Rozkład wielomianu na czynniki - metody krok po kroku

Q: Jak rozłożyć wielomian na czynniki?

Po kolei: wyłącz wspólny czynnik, sprawdź wzory skróconego mnożenia, przy czterech wyrazach spróbuj grupowania, przy samych potęgach parzystych podstaw t = x², a gdy nic nie pasuje - znajdź pierwiastek wśród dzielników wyrazu wolnego i podziel schematem Hornera. Każdy czynnik rozkładaj dalej, aż zostaną liniowe i kwadratowe z ujemną deltą.

Q: Kiedy wielomian jest rozłożony do końca?

Gdy każdy czynnik jest stopnia pierwszego albo jest trójmianem kwadratowym z Δ < 0.

Q: Czy każdy wielomian da się rozłożyć na czynniki?

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najmniej 3 rozkłada się na czynniki stopnia pierwszego i drugiego. Rozkład bywa jednak niewymierny i nie zawsze da się go znaleźć metodami szkolnymi.

Q: Jak rozłożyć wielomian stopnia 3?

Najpierw spróbuj wspólnego czynnika i grupowania. Jeśli nie zadziała, szukaj pierwiastka wśród dzielników wyrazu wolnego (lub ułamków p/q), podziel schematem Hornera i rozłóż otrzymany trójmian kwadratowy.

Q: Jak rozłożyć wielomian stopnia 4?

Sprawdź, czy jest dwukwadratowy (ax^4 + bx² + c) - wtedy podstawienie t = x². W przeciwnym razie grupowanie albo dwa kolejne pierwiastki i dwa dzielenia Hornera.

Q: Czy rozkład na czynniki jest jednoznaczny?

Tak - z dokładnością do kolejności czynników i stałych liczbowych. (2x - 1)(x - 1) i 2(x - 1/2)(x - 1) to ten sam rozkład.

Q: Czym różni się grupowanie od wyłączania przed nawias?

Wyłączanie dotyczy czynnika wspólnego dla wszystkich wyrazów. Grupowanie to wyłączanie w dwóch częściach osobno, po którym wspólny staje się cały nawias.

Klasa 2 liceum i technikum

Strategia rozkładu wielomianu na czynniki

Wyłącz wspólny czynnik - liczbę i najwyższą możliwą potęgę $x$ .
Sprawdź wzory skróconego mnożenia:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), \qquad a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2), \qquad (a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3$

Cztery wyrazy - spróbuj grupowania parami.
Same potęgi parzyste ( $x^4$ , $x^2$ , wyraz wolny) - podstaw $t = x^2$ .
Nic nie pasuje - znajdź pierwiastek wśród dzielników wyrazu wolnego i podziel schematem Hornera.
Czynnik kwadratowy: $\Delta \geq 0$ - rozkładaj dalej, $\Delta < 0$ - koniec.

Rozkład wielomianu na czynniki to zapisanie go w postaci iloczynu wielomianów niższych stopni, np. $x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$ . Rozkład jest pełny, gdy każdy czynnik jest liniowy albo kwadratowy z ujemną deltą. Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych da się tak rozłożyć, ale nie ma jednego wzoru, który zawsze to robi - dlatego uczymy się kilku metod i kolejności, w jakiej je próbować.

Po co to wszystko? Z rozkładu od razu odczytujemy pierwiastki i ich krotności, a to otwiera drogę do równań i nierówności wielomianowych.

Metoda 1: wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Zawsze zaczynamy od tego kroku - nawet jeśli potem użyjemy innej metody, rachunki będą prostsze.

Przykład 1. Rozłóż na czynniki $W(x) = 6x^4 - 9x^3 + 3x^2$ .

Krok 1. Wspólny czynnik liczbowy to $3$ , a najniższa potęga $x$ to $x^2$ :

$6x^4 - 9x^3 + 3x^2 = 3x^2(2x^2 - 3x + 1).$

Krok 2. Trójmian w nawiasie: $\Delta = 9 - 8 = 1$ , pierwiastki $x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$ i $x = \frac{3 + 1}{4} = 1$ , więc $2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1)$ .

