąta od kątów zewnętrznych przy dwóch prostych? To dwa różne pojęcia o tej samej nazwie. Przy dwóch prostych przeciętych trzecią „kąty zewnętrzne” to te leżące poza obszarem między prostymi - nie mają nic wspólnego z przedłużaniem boku trójkąta.

Podsumowanie

Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych nieprzyległych: $\delta = \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$ .
Twierdzenie jest równoważne twierdzeniu o sumie kątów trójkąta i tak jak ono wymaga postulatu równoległości.
Wersja słabsza Euklidesa (I.16) - kąt zewnętrzny jest większy od każdego z nieprzyległych - obowiązuje bez piątego postulatu, także w geometrii hiperbolicznej.
Na sferze zawodzą obie wersje, bo koła wielkie przecinają się dwukrotnie.
Suma kątów zewnętrznych (po jednym z każdego wierzchołka) wynosi $360^\circ$ dla każdego wielokąta wypukłego.
Najczęstszy błąd: dodanie kąta przyległego zamiast dwóch nieprzyległych.