Symetria względem osi OX i OY - punkt, figura i wykres

Klasa 2 liceum i technikum

Symetria osiowa - przypomnienie

Symetria osiowa względem prostej $l$ przenosi każdy punkt na jego lustrzane odbicie: punkt i jego obraz leżą po przeciwnych stronach prostej, w tej samej odległości od niej, a odcinek je łączący jest do niej prostopadły. Punkty leżące na prostej zostają w miejscu.

W układzie współrzędnych najczęściej odbijamy względem osi $OX$ i osi $OY$ - wtedy obraz punktu wyznacza się bez rysowania, samą zmianą znaku jednej współrzędnej.

Oś OX i oś OY - która jest która

• Oś $OX$ to oś pozioma, zwana osią odciętych. Na niej odczytujemy pierwszą współrzędną punktu ($x$, argument funkcji).
• Oś $OY$ to oś pionowa, zwana osią rzędnych. Na niej odczytujemy drugą współrzędną ($y$, wartość funkcji).

Obie osie przecinają się w punkcie $O = (0, 0)$, czyli w początku układu współrzędnych - stąd nazwy $OX$ i $OY$. Punkty leżące na osi $OX$ mają drugą współrzędną równą zero, np. $(5, 0)$, a punkty na osi $OY$ - pierwszą, np. $(0, -2)$.

Symetria punktu względem osi OX i OY

Żeby znaleźć punkt symetryczny, zmieniamy znak jednej współrzędnej:

• względem osi $OX$ - znak współrzędnej $y$: punkt $(3, 2)$ przechodzi w $(3, -2)$;
• względem osi $OY$ - znak współrzędnej $x$: punkt $(3, 2)$ przechodzi w $(-3, 2)$.

Łatwo zapamiętać: współrzędna „wzdłuż” osi zostaje, a ta „w poprzek” osi zmienia znak.

Gdy wykonamy obie symetrie po kolei, zmienią się znaki obu współrzędnych: $(x, y) \to (-x, -y)$. To już symetria środkowa względem początku układu.

Symetria figury względem osi OX i OY

Obraz wielokąta otrzymujemy, odbijając jego wierzchołki i łącząc je w tej samej kolejności. Symetria nie zmienia długości boków ani miar kątów, więc obraz jest figurą przystającą do wyjściowej - tylko „odwróconą” jak w lustrze.

Przykład. Trójkąt $ABC$ ma wierzchołki $A = (1, 1)$, $B = (4, 1)$, $C = (2, 3)$.

• W symetrii względem osi $OX$: $A' = (1, -1)$, $B' = (4, -1)$, $C' = (2, -3)$.
• W symetrii względem osi $OY$: $A'' = (-1, 1)$, $B'' = (-4, 1)$, $C'' = (-2, 3)$.

Figura jest symetryczna względem osi, gdy pokrywa się ze swoim obrazem - na przykład prostokąt o środku w początku układu i bokach równoległych do osi jest symetryczny zarówno względem osi $OX$, jak i $OY$.

Symetria wykresu funkcji

Wykres funkcji odbijamy tak samo jak każdą figurę - punkt po punkcie. Ponieważ wszystkie punkty wykresu mają postać $(x, f(x))$, odbicie daje się zapisać jednym nowym wzorem funkcji.

Odbicie wykresu względem osi OX: y = −f(x)

Odbicie w poziomej osi zamienia znak drugiej współrzędnej:

$(x,\ y) \to (x,\ -y).$

Skoro wartość zmienia znak, nowa funkcja to $g(x) = -f(x)$. Wykres „przewraca się” do góry nogami: to, co było nad osią, znajdzie się pod nią i odwrotnie.

Co się zmienia:

• dziedzina zostaje taka sama - argumenty się nie zmieniają;
• zbiór wartości odbija się względem zera: $\langle -2;\ 3\rangle$ przechodzi w $\langle -3;\ 2\rangle$;
• miejsca zerowe zostają te same (bo $-0 = 0$);
• monotoniczność się odwraca: gdzie funkcja rosła, tam teraz maleje;
• wartość największa zamienia się z najmniejszą (ze zmienionym znakiem).

Odbicie wykresu względem osi OY: y = f(−x)

Odbicie w pionowej osi zamienia znak pierwszej współrzędnej:

$(x,\ y) \to (-x,\ y).$

Tym razem zmieniamy argument, więc nowa funkcja to $g(x) = f(-x)$. Wykres „obraca się” jak w lustrze postawionym wzdłuż osi $OY$: lewa strona zamienia się miejscami z prawą.

