Matura 2017 matematyka podstawowa - arkusz, odpowiedzi i rozwiązania

Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność: $16^{-2} = \frac{1}{16^2}$. Ponieważ $16^2 = 256 = 2^8$, mamy

$$5^8 \cdot 16^{-2} = \frac{5^8}{2^8} = \left(\frac{5}{2}\right)^8.$$

Odpowiedź C to typowy błąd: pomnożenie podstaw $5$ i $16$ (albo $5$ i $2$) przy zachowaniu wykładnika - iloczyn potęg można tak łączyć tylko przy równych wykładnikach.

Odpowiedź: A. Zobacz: potęga o wykładniku całkowitym ujemnym oraz zadania z potęg.

Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka: $54 = 27 \cdot 2$, a $\sqrt[3]{27} = 3$, więc

$$\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}.$$

Pułapka to odpowiedź A: różnicy pierwiastków nie wolno zamieniać na pierwiastek różnicy ($\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{2} \approx 2{,}52$, a $\sqrt[3]{52} \approx 3{,}73$).

Odpowiedź: C. Zobacz: pierwiastek arytmetyczny oraz zadania z pierwiastków.

Najpierw wnosimy współczynniki do wykładnika ($n\log_a b = \log_a b^n$), potem korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:

$$2\log_2 3 - 2\log_2 5 = \log_2 9 - \log_2 25 = \log_2 \frac{9}{25}.$$

Odpowiedź B powstaje, gdy zgubi się współczynnik $2$, a C - gdy pomnoży się przez $2$ tylko pierwszy logarytm.

Odpowiedź: A. Zobacz: zastosowanie logarytmów oraz zadania z logarytmów.

Wzrost o $120\%$ oznacza, że obecna liczebność to $100\% + 120\% = 220\%$ liczebności z 2011 roku:

$$2{,}2x = 8910 \quad\Longrightarrow\quad x = 4050.$$

Sprawdzenie: $4050 + 1{,}2 \cdot 4050 = 4050 + 4860 = 8910$. Pułapka to odpowiedź C: $7425 = 8910 : 1{,}2$ - wynik dla wzrostu do $120\%$, czyli o $20\%$.

Odpowiedź: A. Zobacz: procenty oraz zadania z procentów.

Kwadraty dwóch liczb są równe, gdy te liczby są równe albo przeciwne:

$$x\sqrt{2} - 2 = 2 + \sqrt{2} \quad\text{lub}\quad x\sqrt{2} - 2 = -2 - \sqrt{2}.$$

Z drugiego równania $x\sqrt{2} = -\sqrt{2}$, czyli $x = -1$. (Pierwsze daje $x = 2\sqrt{2} + 1$, ale tej liczby nie ma wśród odpowiedzi.) Sprawdzenie dla $x = -1$: $\left(-\sqrt{2} - 2\right)^2 = \left(2 + \sqrt{2}\right)^2$.

Dla $x = \sqrt{2}$ lewa strona to $(2 - 2)^2 = 0$, a dla $x = -\sqrt{2}$ to $(-4)^2 = 16$ - żadna nie jest równa $\left(2 + \sqrt{2}\right)^2 = 6 + 4\sqrt{2} \approx 11{,}66$.

Odpowiedź: C. Zobacz: wzory skróconego mnożenia.

Czynnik $x^4 + 1$ jest zawsze dodatni ($x^4 \ge 0$), więc znak iloczynu zależy tylko od $2 - x$. Nierówność jest równoważna $2 - x > 0$, czyli $x < 2$. Spośród podanych liczb tylko $3$ nie jest mniejsza od $2$ (dla $x = 3$ iloczyn to $82 \cdot (-1) < 0$).

Odpowiedź: D. Zobacz: nierówności wielomianowe.

$$2 - 3x \ge 4 \quad\Longleftrightarrow\quad -3x \ge 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le -\frac{2}{3}.$$

Przy dzieleniu przez liczbę ujemną $-3$ zmieniamy zwrot nierówności - kto o tym zapomni, dostaje $x \ge -\frac{2}{3}$. Znak $\ge$ w treści oznacza, że $-\frac{2}{3}$ należy do zbioru (koniec zamalowany), więc odpada C.

Odpowiedź: D. Zobacz: nierówności z jedną niewiadomą.

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z czynników jest zerem:

• $x = 0$,
• $x^2 - 4 = 0$, czyli $x = -2$ lub $x = 2$,
• $x^2 + 4 = 0$ - brak rozwiązań, bo $x^2 + 4 \ge 4$.

