Zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych

Klasa 2 liceum i technikum

Największa trudność to nie rachunek

W zadaniach tekstowych sama matematyka jest zwykle prosta - trudność polega na przetłumaczeniu słów na wzór. Dlatego pierwsze dwa punkty schematu są najważniejsze: precyzyjne oznaczenie niewiadomej i wypisanie warunków, które ona spełnia.

Drugi typowy problem to koniec zadania. Równanie kwadratowe daje zwykle dwa rozwiązania, ale treść często dopuszcza tylko jedno - bo długość nie bywa ujemna, a liczba osób ułamkowa.

Przykład 1 - liczby

Zadanie. Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych wynosi $145$. Znajdź te liczby.

Krok 1. Niewiadoma. Niech $x$ - pierwsza liczba, $x \in \mathbb{N}$. Druga to $x + 1$.

Krok 2. Równanie.

$x^2 + (x+1)^2 = 145.$

Krok 3. Rozwiązanie.

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 145 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 2x - 144 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x - 72 = 0.$

$\Delta = 1 + 288 = 289, \qquad \sqrt{\Delta} = 17, \qquad x_1 = \frac{-1-17}{2} = -9, \qquad x_2 = \frac{-1+17}{2} = 8.$

Krok 4. Odrzucenie. Liczba $-9$ nie jest naturalna, więc odpada.

Odpowiedź. Szukane liczby to $8$ i $9$ (sprawdzenie: $64 + 81 = 145$).

Przykład 2 - pole figury

Zadanie. Prostokąt ma obwód $34$ cm i pole $60$ cm². Oblicz długości jego boków.

Krok 1. Niewiadoma. Niech $x$ - długość jednego boku (cm), $x > 0$. Z obwodu wynika, że suma dwóch sąsiednich boków to $17$ cm, więc drugi bok ma długość $17 - x$, przy czym $0 < x < 17$.

Krok 2. Równanie z pola.

$x(17 - x) = 60.$

Krok 3. Rozwiązanie.

$17x - x^2 = 60 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 17x + 60 = 0, \qquad \Delta = 289 - 240 = 49,$

$x_1 = \frac{17 - 7}{2} = 5, \qquad x_2 = \frac{17 + 7}{2} = 12.$

Krok 4. Oba wyniki mieszczą się w przedziale $(0;\ 17)$ - i oba opisują ten sam prostokąt, tylko raz $x$ jest bokiem krótszym, a raz dłuższym.

Odpowiedź. Boki mają długości $5$ cm i $12$ cm.

Przykład 3 - prędkość i czas

Zadanie. Rowerzysta przejechał $60$ km. Gdyby jechał o $5$ km/h szybciej, dotarłby na miejsce o godzinę wcześniej. Z jaką prędkością jechał?

Krok 1. Niewiadoma. Niech $v$ - prędkość rowerzysty (km/h), $v > 0$.

Krok 2. Równanie. Czas to droga podzielona przez prędkość, więc czas rzeczywisty to $\frac{60}{v}$, a hipotetyczny $\frac{60}{v+5}$. Różnica wynosi godzinę:

$\frac{60}{v} - \frac{60}{v+5} = 1.$

Krok 3. Rozwiązanie. Dziedzina: $v > 0$ (więc też $v + 5 \ne 0$). Mnożymy obie strony przez $v(v+5)$:

$60(v+5) - 60v = v(v+5) \quad\Longrightarrow\quad 300 = v^2 + 5v \quad\Longrightarrow\quad v^2 + 5v - 300 = 0.$

$\Delta = 25 + 1200 = 1225, \qquad \sqrt{\Delta} = 35, \qquad v_1 = \frac{-5-35}{2} = -20, \qquad v_2 = \frac{-5+35}{2} = 15.$

Krok 4. Prędkość ujemna nie ma sensu - odpada.