Odpowiedź. $W(x) = 3x^2(2x - 1)(x - 1)$ .

Metoda 2: grupowanie wyrazów

Gdy wielomian ma cztery wyrazy, dzielimy je na dwie pary, z każdej wyłączamy wspólny czynnik i liczymy, że w nawiasach zostanie to samo.

Przykład 2. Rozłóż na czynniki $W(x) = x^3 + 4x^2 - 9x - 36$ .

$x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = x^2(x + 4) - 9(x + 4) = (x + 4)(x^2 - 9) = (x + 4)(x - 3)(x + 3).$

Zwróć uwagę na znak: z pary $-9x - 36$ wyłączamy $-9$ , a nie $9$ , żeby w nawiasie zostało $(x + 4)$ , a nie $(-x - 4)$ .

Przykład 3. Rozłóż na czynniki $W(x) = x^4 + x^3 - 8x - 8$ .

$x^4 + x^3 - 8x - 8 = x^3(x + 1) - 8(x + 1) = (x + 1)(x^3 - 8).$

To jeszcze nie koniec - $x^3 - 8$ to różnica sześcianów:

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4), \qquad \Delta = 4 - 16 = -12 < 0.$

Odpowiedź. $W(x) = (x + 1)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ . Ostatni czynnik jest nierozkładalny.

Grupowanie nie zawsze wychodzi przy pierwszej próbie. Jeśli w nawiasach dostajesz różne wyrażenia, spróbuj połączyć wyrazy w pary inaczej (pierwszy z trzecim, drugi z czwartym).

Metoda 3: wzory skróconego mnożenia

Wzory, które znasz z wyrażeń algebraicznych, działają w obie strony - czytane od prawej do lewej są gotowymi rozkładami. Dla wielomianów szczególnie przydają się wzory skróconego mnożenia stopnia 3.

Wielomian	Wzór	Rozkład
x⁴ − 16	różnica kwadratów (dwa razy)	(x − 2)(x + 2)(x² + 4)
27x³ + 8	suma sześcianów	(3x + 2)(9x² − 6x + 4)
x³ − 6x² + 12x − 8	sześcian różnicy	(x − 2)³
4x² + 12x + 9	kwadrat sumy	(2x + 3)²
2x⁵ − 32x	wspólny czynnik, potem różnica kwadratów	2x(x − 2)(x + 2)(x² + 4)

Przykład 4. Rozłóż $x^4 - 16$ .

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4).$

Pierwsza różnica kwadratów daje $x^2 - 4$ , którą rozkładamy ponownie. Suma $x^2 + 4$ już się nie rozkłada - suma kwadratów nie ma rozkładu na czynniki liniowe.

Przykład 5. Rozłóż $27x^3 + 8$ . To suma sześcianów $(3x)^3 + 2^3$ :

$27x^3 + 8 = (3x + 2)\left((3x)^2 - 3x \cdot 2 + 2^2\right) = (3x + 2)(9x^2 - 6x + 4).$

Czynnik kwadratowy ma $\Delta = 36 - 144 = -108 < 0$ , więc rozkład jest pełny.

Metoda 4: podstawienie t = x² (wielomian dwukwadratowy)

Wielomian postaci $ax^4 + bx^2 + c$ zawiera tylko potęgi parzyste. Po podstawieniu $t = x^2$ staje się trójmianem kwadratowym, który rozkładamy jak zwykle.

Przykład 6. Rozłóż $W(x) = x^4 - 13x^2 + 36$ .

Krok 1. $t = x^2$ : $\ t^2 - 13t + 36$ , $\ \Delta = 169 - 144 = 25$ , $\ t_1 = 4$ , $t_2 = 9$ .

Krok 2. $t^2 - 13t + 36 = (t - 4)(t - 9)$ , więc wracając do $x$ :

$x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 4)(x^2 - 9) = (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3).$

Przykład 7. Rozłóż $W(x) = x^4 + x^2 - 12$ .

