Symetria osiowa wykresu - względem osi OX i OY

Klasa 2 liceum i technikum

Symetria osiowa - przypomnienie

Symetria osiowa względem prostej $l$ przenosi każdy punkt na jego lustrzane odbicie: punkt i jego obraz leżą po przeciwnych stronach prostej, w tej samej odległości od niej, a odcinek je łączący jest do niej prostopadły. Punkty leżące na prostej zostają w miejscu.

Nas interesują dwa przypadki: odbicie względem osi $OX$ i względem osi $OY$.

Odbicie względem osi OX: y = −f(x)

Odbicie w poziomej osi zamienia znak drugiej współrzędnej:

$(x,\ y) \to (x,\ -y).$

Skoro wartość zmienia znak, nowa funkcja to $g(x) = -f(x)$. Wykres „przewraca się” do góry nogami: to, co było nad osią, znajdzie się pod nią i odwrotnie.

Co się zmienia:

• dziedzina zostaje taka sama - argumenty się nie zmieniają;
• zbiór wartości odbija się względem zera: $\langle -2;\ 3\rangle$ przechodzi w $\langle -3;\ 2\rangle$;
• miejsca zerowe zostają te same (bo $-0 = 0$);
• monotoniczność się odwraca: gdzie funkcja rosła, tam teraz maleje;
• wartość największa zamienia się z najmniejszą (ze zmienionym znakiem).

Odbicie względem osi OY: y = f(−x)

Odbicie w pionowej osi zamienia znak pierwszej współrzędnej:

$(x,\ y) \to (-x,\ y).$

Tym razem zmieniamy argument, więc nowa funkcja to $g(x) = f(-x)$. Wykres „obraca się” jak w lustrze postawionym wzdłuż osi $OY$: lewa strona zamienia się miejscami z prawą.

Co się zmienia:

• dziedzina odbija się względem zera: $\langle -2;\ 6\rangle$ przechodzi w $\langle -6;\ 2\rangle$;
• zbiór wartości zostaje taki sam;
• miejsca zerowe zmieniają znak: $x = 3$ przechodzi w $x = -3$;
• monotoniczność się odwraca (przedziały też się odbijają).

Przykład - porównanie na liczbach

Niech $f(x) = x^2 - 4x$. Wtedy:

$-f(x) = -(x^2 - 4x) = -x^2 + 4x,$

$f(-x) = (-x)^2 - 4 \cdot (-x) = x^2 + 4x.$

Pierwsza z tych funkcji to parabola z ramionami w dół (odbita w poziomie), druga - nadal ramionami w górę, ale przesunięta na drugą stronę: wierzchołek $(2, -4)$ przechodzi odpowiednio w $(2, 4)$ oraz w $(-2, -4)$. To dobrze widać na rysowniku funkcji.

Funkcje, które „nie zauważają” odbicia

Niektóre wykresy po odbiciu wyglądają identycznie:

• gdy $f(-x) = f(x)$ dla każdego $x$, wykres jest symetryczny względem osi $OY$ (np. $y = x^2$, $y = |x|$);
• gdy $f(-x) = -f(x)$, wykres jest symetryczny względem początku układu (np. $y = x^3$, $y = \tfrac{1}{x}$) - o tym mówi następna lekcja.

Najczęstsze pytania

Jak zapamiętać, który minus co robi? Minus przed funkcją działa na wartości, czyli odbija w pionie (względem osi $OX$). Minus przy $x$ działa na argumenty, czyli odbija w poziomie (względem osi $OY$).

Czy $-f(x)$ i $f(-x)$ mogą dać ten sam wykres? Tak, ale tylko dla szczególnych funkcji - np. dla $f(x) = x$ obie dają $y = -x$. W ogólności to dwa różne wykresy.

Czy odbicie względem osi $OX$ zmienia miejsca zerowe? Nie. Punkty leżące na osi $OX$ zostają w miejscu, bo są „na lustrze”. Zmieniają się natomiast przy odbiciu względem osi $OY$ - tam zmieniają znak.

Co dzieje się z monotonicznością? W obu symetriach odwraca się: funkcja rosnąca staje się malejąca i odwrotnie. Przy odbiciu w osi $OY$ dodatkowo odbijają się przedziały.

Jak podać wzór odbicia dla konkretnej funkcji? Podstawiamy mechanicznie. Dla $f(x) = 2x + 1$ mamy $-f(x) = -2x - 1$ oraz $f(-x) = -2x + 1$ - wystarczy uważać na nawiasy.

Przećwicz

• Symetria osiowa i środkowa → - wzory po odbiciu, obrazy punktów i miejsca zerowe.

Podsumowanie

• $y = -f(x)$ - odbicie względem osi $OX$; punkty $(x, y) \to (x, -y)$.
• $y = f(-x)$ - odbicie względem osi $OY$; punkty $(x, y) \to (-x, y)$.
• Odbicie w $OX$: dziedzina i miejsca zerowe bez zmian, zbiór wartości się odbija.
• Odbicie w $OY$: zbiór wartości bez zmian, dziedzina i miejsca zerowe się odbijają.
• W obu przypadkach monotoniczność się odwraca.