Są więc trzy rozwiązania: $-2$, $0$, $2$. Odpowiedź D to pułapka dla tych, którzy policzą stopień wielomianu ($5$) zamiast jego pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: C. Zobacz: równania wielomianowe.

Rozwiązujemy równanie $f(x) = 0$:

$$\sqrt{3}(x + 1) = 12 \quad\Longrightarrow\quad x + 1 = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad x = 4\sqrt{3} - 1.$$

Odpowiedź: C. Zobacz: miejsce zerowe funkcji liniowej.

Współczynnik $c$ to wartość funkcji w zerze: $f(0) = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = c$, czyli rzędna punktu, w którym parabola przecina oś $Oy$. Z rysunku $f(0) = 3$.

To samo rachunkiem: z postaci iloczynowej $f(x) = a(x + 3)(x - 1)$ i wierzchołka $W = (-1, 4)$ mamy $a \cdot 2 \cdot (-2) = 4$, więc $a = -1$ i $f(x) = -(x + 3)(x - 1) = -x^2 - 2x + 3$. Odpowiedź D ($4$) to druga współrzędna wierzchołka, a nie $c$.

Odpowiedź: C. Zobacz: miejsca zerowe i postać iloczynowa.

Podstawiamy współrzędne punktu $A$: $f(1) = a^1 = a = 2$. Odpowiedzi A i C odpadają od razu - podstawa funkcji wykładniczej musi być dodatnia. Odpowiedź B dałaby funkcję malejącą, a wykres rośnie.

Odpowiedź: D. Zobacz: funkcja wykładnicza.

Różnica ciągu $r = a_2 - a_1 = 6$, więc

$$a_n = a_1 + (n - 1)r = 5 + 6(n - 1) = 6n - 1.$$

Równanie $6n - 1 = 71$ daje $n = 12$. Sprawdzenie: $a_{12} = 5 + 11 \cdot 6 = 71$.

Odpowiedź: B. Zobacz: ciąg arytmetyczny oraz zadania z ciągów.

Iloraz ciągu to $q = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$, więc trzeci wyraz jest równy $6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$:

$$a - 1 = \frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{5}{2}.$$

To samo daje warunek $6^2 = 24(a - 1)$. Pułapka to odpowiedź C: $\frac{3}{2}$ to trzeci wyraz, a pytanie dotyczy liczby $a$.

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg geometryczny.

Dla kąta ostrego $\sin\alpha = \cos\left(90^\circ - \alpha\right)$ - w trójkącie prostokątnym przyprostokątna leżąca naprzeciw jednego kąta ostrego jest przyległa do drugiego. Zatem

$$\sin 50^\circ = \cos\left(90^\circ - 50^\circ\right) = \cos 40^\circ.$$

Odpowiedź: B. Zobacz: trygonometria kąta ostrego - powtórzenie.

Odcinki $OA$ i $OC$ są promieniami, więc trójkąt $AOC$ jest równoramienny i kąty przy podstawie $AC$ są równe: $|\sphericalangle OAC| = |\sphericalangle OCA| = 56^\circ$.

Kąt $\alpha = |\sphericalangle COB|$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $AOC$ (przyległym do kąta $AOC$), więc równa się sumie dwóch kątów tego trójkąta nieprzyległych do niego:

$$\alpha = 56^\circ + 56^\circ = 112^\circ.$$

Inaczej: $|\sphericalangle AOC| = 180^\circ - 2 \cdot 56^\circ = 68^\circ$ oraz $\alpha = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

Odpowiedź: C. Zobacz: koła i kąty.

Ponieważ $DE \parallel AC$, trójkąty $DBE$ i $CBA$ są podobne (mają wspólny kąt przy $B$ i kąty odpowiadające przy prostych równoległych). Stąd

$$\frac{|DE|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|BC|} \quad\Longrightarrow\quad |DE| = 24 \cdot \frac{10}{12} = 20.$$

Odpowiedź A ($24 - 2$) to „odjęcie” odcinka $DC$ od podstawy - długości przy podobieństwie zmieniają się proporcjonalnie, a nie o stałą różnicę.

Odpowiedź: B. Zobacz: twierdzenie Talesa oraz zadania z trójkątów.

