Wielkie twierdzenie Fermata

Q: Dlaczego dla n = 2 rozwiązań jest nieskończenie wiele, a dla n = 3 już żadnego?

Bo przy wykładniku 2 pełne kwadraty są na tyle gęste, że sumy trafiają w kolejne kwadraty. Przy wyższych wykładnikach potęgi rozrzedzają się gwałtownie - to intuicja, nie dowód; dowód wymaga zupełnie innych narzędzi.

Q: Czy wystarczy sprawdzić wykładniki pierwsze?

Tak - wystarczy rozstrzygnąć przypadek n = 4 oraz n pierwszych nieparzystych, bo każdy inny wykładnik n > 2 dzieli się przez jedną z tych liczb.

Dla każdej liczby naturalnej $n > 2$ równanie

$x^n + y^n = z^n$

nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych $x$ , $y$ , $z$ .

Co mówi twierdzenie

Treść mieści się w jednym zdaniu, a dowód zajął matematyce $358$ lat.

Kontrast z przypadkiem $n = 2$ jest uderzający. Równanie $x^2 + y^2 = z^2$ ma nieskończenie wiele rozwiązań - to trójki pitagorejskie w rodzaju $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ czy $(8,15,17)$ . Co więcej, wszystkie da się wypisać jednym wzorem: dla względnie pierwszych $m > k > 0$ różnej parzystości

$x = m^2 - k^2, \qquad y = 2mk, \qquad z = m^2 + k^2.$

Wystarczy podnieść wykładnik o jeden - i rozwiązania znikają. Całkowicie, dla wszystkich wykładników naraz. Nie ma ich dla $n = 3$ , nie ma dla $n = 100$ , nie ma dla żadnego.

Przez ponad trzysta lat była to hipoteza, mimo tradycyjnej nazwy „twierdzenie”. W wielu językach mówi się o ostatnim twierdzeniu Fermata - bo pozostało ostatnim z jego zapisków, którego nie udało się rozstrzygnąć ani udowodnić, ani obalić.

Założenia - co dokładnie jest potrzebne

Sformułowanie wygląda niewinnie, ale każde z trzech założeń jest istotne:

$n > 2$ . Dla $n = 1$ rozwiązań jest nieskończenie wiele (choćby $1 + 2 = 3$ ), dla $n = 2$ też - trójki pitagorejskie. Twierdzenie zaczyna obowiązywać dopiero od sześcianów.
Liczby dodatnie. Gdyby dopuścić zero, każda trójka $(x, 0, x)$ byłaby rozwiązaniem.
Liczby całkowite. W liczbach rzeczywistych rozwiązań jest oczywiście mnóstwo - wystarczy wziąć dowolne $x, y > 0$ i położyć $z = \sqrt[n]{x^n + y^n}$ .

Wystarczy zresztą rozstrzygnąć twierdzenie dla $n = 4$ oraz dla $n$ pierwszych nieparzystych. Każdy inny wykładnik $n > 2$ ma bowiem dzielnik $d$ będący czwórką albo nieparzystą liczbą pierwszą, a rozwiązanie dla $n$ dałoby natychmiast rozwiązanie dla $d$ : z $x^n + y^n = z^n$ i $n = d \cdot m$ wynika $(x^m)^d + (y^m)^d = (z^m)^d$ .

Dowód przypadku n = 4 - metoda nieskończonego schodzenia

Pokaż dowódUkryj dowód

To jedyny przypadek, który Fermat naprawdę udowodnił - i zrobił to własną metodą nieskończonego schodzenia: z każdego rozwiązania buduje się mniejsze, co jest niemożliwe, bo liczby naturalne nie maleją w nieskończoność.

Udowodnimy więcej, niż trzeba: że równanie $x^4 + y^4 = z^2$ nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych. Przypadek $n = 4$ jest jego szczególnym przypadkiem, bo $z^4 = (z^2)^2$ .

Krok 1. Wybieramy najmniejsze rozwiązanie. Przypuśćmy, że rozwiązania istnieją. Wśród nich wybieramy to o najmniejszym $z$ . Można założyć, że $x$ i $y$ są względnie pierwsze - wspólny dzielnik dałoby się skrócić, otrzymując mniejsze rozwiązanie.

