Metoda pól w dowodach: Pitagoras, dwusieczna, Viviani

Klasa 2 liceum i technikum

Metoda pól polega na obliczeniu pola tej samej figury na dwa sposoby i porównaniu wyników. Z równości dwóch wyrażeń na to samo pole wychodzi zależność między długościami - i to ona jest tezą twierdzenia. W tej lekcji tą jedną metodą udowodnimy kilka twierdzeń, które na pierwszy rzut oka nie mają z polem nic wspólnego.

Dwa proste fakty, na których wszystko stoi

Fakt 1. Trójkąty o tej samej wysokości mają pola w stosunku podstaw. Jeśli dwa trójkąty mają wspólny wierzchołek, a ich podstawy leżą na jednej prostej, to wysokość z tego wierzchołka jest wspólna, więc $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{1}{2} a_1 h}{\frac{1}{2} a_2 h} = \frac{a_1}{a_2}$.

Przykład. Punkt $D$ leży na boku $BC$ trójkąta $ABC$ o polu $40$ i $|BD| : |DC| = 2 : 3$. Trójkąty $ABD$ i $ADC$ mają wspólną wysokość z wierzchołka $A$, więc dzielą pole w stosunku $2 : 3$: $P_{ABD} = \frac{2}{5} \cdot 40 = 16$ i $P_{ADC} = 24$.

Fakt 2. Pole trójkąta liczone od każdego boku daje ten sam wynik:$a h_a = b h_b = c h_c = 2P$. Stąd wysokości są odwrotnie proporcjonalne do boków: na dłuższy bok opada krótsza wysokość.

Przykład. W trójkącie $a = 8$, $b = 12$ i $h_a = 9$. Wtedy $2P = 8 \cdot 9 = 72$, więc $h_b = \frac{72}{12} = 6$.

Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach

Twierdzenie. Środkowa $AA_1$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty o równych polach.

Krok 1. $A_1$ jest środkiem boku $BC$, więc $|BA_1| = |A_1C|$.

Krok 2. Trójkąty $ABA_1$ i $AA_1C$ mają wspólny wierzchołek $A$, a ich podstawy leżą na prostej $BC$ - mają więc tę samą wysokość $h_a$.

Krok 3. Równe podstawy i równa wysokość dają równe pola: $P_{ABA_1} = \frac{1}{2} |BA_1| h_a = \frac{1}{2} |A_1C| h_a = P_{AA_1C}$. $\blacksquare$

Uwaga: te dwa trójkąty mają równe pola, ale zwykle nie są przystające - mają różne kształty.

Trzy środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o równych polach

Trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie $S$ (środek ciężkości, poznany w lekcji wysokości i środkowe) i tną trójkąt na sześć mniejszych.

Twierdzenie. Każdy z sześciu trójkątów ma pole równe $\frac{1}{6}$ pola trójkąta $ABC$.

Krok 1. W trójkącie $SBC$ odcinek $SA_1$ jest środkową, więc (z poprzedniego twierdzenia) $P_{SBA_1} = P_{SA_1C}$. Oznaczmy to pole przez $x$. Tak samo przy boku $CA$ dwa trójkąty mają równe pola $y$, a przy boku $AB$ - równe pola $z$.

Krok 2. Środkowa $AA_1$ dzieli cały trójkąt na połowy. Jedna połowa to $z + z + x$, druga $y + y + x$:

$2z + x = 2y + x \;\Rightarrow\; z = y.$

Krok 3. Tak samo środkowa $BB_1$: $y + 2z = y + 2x$, więc $z = x$.

Krok 4. Zatem $x = y = z$, a sześć równych pól to razem $P$, czyli każde wynosi $\frac{P}{6}$. $\blacksquare$

Wniosek - środek ciężkości dzieli środkową w stosunku 2 : 1. Trójkąty $ABS$ i $SBA_1$ mają wspólny wierzchołek $B$, a ich podstawy $AS$ i $SA_1$ leżą na jednej prostej. Pola wynoszą $2x$ oraz $x$, więc z Faktu 1: $|AS| : |SA_1| = 2 : 1$. Znane twierdzenie wyszło „za darmo”.

Przykład. Trójkąt ma pole $54$. Środkowa odcina z niego dwa trójkąty o polach po $27$, a trzy środkowe - sześć trójkątów o polach po $9$. Trójkąt $ABS$ (dwa z nich) ma pole $18$.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie

Twierdzenie. Jeśli $CD$ jest dwusieczną kąta $C$ w trójkącie $ABC$ (punkt $D$ leży na boku $AB$), to

$\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|BC|}.$

Dwusieczna dzieli przeciwległy bok w takim stosunku, w jakim są boki przy kącie.