Trójkąt ma kąty $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, a $a$ to przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$. W takim trójkącie przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od tej przyprostokątnej, a druga przyprostokątna $\sqrt{3}$ razy dłuższa:

$$\sin 30^\circ = \frac{a}{|AC|} \;\Rightarrow\; |AC| = 2a, \qquad \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{a}{|AB|} \;\Rightarrow\; |AB| = a\sqrt{3}.$$

Obwód: $a + a\sqrt{3} + 2a = \left(3 + \sqrt{3}\right)a$.

Odpowiedź: C. Zobacz: rozwiązywanie trójkąta.

Tangens kąta nachylenia prostej do osi $Ox$ jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu. Prosta przechodzi przez $(0, 0)$ i $(2, -3)$, więc

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{-3 - 0}{2 - 0} = -\frac{3}{2}.$$

Znak ujemny jest zgodny z rysunkiem: prosta jest malejąca, a kąt $\alpha$ - rozwarty. Odpowiedź A to odwrócony iloraz ($\frac{x}{y}$ zamiast $\frac{y}{x}$), a D - zgubiony minus.

Odpowiedź: B. Zobacz: współczynnik kierunkowy.

Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe, których iloczyn wynosi $-1$, więc prosta $l$ ma współczynnik $4$: $y = 4x + b$. Przechodzi przez $A = (-2, 4)$:

$$4 = 4 \cdot (-2) + b \quad\Longrightarrow\quad b = 12.$$

Prosta $y = 4x - 12$ (C) też jest prostopadła do $k$, ale nie przechodzi przez $A$: $4 \cdot (-2) - 12 = -20 \ne 4$.

Odpowiedź: D. Zobacz: równanie kierunkowe prostej.

Punkt leży na okręgu, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi. Dla punktu $A$:

$$|SA| = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.$$

Pozostałe odległości to $|SB| = 6$, $|SC| = \sqrt{2}$, $|SD| = 3$.

Odpowiedź: A. Zobacz: równanie okręgu oraz zadania z geometrii analitycznej.

Podstawy to dwa kwadraty o boku $a$, ściany boczne - cztery prostokąty $a \times 3a$:

$$2a^2 + 4 \cdot a \cdot 3a = 14a^2 = 140 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt{10}.$$

Częsty błąd to pominięcie dwóch podstaw ($12a^2 = 140$) - wtedy wychodzi liczba, której nie ma wśród odpowiedzi.

Odpowiedź: A. Zobacz: graniastosłupy oraz zadania z graniastosłupów i ostrosłupów.

Wysokość $OS$ jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt $OSA$ jest prostokątny z kątem prostym przy $S$. Jego przyprostokątne są równe ($|AS| = |OS|$), czyli to połówka kwadratu: kąt $OAS$ ma $45^\circ$ i

$$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Odpowiedź: B. Zobacz: walec.

Promień podstawy to połowa średnicy: $r = 6$. Zatem

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 4 = 48\pi.$$

Pułapki: $192\pi$ to wynik dla $r = 12$ (średnica wzięta za promień), a $144\pi$ - objętość walca, czyli wzór bez czynnika $\frac{1}{3}$.

Odpowiedź: D. Zobacz: stożek oraz zadania z brył obrotowych.

Suma ośmiu liczb musi być równa $8 \cdot 11 = 88$. Suma liczb znanych to $3 + 5 + 7 + 9 + 15 + 17 + 19 = 75$, więc

$$x = 88 - 75 = 13.$$

Odpowiedź: D. Zobacz: średnia z próby oraz zadania ze statystyki.

Dzielniki liczby $24$ to $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ - jest ich $8$ (nie zapominamy o $1$ i o samej liczbie $24$).

$$P(A) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}.$$

Odpowiedź: B. Zobacz: definicja prawdopodobieństwa.

Krok 1. Pierwiastki trójmianu. Wyłączamy wspólny czynnik:

$$8x^2 - 72x = 8x(x - 9),$$

więc trójmian ma pierwiastki $x_1 = 0$ i $x_2 = 9$.

Krok 2. Znak. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i przyjmuje wartości niedodatnie między pierwiastkami (razem z nimi, bo nierówność jest nieostra).

Najczęstszy błąd to podzielenie obu stron przez $x$ - nie wiadomo, czy $x$ jest dodatnie, ujemne, czy równe zeru, więc taki krok gubi rozwiązania (zasady oceniania CKE dają za niego $0$ punktów).

Odpowiedź: $x \in [0, 9]$. Zobacz: nierówności kwadratowe oraz zadania z funkcji kwadratowej.

