Rozwiązywanie równań metodą równań równoważnych

Q: Przez co wolno mnożyć obie strony?

Przez dowolną liczbę różną od zera. Mnożenie przez zero zamienia każde równanie w prawdziwe 0 = 0 i gubi informację o rozwiązaniach. Uwaga też na mnożenie przez wyrażenie z niewiadomą - może ono dołożyć rozwiązania spoza dziedziny.

Q: Czy można zamienić strony równania miejscami?

Tak, znak równości jest symetryczny: 5 = x znaczy to samo co x = 5. To wygodne, gdy niewiadoma „wylądowała" po prawej stronie.

Q: Skąd wiadomo, że rozwiązanie jest poprawne?

Z podstawienia do pierwotnego równania, a nie do wersji po przekształceniach. Sprawdzenie wyłapuje zarówno błędy rachunkowe, jak i rozwiązania obce, które mogły powstać po drodze.

Klasa 1 liceum i technikum

Rozwiązywanie równania polega na zastępowaniu go coraz prostszymi równaniami równoważnymi (o tym samym zbiorze rozwiązań) aż do momentu, gdy niewiadoma zostanie sama po jednej stronie. Wykonujemy w tym celu przekształcenia równoważne.

Przekształcenia równoważne

Zbiór rozwiązań równania nie zmienia się, gdy:

do obu stron równania dodamy (lub od obu stron odejmiemy) tę samą liczbę albo to samo wyrażenie;
obie strony równania pomnożymy (lub podzielimy) przez tę samą liczbę różną od zera.

Pomaga tu obraz wagi: jeśli do obu szalek dołożymy taką samą masę albo obie zawartości powiększymy tyle samo razy, waga nadal pozostanie w równowadze.

Waga w równowadze, na obie szalki dokładana ta sama masa - belka nadal pozioma — Dodanie tej samej masy do obu szalek nie psuje równowagi - tak działa przekształcenie równoważne.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie $2x + 3 = 11$ .

$2x + 3 = 11 \qquad |-3$ $2x = 8 \qquad |:2$ $x = 4.$

Pionowa kreska po prawej zapisuje wykonywane przekształcenie: najpierw od obu stron odejmujemy $3$ , potem obie strony dzielimy przez $2$ .

Sprawdzenie: $2 \cdot 4 + 3 = 11$ - zgadza się. Zbiorem rozwiązań jest $\{4\}$ .

Przykład 2

Rozwiążmy równanie $5x - 2 = 3x + 8$ . Niewiadoma występuje po obu stronach - gromadzimy ją po jednej stronie, a liczby po drugiej.

$5x - 2 = 3x + 8 \qquad |-3x$ $2x - 2 = 8 \qquad |+2$ $2x = 10 \qquad |:2$ $x = 5.$

Sprawdzenie: lewa strona $5 \cdot 5 - 2 = 23$ , prawa strona $3 \cdot 5 + 8 = 23$ - równość zachodzi. Zbiorem rozwiązań jest $\{5\}$ .

Przykład 3 (z ułamkiem)

Rozwiążmy równanie $\dfrac{x + 1}{3} = 4$ .

$\frac{x + 1}{3} = 4 \qquad |\cdot 3$ $x + 1 = 12 \qquad |-1$ $x = 11.$

Sprawdzenie: $\dfrac{11 + 1}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ - poprawnie.

Uwaga

Wolno mnożyć i dzielić obie strony tylko przez liczbę różną od zera - pomnożenie przez zero zamieniłoby każde równanie w $0 = 0$ i zgubiło rozwiązania. Jeżeli w równaniu występują ułamki z niewiadomą w mianowniku, pamiętaj o dziedzinie i sprawdzaj, czy otrzymane rozwiązanie do niej należy.

Najczęstsze pytania

Co to znaczy, że równania są równoważne? Mają dokładnie ten sam zbiór rozwiązań. Przekształcając równanie, wolno wykonywać tylko takie operacje, które tego zbioru nie zmieniają - stąd nazwa metody.

Przez co wolno mnożyć obie strony? Przez dowolną liczbę różną od zera. Mnożenie przez zero zamienia każde równanie w prawdziwe $0 = 0$ i gubi informację o rozwiązaniach. Uwaga też na mnożenie przez wyrażenie z niewiadomą - może ono dołożyć rozwiązania spoza dziedziny.

Czy można zamienić strony równania miejscami? Tak, znak równości jest symetryczny: $5 = x$ znaczy to samo co $x = 5$ . To wygodne, gdy niewiadoma „wylądowała” po prawej stronie.

Skąd wiadomo, że rozwiązanie jest poprawne? Z podstawienia do pierwotnego równania, a nie do wersji po przekształceniach. Sprawdzenie wyłapuje zarówno błędy rachunkowe, jak i rozwiązania obce, które mogły powstać po drodze.