Odpowiedź. Rowerzysta jechał z prędkością $15$ km/h (jazda zajęła $4$ h, a szybsza zajęłaby $3$ h).

Przykład 4 - nierówność w treści

Nie każde zadanie kończy się równaniem. Gdy w treści pojawia się „co najmniej”, „nie więcej niż”, „przynajmniej”, dostajemy nierówność.

Zadanie. Piłkę wyrzucono pionowo w górę, a jej wysokość opisuje wzór $h(t) = -5t^2 + 20t$ (w metrach, $t$ w sekundach). Przez jaki czas piłka znajduje się na wysokości co najmniej $15$ m?

Krok 1. Nierówność.

$-5t^2 + 20t \ge 15.$

Krok 2. Porządkujemy (dzielimy przez $-5$, zmieniając zwrot):

$-5t^2 + 20t - 15 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2 - 4t + 3 \le 0.$

Krok 3. Miejsca zerowe: $t = 1$ oraz $t = 3$. Ramiona w górę, więc wartości niedodatnie są między pierwiastkami.

Krok 4. Odpowiedź. $t \in \langle 1;\ 3\rangle$ - piłka jest na wysokości co najmniej $15$ m przez $2$ sekundy.

Typowe warunki ukryte w treści

Warto mieć je z tyłu głowy, bo to one decydują, które rozwiązanie odrzucić:

• długość, pole, prędkość, czas, cena $\Rightarrow$ liczba dodatnia;
• liczba osób, sztuk, dni $\Rightarrow$ liczba naturalna;
• „liczba dwucyfrowa” $\Rightarrow$ $10 \le x \le 99$;
• bok trójkąta $\Rightarrow$ nierówność trójkąta;
• wiek $\Rightarrow$ liczba naturalna, zwykle też ograniczona z góry sensem zadania.

Najczęstsze pytania

Skąd wiadomo, co oznaczyć przez $x$? Najczęściej tę wielkość, o którą pyta zadanie. Gdy prowadzi to do skomplikowanego równania, warto spróbować innej - np. w zadaniach z prostokątem czasem wygodniej oznaczyć bok krótszy.

Czy zawsze trzeba odrzucać jedno rozwiązanie? Nie. Czasem oba mają sens (jak w zadaniu o prostokącie), a czasem żadne - wtedy zadanie nie ma rozwiązania i tak trzeba napisać.

Co, gdy równanie wychodzi bardzo skomplikowane? To zwykle znak, że warto zmienić oznaczenie albo zapisać zależność inaczej. Zadania szkolne są tak dobrane, by delta wychodziła „ładna” - brzydkie liczby sugerują błąd w układaniu równania.

Dlaczego w zadaniach z prędkością wychodzi równanie wymierne? Bo czas to iloraz drogi i prędkości, a niewiadoma siedzi w mianowniku. Po pomnożeniu przez mianownik równanie staje się kwadratowe - trzeba tylko pamiętać o dziedzinie.

Czy odpowiedź trzeba pisać zdaniem? Tak, i to nie jest formalność: samo „$x = 15$” nie mówi, czy chodzi o prędkość, czas, czy liczbę rowerów. Zdanie wymusza powrót do treści zadania.

Przećwicz

• Zadania optymalizacyjne → - zadania tekstowe o wartość największą i najmniejszą.
• Równania kwadratowe → - technika, która domyka każde z tych zadań.

Podsumowanie

• Schemat: oznacz niewiadomą $\to$ wypisz warunki $\to$ ułóż równanie $\to$ rozwiąż $\to$ odrzuć sprzeczne z treścią.
• Warunki ukryte (dodatniość, całkowitość) decydują, które rozwiązanie zostaje.
• Sformułowania „co najmniej”, „nie więcej niż” prowadzą do nierówności, nie do równania.
• Zadania z prędkością i czasem dają równania wymierne - trzeba pamiętać o dziedzinie.
• Odpowiedź zapisujemy zdaniem, wracając do wielkości z treści zadania.