Krok 1. Wyłączamy najmniejszą potęgę przed nawias:

$$4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}\left(1 + 4 + 4^2 + 4^3\right) = 4^{2017}(1 + 4 + 16 + 64).$$

Krok 2. Liczymy nawias: $1 + 4 + 16 + 64 = 85 = 5 \cdot 17$, więc

$$4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 17 \cdot \left(5 \cdot 4^{2017}\right).$$

Krok 3. Wniosek. Liczba $5 \cdot 4^{2017}$ jest naturalna, więc dana liczba jest iloczynem $17$ i liczby naturalnej, czyli dzieli się przez $17$. To kończy dowód.

Odpowiedź: suma jest równa $4^{2017} \cdot 85 = 17 \cdot 5 \cdot 4^{2017}$. Zobacz: potęga o wykładniku naturalnym.

Krok 1. Promienie do punktów styczności. Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności, więc $|\sphericalangle PAB| = 90^\circ$ i $|\sphericalangle RBA| = 90^\circ$. Stąd

$$|\sphericalangle CBR| = 90^\circ - \beta.$$

Krok 2. Trójkąt równoramienny. Odcinki $RB$ i $RC$ są promieniami drugiego okręgu, więc trójkąt $BRC$ jest równoramienny: $|\sphericalangle BCR| = |\sphericalangle CBR| = 90^\circ - \beta$. Kąt przy wierzchołku $R$:

$$|\sphericalangle BRC| = 180^\circ - 2\left(90^\circ - \beta\right) = 2\beta.$$

Krok 3. Czworokąt $ABRP$. Punkt styczności $C$ leży na odcinku $PR$, więc kąt $BRP$ to kąt $BRC$, a kąt $RPA$ to kąt $APC$. Suma kątów czworokąta wynosi $360^\circ$:

$$90^\circ + 90^\circ + 2\beta + \alpha = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 180^\circ - 2\beta.$$

To kończy dowód. (Krótszy wariant: $AP \parallel BR$, bo obie proste są prostopadłe do $AB$, więc $ABRP$ to trapez i kąty przy ramieniu $PR$ sumują się do $180^\circ$: $\alpha + 2\beta = 180^\circ$.)

Odpowiedź: $\alpha + 2\beta = 180^\circ$, czyli $\alpha = 180^\circ - 2\beta$. Zobacz: styczna i sieczna oraz dwa okręgi.

Krok 1. Oś symetrii. Funkcja przyjmuje tę samą wartość w $-6$ i w $0$, więc oś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między tymi argumentami:

$$p = \frac{-6 + 0}{2} = -3.$$

Krok 2. Postać kanoniczna. Największa wartość $6$ to druga współrzędna wierzchołka: $q = 6$, a $a < 0$ (funkcja ma wartość największą, więc ramiona idą w dół). Zatem

$$f(x) = a(x + 3)^2 + 6.$$

Krok 3. Warunek $f(0) = \frac{3}{2}$:

$$a \cdot 9 + 6 = \frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad 9a = -\frac{9}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{1}{2}.$$

Sprawdzenie: $f(x) = -\frac{1}{2}(x + 3)^2 + 6$, więc $f(-6) = -\frac{9}{2} + 6 = \frac{3}{2}$.

Pułapka: liczby $-6$ i $0$ nie są miejscami zerowymi - funkcja przyjmuje w nich wartość $\frac{3}{2}$, nie $0$.

Odpowiedź: $a = -\frac{1}{2}$. Zobacz: postać kanoniczna oraz wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.

Krok 1. Równanie z twierdzenia Pitagorasa. Niech $x$ będzie krótszą przyprostokątną (w cm), wtedy dłuższa ma długość $x + 14$:

$$x^2 + (x + 14)^2 = 26^2 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 28x + 196 = 676 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 14x - 240 = 0.$$

Krok 2. Rozwiązanie. $\Delta = 14^2 + 4 \cdot 240 = 1156 = 34^2$, więc

$$x = \frac{-14 + 34}{2} = 10 \quad\text{lub}\quad x = \frac{-14 - 34}{2} = -24.$$

Długość nie może być ujemna, więc $x = 10$. Boki trójkąta: $10$, $24$, $26$ (sprawdzenie: $100 + 576 = 676$).

Krok 3. Obwód: $10 + 24 + 26 = 60$ cm.

Odpowiedź: obwód jest równy $60$ cm. Zobacz: twierdzenie Pitagorasa.