Krok 1 - pierwszy sposób na stosunek pól. Trójkąty $ACD$ i $DCB$ mają wspólny wierzchołek $C$ i podstawy na prostej $AB$, więc (Fakt 1)

$\frac{P_{ACD}}{P_{DCB}} = \frac{|AD|}{|DB|}.$

Krok 2 - drugi sposób. Punkt $D$ leży na dwusiecznej, a każdy punkt dwusiecznej jest równo odległy od ramion kąta (lekcja symetralna i dwusieczna). Ta odległość $d$ to wysokość trójkątów $ACD$ i $DCB$ poprowadzona z $D$ na boki $AC$ i $BC$:

$\frac{P_{ACD}}{P_{DCB}} = \frac{\frac{1}{2}|AC| \cdot d}{\frac{1}{2}|BC| \cdot d} = \frac{|AC|}{|BC|}.$

Krok 3. Ten sam stosunek pól wyszedł na dwa sposoby, więc $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|BC|}$. $\blacksquare$

Przykład 1 - podział boku przez dwusieczną

Zadanie. W trójkącie $ABC$: $|AC| = 6$, $|BC| = 9$, $|AB| = 10$. Dwusieczna kąta $C$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$. Oblicz $|AD|$ i $|DB|$.

Krok 1. Z twierdzenia: $|AD| : |DB| = 6 : 9 = 2 : 3$.

Krok 2. Bok $AB = 10$ dzielimy na $2 + 3 = 5$ części po $2$: $|AD| = 4$, $|DB| = 6$.

Odpowiedź. $|AD| = 4$, $|DB| = 6$. Sprawdzenie: $\frac{4}{6} = \frac{6}{9}$.

Przykład 2 - brakujący bok

Zadanie. Dwusieczna kąta $C$ dzieli bok $AB$ na odcinki $|AD| = 3$ i $|DB| = 5$, a $|AC| = 6$. Oblicz $|BC|$.

$\frac{3}{5} = \frac{6}{|BC|} \;\Rightarrow\; |BC| = \frac{5 \cdot 6}{3} = 10.$

Odpowiedź. $|BC| = 10$.

Twierdzenie Vivianiego - punkt w trójkącie równobocznym

Twierdzenie (Viviani). Dla każdego punktu $P$ leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego suma odległości od trzech boków jest stała i równa wysokości trójkąta:

$d_1 + d_2 + d_3 = h = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Krok 1. Łączymy $P$ z wierzchołkami. Trójkąt $ABC$ rozpada się na trójkąty $PAB$, $PBC$ i $PCA$.

Krok 2. Każdy z nich ma podstawę $a$ (bok trójkąta równobocznego), a wysokością jest odległość $P$ od tej podstawy:

$P_{ABC} = \frac{1}{2} a d_1 + \frac{1}{2} a d_2 + \frac{1}{2} a d_3 = \frac{1}{2} a (d_1 + d_2 + d_3).$

Krok 3. To samo pole liczone zwykłym wzorem: $P_{ABC} = \frac{1}{2} a h$.

Krok 4. Porównujemy: $\frac{1}{2} a (d_1 + d_2 + d_3) = \frac{1}{2} a h$, więc $d_1 + d_2 + d_3 = h$. $\blacksquare$

Położenie punktu $P$ nigdzie w dowodzie nie wystąpiło - dlatego suma jest taka sama dla każdego punktu wewnątrz.

Przykład 3 - trzecia odległość

Zadanie. Trójkąt równoboczny ma bok $6$. Punkt $P$ wewnątrz niego leży w odległości $1$ od jednego boku i $2$ od drugiego. Jak daleko leży od trzeciego boku?

Krok 1. Wysokość: $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20$.

Krok 2. $d_3 = h - d_1 - d_2 = 3\sqrt{3} - 3 \approx 2{,}20$.

Odpowiedź. $d_3 = 3\sqrt{3} - 3 \approx 2{,}20$.

A w dowolnym trójkącie? Ten sam rachunek daje $a d_1 + b d_2 + c d_3 = 2P$ - suma odległości nie jest wtedy stała, bo boki są różne. Działa za to dla każdego wielokąta wypukłego o równych bokach (np. rombu): suma odległości od boków wynosi $\frac{2P}{a}$.

Dowód twierdzenia Pitagorasa przez pola

Twierdzenie. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a$, $b$ i przeciwprostokątnej $c$ zachodzi $a^2 + b^2 = c^2$.

Krok 1. Budujemy kwadrat o boku $a + b$ i na każdym boku zaznaczamy punkt dzielący go na odcinki $a$ i $b$ (jak na rysunku). Łącząc kolejne punkty, odcinamy w rogach cztery trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $a$ i $b$ - każdy przystający do naszego trójkąta, więc ich przeciwprostokątne mają długość $c$.

Krok 2. Środkowa figura jest kwadratem: ma cztery boki $c$, a każdy jej kąt to $180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, bo kąty ostre trójkąta prostokątnego sumują się do $90^\circ$.

Krok 3. Pole dużego kwadratu liczymy na dwa sposoby:

$(a + b)^2 = 4 \cdot \frac{1}{2} ab + c^2.$

Krok 4. Rozpisujemy lewą stronę wzorem skróconego mnożenia: $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$, skąd $a^2 + b^2 = c^2$. $\blacksquare$

Dla trójkąta $3$, $4$, $5$ z rysunku: $7^2 = 49$ oraz $4 \cdot 6 + 25 = 49$. Ten sam pomysł w wersji „układanki” bez algebry, a do tego trzy inne dowody (przez podobieństwo, rozcięcie Bhaskary i trapez Garfielda), znajdziesz w haśle twierdzenie Pitagorasa w czterech dowodach.