Krok 2. Rozpoznajemy trójkę pitagorejską. Zapisujemy równanie jako

$(x^2)^2 + (y^2)^2 = z^2.$

To pierwotna trójka pitagorejska, więc (przy odpowiednim wyborze oznaczeń) istnieją względnie pierwsze liczby $m > k > 0$ różnej parzystości takie, że

$x^2 = m^2 - k^2, \qquad y^2 = 2mk, \qquad z = m^2 + k^2.$

Krok 3. Znajdujemy drugą trójkę. Pierwsza z równości daje

$x^2 + k^2 = m^2,$

czyli kolejną pierwotną trójkę pitagorejską. Zatem istnieją względnie pierwsze $a > b > 0$ takie, że

$x = a^2 - b^2, \qquad k = 2ab, \qquad m = a^2 + b^2.$

Krok 4. Korzystamy z drugiej równości. Podstawiamy do $y^2 = 2mk$ :

$y^2 = 2 \cdot (a^2 + b^2) \cdot 2ab = 4ab(a^2 + b^2) \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{y}{2}\right)^2 = ab(a^2+b^2).$

Krok 5. Rozbijamy iloczyn na kwadraty. Liczby $a$ , $b$ oraz $a^2 + b^2$ są parami względnie pierwsze, a ich iloczyn jest kwadratem - każda z nich musi więc sama być kwadratem:

$a = u^2, \qquad b = v^2, \qquad a^2 + b^2 = w^2.$

Krok 6. Otrzymujemy mniejsze rozwiązanie. Podstawiając:

$u^4 + v^4 = a^2 + b^2 = w^2,$

czyli nowe rozwiązanie równania $x^4 + y^4 = z^2$ . Przy tym

$w \leq w^2 = a^2 + b^2 = m \leq m^2 < m^2 + k^2 = z,$

więc nowe rozwiązanie jest istotnie mniejsze od wyjściowego.

Krok 7. Sprzeczność. Wybraliśmy rozwiązanie najmniejsze, a znaleźliśmy mniejsze. Takie schodzenie mogłoby trwać w nieskończoność, co jest niemożliwe wśród liczb naturalnych. Zatem rozwiązań nie ma. $\blacksquare$

Historia - 358 lat poszukiwań

1637 - notatka na marginesie. Fermat zapisał hipotezę na marginesie Arytmetyki Diofantosa, dodając słynne zdanie: „Znalazłem zaiste zdumiewający dowód tego twierdzenia, ale margines jest zbyt wąski, by go pomieścić”. Notatkę znalazł po jego śmierci syn Samuel, który w 1670 roku wydał egzemplarz ojca wraz z jego uwagami.

Kolejne wykładniki po kolei. Przez dwa stulecia rozstrzygano pojedyncze przypadki: $n = 4$ (sam Fermat), $n = 3$ (Euler, 1753), $n = 5$ (Dirichlet i Legendre, 1825), $n = 7$ (Lamé, 1839). Każdy kosztował lata pracy, a przypadków było nieskończenie wiele.

Kummer i narodziny algebry współczesnej. W XIX wieku Ernst Kummer pokazał, że wiele „dowodów” psuje się dlatego, iż w pierścieniach liczb algebraicznych rozkład na czynniki pierwsze nie musi być jednoznaczny - inaczej niż mówi podstawowe twierdzenie arytmetyki o liczbach całkowitych. Żeby to naprawić, wprowadził liczby idealne, z których wyrosła cała teoria ideałów i współczesna algebra. Sam problem Fermata okazał się mniej ważny niż narzędzia, które powstały przy próbach jego rozwiązania.

Nagroda Wolfskehla (1908). Paul Wolfskehl zapisał $100$ tysięcy marek dla tego, kto rozstrzygnie hipotezę. Do akademii popłynęły tysiące błędnych „rozwiązań” od amatorów; inflacja po I wojnie światowej zdewaluowała nagrodę niemal do zera. Wypłacono ją ostatecznie w 1997 roku - w wysokości około $50$ tysięcy dolarów.

Faltings (1983). Gerd Faltings udowodnił hipotezę Mordella, z której wynikało, że dla każdego $n > 2$ równanie ma co najwyżej skończenie wiele rozwiązań. Do zera było jednak wciąż daleko.

Wiles (1993-1995). Andrew Wiles pracował w tajemnicy siedem lat. Nie atakował problemu wprost: udowodnił szczególny przypadek hipotezy Taniyamy-Shimury o krzywych eliptycznych, z której - jak wcześniej pokazali Frey, Serre i Ribet - wielkie twierdzenie Fermata wynika. Rozumowanie jest nie wprost: z hipotetycznego rozwiązania $a^n + b^n = c^n$ buduje się krzywą eliptyczną o tak osobliwych własnościach, że nie może ona istnieć.

Podczas recenzji wykryto lukę w jednym z oszacowań; Wiles usunął ją wraz z Richardem Taylorem, a poprawiony dowód ukazał się w 1995 roku. Ma około $130$ stron i korzysta z matematyki, która w czasach Fermata nie istniała.

