Podobieństwo trójkątów

Q: Co to jest skala podobieństwa?

Wspólny stosunek odpowiednich boków, k. Mówi, ile razy jedna figura jest większa od drugiej; dla k = 1 figury są przystające.

Q: Jak zmienia się pole figury podobnej?

Jak kwadrat skali: P_2 = k² P_1. Dwukrotne powiększenie boków daje czterokrotnie większe pole.

Klasa 1 liceum i technikum

Podobieństwo trójkątów - co warto zapamiętać

Trójkąty są podobne ( $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ), gdy mają równe kąty, a boki proporcjonalne:

$\frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|EF|}{|BC|} = \frac{|DF|}{|AC|} = k \qquad (k - \text{skala podobieństwa})$

Stosunek obwodów trójkątów podobnych $= k$ ; stosunek pól $= k^2$ .

Co to znaczy, że trójkąty są podobne?

Dwa trójkąty nazywamy podobnymi, jeżeli ich odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie boki proporcjonalne. Wspólną wartość stosunków boków nazywamy skalą podobieństwa $k$ . Piszemy $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ .

Intuicyjnie: figury podobne mają ten sam kształt, ale niekoniecznie ten sam rozmiar - jedna jest powiększeniem (lub pomniejszeniem) drugiej, jak zdjęcie i jego odbitka w innym formacie, mapa i teren, model i budynek.

Trójkąty podobne: większy ma te same kąty co mniejszy, a każdy bok k razy dłuższy.

Gdy $k = 1$ , trójkąty podobne są przystające - przystawanie to szczególny przypadek podobieństwa.

Cechy podobieństwa trójkątów

Tak jak przy przystawaniu, nie trzeba sprawdzać wszystkiego - wystarczą trzy cechy (zapisywane małymi literami, dla odróżnienia od cech przystawania):

Cecha kkk (kąt-kąt-kąt). Jeżeli kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. (W praktyce wystarczą dwa kąty - trzeci jest wyznaczony przez sumę $180^\circ$ .)

Cecha bbb (bok-bok-bok). Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

Cecha bkb (bok-kąt-bok). Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego, a kąty między tymi bokami są równe, to trójkąty są podobne.

Najczęściej używana jest cecha kkk - dwa kąty znajduje się zwykle łatwo, np. z kątów przy prostych równoległych albo kątów wierzchołkowych. Prosta równoległa do boku trójkąta odcina trójkąt podobny do wyjściowego - to bliski krewny twierdzenia Talesa.

Przykład 1 - sprawdzanie podobieństwa (cecha bbb)

Zadanie. Czy trójkąty o bokach $4, 6, 8$ oraz $6, 9, 12$ są podobne?

Krok 1. Porządkujemy boki rosnąco i porównujemy stosunki odpowiednich boków:

$\frac{6}{4} = 1{,}5 \qquad \frac{9}{6} = 1{,}5 \qquad \frac{12}{8} = 1{,}5.$

Krok 2. Wszystkie trzy stosunki są równe, więc z cechy bbb trójkąty są podobne w skali $k = 1{,}5$ .

Odpowiedź: Tak, są podobne ( $k = \tfrac{3}{2}$ ).

Przykład 2 - obliczanie boku z podobieństwa

Zadanie. Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne, przy czym $|AB| = 5$ , $|BC| = 7$ oraz $|DE| = 15$ . Oblicz $|EF|$ .

Krok 1. Skala podobieństwa (od $ABC$ do $DEF$ ): $k = \dfrac{|DE|}{|AB|} = \dfrac{15}{5} = 3$ .

Krok 2. Odpowiednikiem boku $BC$ jest bok $EF$ : $|EF| = k \cdot |BC| = 3 \cdot 7 = 21$ .

Odpowiedź: $|EF| = 21$ .

Obwody i pola figur podobnych

Jeżeli trójkąty (ogólnie: figury) są podobne w skali $k$ , to stosunek ich obwodów jest równy $k$ , a stosunek ich pól jest równy $k^2$ .

Obwód to suma długości - każda rośnie $k$ razy, więc i suma rośnie $k$ razy. Pole to „długość razy długość” (np. $\tfrac{1}{2} a h$ ) - oba czynniki rosną $k$ razy, więc pole rośnie $k^2$ razy.

Przykład 3. Trójkąty są podobne w skali $k = 3$ . Pole mniejszego wynosi $8$ . Oblicz pole większego.

$P_2 = k^2 \cdot P_1 = 9 \cdot 8 = 72.$

Przykład 4. Pola dwóch trójkątów podobnych wynoszą $25$ i $49$ . W jakiej skali są podobne?

$k^2 = \frac{49}{25} \quad\Longrightarrow\quad k = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{7}{5}.$

Odpowiedź: $k = \tfrac{7}{5}$ (boki większego są $1{,}4$ razy dłuższe). Częsty błąd to dzielenie pól bez pierwiastkowania - pamiętaj: pola mają się jak $k^2$ , boki jak $k$ .

Podobieństwo a przystawanie - porównanie

przystawanie: równe kąty i równe boki - identyczny kształt i rozmiar;
podobieństwo: równe kąty i boki proporcjonalne - identyczny kształt, rozmiar w skali $k$ ;
cechy przystawania (BBB, BKB, KBK) mówią o równości boków, cechy podobieństwa (bbb, bkb, kkk) - o ich proporcjonalności;
KKK nie dowodzi przystawania, ale kkk dowodzi podobieństwa - na tym polega różnica.

Najczęstsze pytania

Ile kątów trzeba porównać, by stwierdzić podobieństwo? Dwa - jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego, to trzecie też są równe (suma $180^\circ$ ) i trójkąty są podobne z cechy kkk.

Co to jest skala podobieństwa? Wspólny stosunek odpowiednich boków, $k$ . Mówi, ile razy jedna figura jest większa od drugiej; dla $k = 1$ figury są przystające.

Jak zmienia się pole figury podobnej? Jak kwadrat skali: $P_2 = k^2 P_1$ . Dwukrotne powiększenie boków daje czterokrotnie większe pole.

Gdzie podobieństwo trójkątów spotyka się z twierdzeniem Talesa? Prosta równoległa do boku trójkąta odcina trójkąt podobny do wyjściowego - proporcje z twierdzenia Talesa to dokładnie proporcje boków trójkątów podobnych.

Przećwicz

Podobieństwo trójkątów → - skala, brakujące boki i stosunek pól.

Podsumowanie

Podobieństwo: równe kąty + boki proporcjonalne (skala $k$ ); zapis $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ .
Cechy: kkk (wystarczą dwa kąty), bbb (proporcjonalność boków), bkb.
Obwody figur podobnych mają się jak $k$ , pola - jak $k^2$ .
Przystawanie = podobieństwo w skali $k = 1$ .