Co się zmienia:

• dziedzina odbija się względem zera: $\langle -2;\ 6\rangle$ przechodzi w $\langle -6;\ 2\rangle$;
• zbiór wartości zostaje taki sam;
• miejsca zerowe zmieniają znak: $x = 3$ przechodzi w $x = -3$;
• monotoniczność się odwraca (przedziały też się odbijają).

Przykład - porównanie na liczbach

Niech $f(x) = x^2 - 4x$. Wtedy:

$-f(x) = -(x^2 - 4x) = -x^2 + 4x,$

$f(-x) = (-x)^2 - 4 \cdot (-x) = x^2 + 4x.$

Pierwsza z tych funkcji to parabola z ramionami w dół (odbita w poziomie), druga - nadal ramionami w górę, ale przesunięta na drugą stronę: wierzchołek $(2, -4)$ przechodzi odpowiednio w $(2, 4)$ oraz w $(-2, -4)$. To dobrze widać na rysowniku funkcji.

Funkcje, które „nie zauważają” odbicia

Niektóre wykresy po odbiciu wyglądają identycznie:

• gdy $f(-x) = f(x)$ dla każdego $x$, wykres jest symetryczny względem osi $OY$ (np. $y = x^2$, $y = |x|$);
• gdy $f(-x) = -f(x)$, wykres jest symetryczny względem początku układu (np. $y = x^3$, $y = \tfrac{1}{x}$) - o tym mówi następna lekcja.

Najczęstsze pytania

Jak znaleźć punkt symetryczny względem osi OX? Zmień znak drugiej współrzędnej, a pierwszą zostaw: $(x, y) \to (x, -y)$. Na przykład punkt $(3, 2)$ przechodzi w $(3, -2)$.

Jak znaleźć punkt symetryczny względem osi OY? Zmień znak pierwszej współrzędnej, a drugą zostaw: $(x, y) \to (-x, y)$. Punkt $(3, 2)$ przechodzi w $(-3, 2)$.

Która oś to OX, a która OY? Oś $OX$ jest pozioma (oś odciętych, na niej odczytujemy $x$), a oś $OY$ - pionowa (oś rzędnych, na niej odczytujemy $y$).

Czym się różni symetria względem osi od symetrii względem punktu $(0, 0)$? Symetria względem osi zmienia znak jednej współrzędnej, a symetria środkowa względem początku układu - obu: $(x, y) \to (-x, -y)$. Symetria środkowa to złożenie symetrii względem osi $OX$ i osi $OY$.

Jak zapamiętać, który minus co robi? Minus przed funkcją działa na wartości, czyli odbija w pionie (względem osi $OX$). Minus przy $x$ działa na argumenty, czyli odbija w poziomie (względem osi $OY$).

Czy $-f(x)$ i $f(-x)$ mogą dać ten sam wykres? Tak, ale tylko dla szczególnych funkcji - np. dla $f(x) = x$ obie dają $y = -x$. W ogólności to dwa różne wykresy.

Czy odbicie względem osi $OX$ zmienia miejsca zerowe? Nie. Punkty leżące na osi $OX$ zostają w miejscu, bo są „na lustrze”. Zmieniają się natomiast przy odbiciu względem osi $OY$ - tam zmieniają znak.

Co dzieje się z monotonicznością? W obu symetriach odwraca się: funkcja rosnąca staje się malejąca i odwrotnie. Przy odbiciu w osi $OY$ dodatkowo odbijają się przedziały.

Jak podać wzór odbicia dla konkretnej funkcji? Podstawiamy mechanicznie. Dla $f(x) = 2x + 1$ mamy $-f(x) = -2x - 1$ oraz $f(-x) = -2x + 1$ - wystarczy uważać na nawiasy.

Przećwicz

• Symetria osiowa i środkowa → - wzory po odbiciu, obrazy punktów i miejsca zerowe.

Podsumowanie

• Oś $OX$ jest pozioma, oś $OY$ - pionowa.
• Punkt symetryczny względem osi $OX$: $(x, y) \to (x, -y)$; względem osi $OY$: $(x, y) \to (-x, y)$.
• Figurę odbijamy wierzchołek po wierzchołku - obraz jest do niej przystający.
• $y = -f(x)$ - odbicie względem osi $OX$; punkty $(x, y) \to (x, -y)$.
• $y = f(-x)$ - odbicie względem osi $OY$; punkty $(x, y) \to (-x, y)$.
• Odbicie w $OX$: dziedzina i miejsca zerowe bez zmian, zbiór wartości się odbija.
• Odbicie w $OY$: zbiór wartości bez zmian, dziedzina i miejsca zerowe się odbijają.
• W obu przypadkach monotoniczność się odwraca.