Dlaczego Fermat prawie na pewno nie miał dowodu

Wszystkie znane dowody wymagają narzędzi z XX wieku. Silniejszy argument jest jednak innej natury: Fermat pisał o tej hipotezie tylko raz, na marginesie, i nigdy później do niej nie wrócił - choć przypadek $n = 4$ opublikował i chętnie rzucał innym matematykom wyzwania. Najprawdopodobniej po latach sam zauważył lukę w swoim rozumowaniu.

Prawdopodobny scenariusz: Fermat założył, że rozkład na czynniki pierwsze pozostaje jednoznaczny także w pierścieniach liczb algebraicznych. To bardzo naturalne założenie - i dokładnie ten sam błąd popełnił dwieście lat później Lamé, ogłaszając w 1847 roku „dowód” przed Akademią Paryską. Lukę wytknął mu Liouville, a Kummer pokazał, gdzie dokładnie jednoznaczność zawodzi.

Po co to komu

Bezpośrednich zastosowań wielkie twierdzenie Fermata nie ma - i właśnie to jest w nim najciekawsze. Wartość tego problemu polegała na narzędziach, które powstały przy próbach jego rozwiązania:

Teoria ideałów Kummera - dziś podstawa algebry przemiennej i geometrii algebraicznej.
Krzywe eliptyczne - te same, na których opiera się współczesna kryptografia (podpisy ECDSA, wymiana kluczy w TLS).
Formy modularne i program Langlandsa - jeden z głównych nurtów matematyki XXI wieku.
Metoda nieskończonego schodzenia Fermata - do dziś standardowa technika w teorii liczb.

To dobry przykład tego, jak matematyka działa naprawdę: pytanie bez zastosowań okazało się warte trzystu lat pracy, bo droga do odpowiedzi zbudowała pół nowoczesnej algebry.

Kto i kiedy

Pierre de Fermat (1601-1665) był z zawodu prawnikiem, radcą parlamentu w Tuluzie, a matematyką zajmował się po godzinach; hipotezę zapisał około 1637 roku. Andrew Wiles (ur. 1953) przedstawił dowód w Cambridge w czerwcu 1993 roku, uzupełnił go wraz z Richardem Taylorem i opublikował w Annals of Mathematics w 1995 roku. Dostał za to m.in. Nagrodę Abela (2016) - na Medal Fieldsa był w chwili ogłoszenia dowodu o rok za stary.

Najczęstsze pytania

Czy Fermat naprawdę miał dowód? Prawie na pewno nie. Wszystkie znane dowody wymagają matematyki z XX wieku, a sam Fermat nigdy później nie wracał do ogólnego przypadku - opublikował za to dowód dla $n = 4$ , co sugeruje, że zauważył lukę w swoim rozumowaniu.

Dlaczego dla $n = 2$ rozwiązań jest nieskończenie wiele, a dla $n = 3$ już żadnego? Bo przy wykładniku $2$ pełne kwadraty są na tyle gęste, że sumy trafiają w kolejne kwadraty. Przy wyższych wykładnikach potęgi rozrzedzają się gwałtownie - to intuicja, nie dowód; dowód wymaga zupełnie innych narzędzi.

Ile trwał dowód Wilesa? Siedem lat pracy w tajemnicy, plus rok na usunięcie luki wykrytej podczas recenzji. Sam artykuł liczy około $130$ stron.

Czy wystarczy sprawdzić wykładniki pierwsze? Tak - wystarczy rozstrzygnąć przypadek $n = 4$ oraz $n$ pierwszych nieparzystych, bo każdy inny wykładnik $n > 2$ dzieli się przez jedną z tych liczb.

Czy komputer nie mógł tego sprawdzić? Nie. Komputery potwierdziły twierdzenie dla wykładników do kilku milionów, ale wykładników jest nieskończenie wiele - żadne sprawdzanie kolejnych przypadków nie zastąpi dowodu.

Czym różni się od małego twierdzenia Fermata? Wszystkim poza nazwiskiem. Małe twierdzenie dotyczy reszt z dzielenia i ma prosty dowód indukcyjny; wielkie dotyczy rozwiązań równania w liczbach całkowitych i czekało na dowód $358$ lat.

Podsumowanie

Równanie $x^n + y^n = z^n$ nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych dla $n > 2$ .
Dla $n = 2$ rozwiązań jest nieskończenie wiele - to trójki pitagorejskie opisane jawnym wzorem.
Przypadek $n = 4$ udowodnił sam Fermat metodą nieskończonego schodzenia: z każdego rozwiązania konstruuje się mniejsze, co jest niemożliwe wśród liczb naturalnych.
Hipoteza z 1637 roku została udowodniona przez Andrew Wilesa w 1995 roku - drogą przez hipotezę Taniyamy-Shimury o krzywych eliptycznych.
Wartością problemu były narzędzia, nie wynik: teoria ideałów, krzywe eliptyczne, formy modularne.