Z pola trójkąta do twierdzenia sinusów

Pole trójkąta można policzyć z dowolnej pary boków i kąta między nimi (wzory na pole trójkąta):

$P = \frac{1}{2} bc \sin\alpha = \frac{1}{2} ac \sin\beta = \frac{1}{2} ab \sin\gamma.$

Krok 1. Wszystkie trzy wyrażenia są równe temu samemu polu.

Krok 2. Dzielimy każde przez $\frac{1}{2} abc$ (to liczba dodatnia):

$\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c}.$

Krok 3. Odwracając ułamki, dostajemy $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$ - czyli twierdzenie sinusów. $\blacksquare$

Metoda pól daje równość trzech stosunków, ale nie mówi, ile one wynoszą. To, że wspólna wartość to $2R$ (średnica okręgu opisanego), wymaga już kąta wpisanego - pełny dowód jest w haśle twierdzenie sinusów.

Jak pisać dowód metodą pól

1. Wybierz figurę, której pole da się policzyć na dwa sposoby - często całą figurę rozcinasz na części odcinkami z jednego punktu.
2. Zapisz pole raz jako sumę części, raz zwykłym wzorem (albo dwa razy stosunek tych samych pól).
3. Porównaj i uprość - skrócą się wielkości, których nie znasz (wysokość, $\pi$, położenie punktu).
4. Na końcu sprawdź na liczbach, czy teza się zgadza.

Typowe błędy:

• Stosunek pól to stosunek podstaw tylko przy wspólnej wysokości. Dla trójkątów podobnych pola mają się jak kwadrat skali - patrz pola figur podobnych.
• „Równe pola” nie znaczy „przystające” - środkowa daje równe pola trójkątów o różnych kształtach.
• W twierdzeniu o dwusiecznej łatwo zamienić odcinki: $|AD|$ leży przy boku $|AC|$, a $|DB|$ przy $|BC|$.

Najczęstsze pytania

Na czym polega metoda pól? Na obliczeniu pola tej samej figury na dwa różne sposoby i przyrównaniu wyników. Z tej równości wynika teza - np. $a^2 + b^2 = c^2$ albo $d_1 + d_2 + d_3 = h$.

Co mówi twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie? Dwusieczna kąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do boków przy tym kącie: $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|BC|}$. Dla boków $6$ i $9$ bok $10$ dzieli się na $4$ i $6$.

Ile wynosi suma odległości punktu od boków trójkąta równobocznego? Tyle, ile wysokość trójkąta: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ - niezależnie od położenia punktu w środku (twierdzenie Vivianiego). Dla boku $10$ to $5\sqrt{3} \approx 8{,}66$.

Na ile części o równych polach dzielą trójkąt środkowe? Jedna środkowa - na dwie, trzy środkowe razem - na sześć trójkątów o polu $\frac{1}{6}$ pola całego trójkąta.

Czy środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty przystające? Nie, w ogólności tylko na dwa trójkąty o równych polach. Przystające są wtedy, gdy trójkąt jest równoramienny, a środkowa poprowadzona do podstawy.

Czy twierdzenie Vivianiego działa w każdym trójkącie? Nie - suma odległości jest stała tylko w trójkącie równobocznym. W dowolnym trójkącie stała jest suma ważona $a d_1 + b d_2 + c d_3 = 2P$.

Jak udowodnić twierdzenie Pitagorasa za pomocą pól? Wpisz w kwadrat o boku $a + b$ obrócony kwadrat o boku $c$, tak by w rogach zostały cztery trójkąty prostokątne. Wtedy $(a + b)^2 = 2ab + c^2$, skąd $a^2 + b^2 = c^2$.

Podsumowanie

• Metoda pól: to samo pole liczone na dwa sposoby daje równanie, z którego wynika teza.
• Trójkąty o wspólnej wysokości mają pola w stosunku podstaw; $a h_a = b h_b = c h_c = 2P$.
• Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach, trzy środkowe - na sześć; stąd podział środkowej w stosunku $2 : 1$.
• Dwusieczna: $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|BC|}$.
• Viviani: w trójkącie równobocznym $d_1 + d_2 + d_3 = h$.
• Pitagoras: $(a + b)^2 = 2ab + c^2$; twierdzenie sinusów: trzy wzory $\frac{1}{2}xy\sin\varphi$ na to samo pole.

Przećwicz i czytaj dalej

• Twierdzenie Pitagorasa - zadania z rozwiązaniami →
• Zadania z trójkątów → - kąty, podobieństwo, Tales i Pitagoras.
• Twierdzenie Pitagorasa w czterech dowodach i twierdzenie sinusów z pełnym dowodem.
• Poprzednia lekcja: pole koła i wycinka.