Wzory skróconego mnożenia stopnia 3 i wzór na aⁿ − bⁿ

Klasa 2 liceum i technikum

Wzory skróconego mnożenia stopnia 3 to cztery tożsamości: sześcian sumy, sześcian różnicy, suma sześcianów i różnica sześcianów. Ich uogólnieniem jest wzór $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + b^{n-1})$, z którego wynika, że $a - b$ dzieli $a^n - b^n$ dla każdego $n$. W dziale o wielomianach służą do dwóch rzeczy: rozkładu wielomianów na czynniki i dowodzenia podzielności oraz tożsamości.

Wzory sześcienne wyprowadziliśmy już w klasie pierwszej, w lekcji wzory skróconego mnożenia - skąd się biorą. Tu krótko je przypominamy, a potem idziemy dalej - do wzoru dla dowolnej potęgi $n$.

Sześcian sumy i sześcian różnicy

Sześcian sumy dostajemy, mnożąc kwadrat sumy przez jeszcze jeden czynnik $(a + b)$:

$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.$

Sześcian różnicy wynika z tego samego wzoru po podstawieniu $-b$ zamiast $b$: potęgi nieparzyste $b$ zmieniają znak, więc znaki idą na przemian $+, -, +, -$. Współczynniki $1, 3, 3, 1$ to wiersz trójkąta Pascala - wyższe potęgi daje wzór dwumianowy Newtona.

Przykład 1. Rozwiń $(2x + 3)^3$ oraz $(x - 2)^3$.

$(2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 + 3^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27,$

$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8.$

Najczęstszy błąd to podniesienie do sześcianu samego $x$ zamiast całego wyrazu $2x$: $(2x)^3 = 8x^3$, a nie $2x^3$.

Przykład 2. Oblicz $(\sqrt{2} + 1)^3$.

$(\sqrt{2} + 1)^3 = 2\sqrt{2} + 3 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1 = 7 + 5\sqrt{2}.$

Przykład 3 - wzór czytany od prawej. Zapisz w postaci sześcianu: $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$ oraz $8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$.

Szukamy $a$ i $b$ z wyrazów skrajnych, a środkowe tylko sprawdzamy:

• $x^3 = x^3$ i $27 = 3^3$; środkowe: $3 \cdot x^2 \cdot 3 = 9x^2$, $3 \cdot x \cdot 9 = 27x$ - zgadza się, więc $x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = (x + 3)^3$;
• $8x^3 = (2x)^3$ i $-1 = (-1)^3$; środkowe: $-3 \cdot 4x^2 \cdot 1 = -12x^2$, $3 \cdot 2x \cdot 1 = 6x$ - zgadza się, więc $8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x - 1)^3$.

Suma i różnica sześcianów

Wymnożenie prawej strony pokazuje, że wszystko poza $a^3$ i $b^3$ się znosi:

$(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3.$

Wzór na sumę sześcianów sprawdza się identycznie. Trójmiany $a^2 + ab + b^2$ i $a^2 - ab + b^2$ są dla $b \neq 0$ zawsze dodatnie (jako trójmiany kwadratowe zmiennej $a$ mają $\Delta = b^2 - 4b^2 = -3b^2 < 0$), więc dalej się nie rozkładają.

Przykład 4. Rozłóż na czynniki $27x^3 - 8$ oraz $x^3 + 64$.

$27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4),$

$x^3 + 64 = x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 - 4x + 16).$

Wzór na aⁿ − bⁿ

Wzór na różnicę kwadratów i różnicę sześcianów to dwa przypadki jednej reguły. Dla każdej liczby naturalnej $n \ge 2$:

$a^n - b^n = (a-b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}\right).$

W drugim nawiasie jest $n$ wyrazów: potęgi $a$ maleją od $n - 1$ do $0$, potęgi $b$ rosną od $0$ do $n - 1$, a w każdym wyrazie suma wykładników wynosi $n - 1$.

Dlaczego to działa? Mnożymy drugi nawias najpierw przez $a$, potem przez $-b$:

$a \cdot (\ldots) = a^n + a^{n-1}b + \ldots + a^2b^{n-2} + ab^{n-1},$

$-b \cdot (\ldots) = -a^{n-1}b - \ldots - a^2b^{n-2} - ab^{n-1} - b^n.$

Po dodaniu wszystkie wyrazy środkowe znoszą się parami („teleskopowo”) i zostaje $a^n - b^n$.

Dla $n = 4$ ten sam wynik daje dwukrotna różnica kwadratów: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$, a $(a + b)(a^2 + b^2)$ to po wymnożeniu właśnie $a^3 + a^2b + ab^2 + b^3$.

Przykład 5. Rozłóż na czynniki $x^5 - 32$.

Krok 1. $32 = 2^5$, więc to różnica piątych potęg: $a = x$, $b = 2$, $n = 5$.

Krok 2. Drugi nawias ma $5$ wyrazów: $x^4$, $x^3 \cdot 2$, $x^2 \cdot 4$, $x \cdot 8$, $16$.