$t^2 + t - 12 = (t + 4)(t - 3)$ , więc

$x^4 + x^2 - 12 = (x^2 + 4)(x^2 - 3) = (x^2 + 4)\left(x - \sqrt{3}\right)\left(x + \sqrt{3}\right).$

Czynnik $x^2 + 4$ zostaje, a $x^2 - 3$ rozkładamy z pierwiastkami niewymiernymi - to też poprawny rozkład.

Metoda 5: pierwiastek i schemat Hornera

Gdy żadna z powyższych metod nie pasuje, szukamy pierwiastka wśród kandydatów wymiernych i dzielimy przez $(x - a)$ zgodnie z twierdzeniem Bézouta.

Przykład 8. Rozłóż na czynniki $W(x) = x^3 - 7x - 6$ .

Krok 1. Kandydaci - dzielniki $-6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . Grupowanie nie zadziała, bo brakuje wyrazu z $x^2$ .

Krok 2. $W(1) = 1 - 7 - 6 = -12$ , $\ W(-1) = -1 + 7 - 6 = 0$ . Pierwiastkiem jest $-1$ .

Krok 3. Schemat Hornera (współczynnik przy $x^2$ to $0$ - nie wolno go pominąć):

	1	0	−7	−6
−1	1	−1	−6	0

Krok 4. Iloraz $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ .

Odpowiedź. $W(x) = (x + 1)(x + 2)(x - 3)$ .

Czynniki nierozkładalne - kiedy przestać

Rozkład kończymy, gdy zostaną same czynniki:

liniowe, np. $(x - 3)$ , $(2x + 1)$ ;
kwadratowe z ujemną deltą, np. $x^2 + 2x + 5$ ( $\Delta = 4 - 20 = -16$ ), $x^2 + 4$ ( $\Delta = -16$ ).

Trójmian kwadratowy z $\Delta < 0$ nie ma pierwiastków, więc zgodnie z twierdzeniem Bézouta nie dzieli się przez żaden czynnik $(x - a)$ . Za to żaden wielomian stopnia $3$ lub wyższego nie jest nierozkładalny - nawet gdy nie ma pierwiastków. Przykład:

$x^4 + 4 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2).$

Wielomian $x^4 + 4$ jest zawsze dodatni, a jednak rozkłada się na dwa czynniki kwadratowe (oba z $\Delta = -4$ ). Uzupełnienie do kwadratu i różnica kwadratów zrobiły swoje.

Wszystkie metody w jednym zadaniu

Przykład 9. Rozłóż na czynniki $W(x) = x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1$ .

Krok 1. Wspólny czynnik? Wyraz wolny jest różny od zera, wspólnej liczby brak.

Krok 2. Grupowanie - wyrazy łączymy w pary:

$W(x) = x^4(x - 1) - 2x^2(x - 1) + (x - 1) = (x - 1)(x^4 - 2x^2 + 1).$

Krok 3. Wzór skróconego mnożenia. $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$ - kwadrat różnicy, a potem różnica kwadratów:

$(x^2 - 1)^2 = \left((x - 1)(x + 1)\right)^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2.$

Krok 4. Zbieramy jednakowe czynniki:

$W(x) = (x - 1)^3 (x + 1)^2.$

Odpowiedź. $1$ jest pierwiastkiem trzykrotnym, a $-1$ - dwukrotnym. Suma krotności $3 + 2 = 5$ to stopień wielomianu, więc rozkład składa się z samych czynników liniowych.

Sprawdzenie (zawsze warto): $W(1) = 1 - 1 - 2 + 2 + 1 - 1 = 0$ i $W(-1) = -1 - 1 + 2 + 2 - 1 - 1 = 0$ .

