Przekształcanie wzorów

Klasa 1 liceum i technikum

Na czym to polega

Wzór wiąże ze sobą kilka wielkości. Zwykle „domyślnie” wyznaczamy jedną z nich, ale czasem potrzebujemy innej. Przekształcić wzór to wyznaczyć z niego wskazaną wielkość.

Pomysł jest prosty: traktujemy wzór jak równanie, w którym niewiadomą jest szukana wielkość, a wszystkie pozostałe litery to „stałe”. Stosujemy dokładnie te same przekształcenia równoważne co przy rozwiązywaniu równań - dodajemy, odejmujemy, mnożymy i dzielimy obie strony tak, aby szukana wielkość została sama po jednej stronie.

Przykład 1 - pole prostokąta

Ze wzoru na pole prostokąta $P = a \cdot b$ wyznaczmy bok $b$.

$P = a \cdot b \qquad |:a$$\frac{P}{a} = b.$

Wystarczyło podzielić obie strony przez $a$ (zakładamy $a \ne 0$). Zatem $b = \dfrac{P}{a}$.

Przykład 2 - pole trójkąta

Ze wzoru $P = \dfrac{1}{2} a h$ wyznaczmy wysokość $h$.

$P = \frac{1}{2} a h \qquad |\cdot 2$$2P = a h \qquad |:a$$h = \frac{2P}{a}.$

Przykład 3 - wzór z fizyki

Ze wzoru na prędkość końcową $v = v_0 + a t$ wyznaczmy czas $t$.

$v = v_0 + a t \qquad |-v_0$$v - v_0 = a t \qquad |:a$$t = \frac{v - v_0}{a}.$

Przykład 4 - gdy szukana jest pod potęgą

Ze wzoru na pole koła $P = \pi r^2$ wyznaczmy promień $r$.

$P = \pi r^2 \qquad |:\pi$$\frac{P}{\pi} = r^2.$

Teraz „odwracamy” kwadrat pierwiastkiem (promień jest dodatni, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny):

$r = \sqrt{\frac{P}{\pi}}.$

Wskazówka

Kolejność działań przy przekształcaniu jest odwrotna niż przy obliczaniu wartości: skoro przy liczeniu najpierw potęgowalibyśmy, a na końcu dodawali, to przy wyznaczaniu niewiadomej najpierw „zdejmujemy” dodawanie, a potęgę (czy pierwiastek) zostawiamy na koniec.

Najczęstsze pytania

Na czym polega przekształcanie wzoru? Na wyznaczeniu z równości tej wielkości, która nas interesuje - traktujemy ją jak niewiadomą, a wszystkie pozostałe litery jak liczby. Metoda jest ta sama co przy rozwiązywaniu równań.

Czy wolno dzielić przez literę? Tylko wtedy, gdy wiemy, że nie jest zerem. W zadaniach z fizyki czy geometrii zwykle wiadomo to z sensu wielkości (bok, czas czy masa są dodatnie), ale warto ten warunek zapisać.

Co zrobić, gdy szukana wielkość jest pod pierwiastkiem albo w potędze? Stosujemy działanie odwrotne do obu stron: pierwiastek usuwamy podnosząc do odpowiedniej potęgi, a potęgę - pierwiastkując. Przy potędze parzystej pamiętaj, że pierwiastek daje wartość nieujemną, więc w zadaniach fizycznych bierzemy rozwiązanie dodatnie.

Jak sprawdzić, czy przekształcenie jest poprawne? Podstaw przykładowe liczby do wzoru wyjściowego i do przekształconego - wyniki muszą się zgadzać. Pomaga też kontrola jednostek: po obu stronach muszą wychodzić te same.