Krok 1. Różnica ciągu. $S_3 = a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 3a_1 + 3r$, więc

$$24 + 3r = 33 \quad\Longrightarrow\quad r = 3.$$

Krok 2. Szukana różnica. Wyrazy $a_{16}$ i $a_{13}$ dzielą trzy kroki ciągu:

$$a_{16} - a_{13} = (a_1 + 15r) - (a_1 + 12r) = 3r = 9.$$

(Bez skrótu: $a_{16} = 8 + 45 = 53$, $a_{13} = 8 + 36 = 44$.)

Odpowiedź: $a_{16} - a_{13} = 9$. Zobacz: suma ciągu arytmetycznego.

Krok 1. Wierzchołek $B$. Na osi $Ox$ jest $y = 0$: $-2x + 10 = 0$, więc $x = 5$ i $B = (5, 0)$.

Krok 2. Prosta $AM$. Współczynnik kierunkowy: $\frac{9 - 0}{2 - (-4)} = \frac{3}{2}$. Prosta przechodzi przez $A = (-4, 0)$:

$$y = \frac{3}{2}(x + 4) = \frac{3}{2}x + 6.$$

Krok 3. Wierzchołek $C$. Rozwiązujemy układ równań prostych $k$ i $AM$:

$$\frac{3}{2}x + 6 = -2x + 10 \quad\Longrightarrow\quad \frac{7}{2}x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{8}{7}, \qquad y = -2 \cdot \frac{8}{7} + 10 = \frac{54}{7}.$$

Zatem $C = \left(\frac{8}{7}, \frac{54}{7}\right)$. Uwaga: punkt $M$ nie jest wierzchołkiem trójkąta - leży na prostej $AM$, ale nie na prostej $k$ ($-2 \cdot 2 + 10 = 6 \ne 9$).

Krok 4. Pole. Podstawa $AB$ leży na osi $Ox$ i ma długość $5 - (-4) = 9$, a wysokość opuszczona na nią z wierzchołka $C$ to druga współrzędna punktu $C$:

$$P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{54}{7} = \frac{243}{7} = 34\tfrac{5}{7}.$$

Odpowiedź: $P_{ABC} = \frac{243}{7}$. Zobacz: układy równań w geometrii analitycznej oraz zadania z geometrii analitycznej.

Krok 1. Wszystkie wyniki. Liczb dwucyfrowych jest $99 - 10 + 1 = 90$, więc $|\Omega| = 90$.

Krok 2. Wyniki sprzyjające. Liczby dwucyfrowe mniejsze od $40$ i podzielne przez $3$:

$$A = \{12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39\},$$

więc $|A| = 10$.

Uwaga na granice: najmniejsza taka liczba to $12$ (nie $9$ - ta jest jednocyfrowa), a największa to $39$.

Krok 3. Prawdopodobieństwo:

$$P(A) = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}.$$

Odpowiedź: $P(A) = \frac{1}{9}$. Zobacz: obliczanie prawdopodobieństwa oraz zadania z rachunku prawdopodobieństwa.

Krok 1. Krawędź podstawy. Powierzchnia boczna to trzy przystające trójkąty o podstawie $a$ i wysokości $h = \frac{5\sqrt{3}}{4}$:

$$3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{5\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{15\sqrt{3}}{8}a = \frac{15\sqrt{3}}{4} \quad\Longrightarrow\quad a = 2.$$

Krok 2. Wysokość ostrosłupa. Spodek wysokości $O$ to środek trójkąta równobocznego w podstawie. Wysokość ściany bocznej, wysokość ostrosłupa $H$ i odcinek $OD$ (od środka podstawy do środka krawędzi, czyli promień okręgu wpisanego w podstawę) tworzą trójkąt prostokątny. Promień okręgu wpisanego:

$$|OD| = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \qquad H^2 = h^2 - |OD|^2 = \frac{75}{16} - \frac{1}{3} = \frac{225 - 16}{48} = \frac{209}{48}.$$

Pułapka: odejmujemy promień okręgu wpisanego ($\frac{1}{3}$ wysokości podstawy), a nie opisanego - bo wysokość ściany bocznej kończy się w środku krawędzi podstawy.

Krok 3. Objętość. Pole podstawy $P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$, a $H = \frac{\sqrt{209}}{\sqrt{48}} = \frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}$, więc

$$V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{209}}{12}.$$

Odpowiedź: $V = \frac{\sqrt{209}}{12}$ (około $1{,}20$). Zobacz: ostrosłupy oraz zadania z graniastosłupów i ostrosłupów.