Typowe błędy

$x^2 + 4 = (x + 2)^2$ albo $(x - 2)(x + 2)$ . Oba fałszywe: $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ , a $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$ . Suma kwadratów się nie rozkłada.
Niedokończony rozkład. $(x + 4)(x^2 - 9)$ to jeszcze nie koniec - $x^2 - 9$ się rozkłada.
Zgubiony znak przy grupowaniu. $-9x - 36 = -9(x + 4)$ , a nie $-9(x - 4)$ .
Pominięte zero w Hornerze. Dla $x^3 - 7x - 6$ współczynniki to $1, 0, -7, -6$ .
Dzielenie zamiast wyłączania. „Skracanie przez $x$ ” gubi czynnik $x$ - w wyrażeniu (nie równaniu) nie wolno niczego „skreślać”, trzeba wyłączyć przed nawias.
Zgubiony współczynnik. $2x^2 - 3x + 1 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 1) = (2x - 1)(x - 1)$ , a nie $\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 1)$ .

Najczęstsze pytania

Jak rozłożyć wielomian na czynniki? Po kolei: wyłącz wspólny czynnik, sprawdź wzory skróconego mnożenia, przy czterech wyrazach spróbuj grupowania, przy samych potęgach parzystych podstaw $t = x^2$ , a gdy nic nie pasuje - znajdź pierwiastek wśród dzielników wyrazu wolnego i podziel schematem Hornera. Każdy czynnik rozkładaj dalej, aż zostaną liniowe i kwadratowe z ujemną deltą.

Kiedy wielomian jest rozłożony do końca? Gdy każdy czynnik jest stopnia pierwszego albo jest trójmianem kwadratowym z $\Delta < 0$ .

Czy każdy wielomian da się rozłożyć na czynniki? Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najmniej $3$ rozkłada się na czynniki stopnia pierwszego i drugiego. Rozkład bywa jednak niewymierny i nie zawsze da się go znaleźć metodami szkolnymi.

Jak rozłożyć wielomian stopnia 3? Najpierw spróbuj wspólnego czynnika i grupowania. Jeśli nie zadziała, szukaj pierwiastka wśród dzielników wyrazu wolnego (lub ułamków $\frac{p}{q}$ ), podziel schematem Hornera i rozłóż otrzymany trójmian kwadratowy.

Jak rozłożyć wielomian stopnia 4? Sprawdź, czy jest dwukwadratowy ( $ax^4 + bx^2 + c$ ) - wtedy podstawienie $t = x^2$ . W przeciwnym razie grupowanie albo dwa kolejne pierwiastki i dwa dzielenia Hornera.

Czy rozkład na czynniki jest jednoznaczny? Tak - z dokładnością do kolejności czynników i stałych liczbowych. $(2x - 1)(x - 1)$ i $2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 1)$ to ten sam rozkład.

Czym różni się grupowanie od wyłączania przed nawias? Wyłączanie dotyczy czynnika wspólnego dla wszystkich wyrazów. Grupowanie to wyłączanie w dwóch częściach osobno, po którym wspólny staje się cały nawias.

Przećwicz

Rozkład wielomianu na czynniki → - wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory stopnia 3, podstawienie $t = x^2$ , pierwiastek i schemat Hornera oraz $x^4 + 64$ bez pierwiastków.
Równania wielomianowe → - rozkład zastosowany do rozwiązywania równań.

Podsumowanie

Pełny rozkład: czynniki liniowe i kwadratowe z $\Delta < 0$ .
Kolejność: wspólny czynnik → wzory skróconego mnożenia → grupowanie → $t = x^2$ → pierwiastek i Horner.
Po każdym kroku sprawdzaj, czy czynniki nie rozkładają się dalej.
Suma kwadratów ( $x^2 + 4$ ) się nie rozkłada, różnica kwadratów - zawsze.
Jednakowe czynniki zbieraj w potęgę - wykładnik to krotność pierwiastka.
Wynik sprawdzaj podstawieniem albo wymnożeniem.

Czytaj dalej

Rozkład na czynniki - zadania → - wspólny czynnik, różnica kwadratów i wzory sześcianów z rozwiązaniami krok po kroku.
Równania wielomianowe - rozkład zastosowany do rozwiązywania równań.
Schemat Hornera i pierwiastki wymierne - metoda 5 w szczegółach.
Wzory w jednym miejscu: wzory skróconego mnożenia oraz wielomiany - rozkład na czynniki, twierdzenie Bézouta, nierówności.