Odpowiedź. $x^5 - 32 = (x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)$.

Szczególny przypadek $b = 1$. Wtedy $x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1)$, czyli suma kolejnych potęg $x$ ma zwięzły wzór. Na przykład

$1 + 2 + 4 + \ldots + 2^9 = \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 1023.$

To jest dokładnie wzór na sumę ciągu geometrycznego.

Wzór na aⁿ + bⁿ dla n nieparzystego

Jeśli $n$ jest nieparzyste, to $(-b)^n = -b^n$. Podstawiając $-b$ zamiast $b$ we wzorze na $a^n - b^n$, dostajemy

$a^n + b^n = (a+b)\left(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \ldots - ab^{n-2} + b^{n-1}\right).$

Znaki w drugim nawiasie idą na przemian, zaczynając i kończąc na plusie. Dla $n = 3$ to wzór na sumę sześcianów.

Przykład 6. $x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$.

Dla parzystego $n$ takiego wzoru nie ma: $a^2 + b^2$ ani $a^4 + b^4$ nie rozkładają się na czynnik $(a + b)$. Czasem jednak pomaga zapisanie wykładnika parzystego jako iloczynu z czynnikiem nieparzystym: $x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1^3 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$.

Rozkład wielomianów na czynniki

Wzory to pierwsze narzędzie przy rozkładaniu wielomianów, zanim sięgniemy po twierdzenie Bézouta. Zawsze zaczynamy od wyłączenia wspólnego czynnika, potem szukamy wzoru.

Przykład 7. Rozłóż na czynniki $W(x) = 2x^4 - 16x$.

Krok 1. Wyłączamy $2x$: $W(x) = 2x(x^3 - 8)$.

Krok 2. $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ to różnica sześcianów.

Odpowiedź. $W(x) = 2x(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Trójmian ma $\Delta = 4 - 16 < 0$, więc rozkład jest pełny.

Przykład 8. Rozłóż na czynniki $W(x) = 16x^4 - 1$.

$16x^4 - 1 = (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1).$

Przykład 9. Rozłóż na czynniki $W(x) = x^3 + 3x^2 + 3x - 7$.

Krok 1. Pierwsze trzy wyrazy przypominają $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$. Zapisujemy więc $W(x) = (x + 1)^3 - 8$.

Krok 2. To różnica sześcianów z $a = x + 1$, $b = 2$:

$W(x) = (x + 1 - 2)\left((x + 1)^2 + 2(x + 1) + 4\right) = (x - 1)(x^2 + 4x + 7).$

Odpowiedź. $W(x) = (x - 1)(x^2 + 4x + 7)$; trójmian ma $\Delta = 16 - 28 < 0$.

Przykład 10. Rozłóż na czynniki $x^6 - 1$.

$x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1).$

Warto zacząć od różnicy kwadratów: gdybyśmy zaczęli od $(x^2)^3 - 1$, dostalibyśmy czynnik $x^4 + x^2 + 1$, który trzeba jeszcze rozłożyć. Więcej metod - w lekcji rozkładanie wielomianów na czynniki.

Wzory skróconego mnożenia w dowodzeniu

Wzory zamieniają sumy i różnice na iloczyny, a z iloczynu łatwo odczytać podzielność czy znak. Dlatego tak często pojawiają się w zadaniach „udowodnij, że”. Schemat dowodu omawia lekcja definicja, twierdzenie, dowód.

Przykład 11. Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^3 - n$ jest podzielna przez $6$.

Krok 1. Rozkładamy: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)$.

Krok 2. To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Wśród nich jest co najmniej jedna parzysta i dokładnie jedna podzielna przez $3$, więc iloczyn dzieli się przez $2$ i przez $3$.

Krok 3. Liczby $2$ i $3$ są względnie pierwsze, więc iloczyn dzieli się przez $2 \cdot 3 = 6$. Co kończy dowód.

Przykład 12. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $7^n - 1$ jest podzielna przez $6$.

Krok 1. $1 = 1^n$, więc stosujemy wzór na $a^n - b^n$ z $a = 7$, $b = 1$:

$7^n - 1 = (7 - 1)\left(7^{n-1} + 7^{n-2} + \ldots + 7 + 1\right) = 6 \cdot k,$

gdzie $k$ jest sumą liczb naturalnych, czyli liczbą naturalną.

Krok 2. Liczba postaci $6k$ dzieli się przez $6$, co kończy dowód. Ten sam fakt można udowodnić indukcją matematyczną, ale wzór daje go w jednej linijce.

Ogólnie: dla liczb całkowitych $a \neq b$ liczba $a - b$ dzieli $a^n - b^n$. Na przykład $13^n - 4^n$ dzieli się przez $13 - 4 = 9$ dla każdego $n \ge 1$.

Przykład 13. Pokaż, że $2^{15} + 1$ dzieli się przez $33$ i przez $9$.

Krok 1. $2^{15} + 1 = (2^5)^3 + 1^3$, a dla nieparzystego wykładnika $3$ suma się rozkłada: czynnik $2^5 + 1 = 33$.

Krok 2. $2^{15} + 1 = (2^3)^5 + 1^5$ - wykładnik $5$ też jest nieparzysty: czynnik $2^3 + 1 = 9$.

Odpowiedź. Rzeczywiście $2^{15} + 1 = 32\,769 = 33 \cdot 993 = 9 \cdot 3641$.

Przykład 14 - tożsamość. Liczby $a$ i $b$ spełniają $a + b = 4$ oraz $ab = 2$. Oblicz $a^3 + b^3$ bez wyznaczania $a$ i $b$.

Krok 1. Z sześcianu sumy: $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$, więc

$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b).$

Krok 2. Podstawiamy: $a^3 + b^3 = 4^3 - 3 \cdot 2 \cdot 4 = 64 - 24 = 40$.

Odpowiedź. $a^3 + b^3 = 40$.

Przykład 15 - nierówność. Udowodnij, że dla dodatnich $a$ i $b$ zachodzi $a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$.

Krok 1. Przenosimy wszystko na jedną stronę i grupujemy:

$a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a - b)(a^2 - b^2) = (a - b)^2(a + b).$

Krok 2. $(a - b)^2 \ge 0$ oraz $a + b > 0$, więc iloczyn jest nieujemny. Co kończy dowód; równość zachodzi tylko dla $a = b$.

Typowe błędy

• $(a + b)^3 = a^3 + b^3$. Brakuje wyrazów $3a^2b + 3ab^2$. Test: $(1 + 1)^3 = 8$, a $1^3 + 1^3 = 2$.
• Podwojony iloczyn w sumie sześcianów. $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ - iloczyn $ab$ jest pojedynczy, bez dwójki. Z $2ab$ byłby to $(a + b)(a - b)^2$, czyli coś zupełnie innego.
• Zły znak w drugim nawiasie. Przy różnicy sześcianów w trójmianie stoi plus ($+ab$), przy sumie - minus.
• Za mało wyrazów w drugim nawiasie $a^n - b^n$. Musi ich być dokładnie $n$.
• Rozkład $a^n + b^n$ dla parzystego $n$. $x^4 + 16$ nie dzieli się przez $x + 2$ - wzór działa tylko dla nieparzystych wykładników.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na a do potęgi n minus b do potęgi n?$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})$. Drugi nawias ma $n$ wyrazów, a w każdym z nich suma wykładników wynosi $n - 1$.

Czy aⁿ + bⁿ można rozłożyć na czynniki? Dla nieparzystego $n$ tak: $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \ldots + b^{n-1})$. Dla parzystego $n$ czynnika $a + b$ nie ma; czasem pomaga zapisanie $n$ jako iloczynu z czynnikiem nieparzystym, np. $x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1$.

Jak udowodnić, że n³ − n jest podzielne przez 6? Rozłożyć: $n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)$. To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc dzieli się przez $2$ i przez $3$, a zatem przez $6$.

Dlaczego 7ⁿ − 1 dzieli się przez 6? Ze wzoru na $a^n - b^n$: $7^n - 1^n = (7 - 1) \cdot (\ldots) = 6 \cdot (\ldots)$, a w nawiasie stoi liczba naturalna. Tak samo $a^n - 1$ dzieli się przez $a - 1$.

Jak zapamiętać wzór na sumę i różnicę sześcianów? W nawiasie dwuwyrazowym znak taki jak po lewej stronie, w trójwyrazowym przy $ab$ - przeciwny, a $b^2$ zawsze z plusem. W skrócie: $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$.

Czym różni się sześcian różnicy od różnicy sześcianów? Sześcian różnicy to $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ - rozwinięcie nawiasu. Różnica sześcianów to $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ - rozkład na czynniki.

Podsumowanie

• $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$ - współczynniki $1, 3, 3, 1$.
• $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$; trójmian w nawiasie dalej się nie rozkłada.
• $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + \ldots + b^{n-1})$ dla każdego $n$, więc $a - b$ dzieli $a^n - b^n$.
• $a^n + b^n$ rozkłada się z czynnikiem $(a + b)$ tylko dla nieparzystego $n$.
• W dowodach wzory zamieniają sumy na iloczyny: z iloczynu odczytujemy podzielność i znak.

Przećwicz

Zadania z rozwiązaniami krok po kroku:

• Rozkład wielomianów na czynniki → - suma i różnica sześcianów, sześcian sumy i te wzory w połączeniu z grupowaniem wyrazów.
• Rozkład na czynniki → - różnica kwadratów, suma i różnica sześcianów.
• Mnożenie wyrażeń ze wzorów → - m.in. sześciany sumy i różnicy.
• Upraszczanie wyrażeń → - np. $(x + 1)^3 - (x - 1)^3$.
• Dowodzenie, że liczba jest całkowita →.
• Indukcja - podzielność → - te same podzielności dowodzone indukcją.

Komplet wzorów (także czwarte potęgi i tożsamość Sophie Germain) jest na stronie wszystkie wzory skróconego mnożenia.