Wzór Newtona (dwumian Newtona) - symbol Newtona i trójkąt Pascala

Co mówi wzór Newtona

Wzór Newtona (inaczej dwumian Newtona lub wzór dwumianowy) podaje, jak rozpisać potęgę sumy dwóch składników $(a+b)^n$ o naturalnym wykładniku $n$ na sumę jednomianów. Każdy składnik rozwinięcia ma postać $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$: wykładnik przy $a$ maleje od $n$ do $0$, wykładnik przy $b$ rośnie od $0$ do $n$, a ich suma zawsze wynosi $n$. Liczba $\binom{n}{k}$ przed jednomianem to współczynnik dwumianowy, czyli symbol Newtona.

Rozwinięcie ma dokładnie $n+1$ składników. Dla $n = 2$ i $n = 3$ wzór Newtona to znane wzory skróconego mnożenia:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.$

Wzór Newtona uogólnia je na każdy wykładnik naturalny - zamiast zapamiętywać osobny wzór na czwartą, piątą czy dziesiątą potęgę, wystarczy jedna reguła i umiejętność liczenia symbolu Newtona.

Symbol Newtona - jak obliczyć „n po k”

Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ (czytamy „$n$ po $k$” albo „$n$ nad $k$”) to liczba $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego, czyli liczba kombinacji $k$ elementów z $n$. Liczymy go ze wzoru

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!},$

gdzie $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ to silnia. W praktyce wygodniejsza jest postać bez silni: w liczniku $k$ kolejnych czynników malejących od $n$, w mianowniku $k$ kolejnych czynników od $1$:

$\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 10, \qquad \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120, \qquad \binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} = 13\,983\,816.$

Ostatnia liczba to liczba wszystkich zakładów w Lotto - tyle jest sposobów wybrania $6$ liczb z $49$.

Najważniejsze własności symbolu Newtona:

• $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ oraz $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$;
• symetria: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, więc $\binom{10}{7} = \binom{10}{3} = 120$ - zawsze warto liczyć „mniejszą stronę”;
• reguła trójkąta Pascala: $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$;
• suma całego wiersza: $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \ldots + \binom{n}{n} = 2^n$.

Współczynniki rozwinięć dla n od 0 do 7

Współczynniki $\binom{n}{k}$ dla małych $n$ warto znać na pamięć - w zadaniach maturalnych i z kombinatoryki pojawiają się bez przerwy.

Rozpisane w całości, kolejne potęgi dwumianu wyglądają tak:

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4,$

$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5,$

$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6.$

Trójkąt Pascala

Wiersze z tabeli wyżej ułożone jeden pod drugim tworzą trójkąt Pascala. Każdy wiersz zaczyna się i kończy jedynką, a każda liczba w środku jest sumą dwóch liczb stojących bezpośrednio nad nią:

$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}.$

Na przykład $20$ w wierszu $n = 6$ to $10 + 10$ z wiersza wyżej, a $35$ w wierszu $n = 7$ to $15 + 20$. Dzięki temu współczynniki dowolnego rozwinięcia można wypisać bez liczenia silni - wystarczy dopisywać kolejne wiersze. Trójkąt bywa nazywany także trójkątem Pascala-Tartaglii; znany był w Chinach i w świecie arabskim na długo przed Pascalem, który opisał go w 1654 roku.

Różnica dwóch składników: (a − b)ⁿ

Wzór Newtona działa również dla różnicy - wystarczy wstawić $-b$ zamiast $b$. Wtedy znaki składników zmieniają się na przemian, zaczynając od plusa:

$(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}(-b)^k = a^n - \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 - \ldots + (-1)^n b^n,$

na przykład $(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$. Składniki z parzystą potęgą $b$ mają plus, z nieparzystą - minus.

Przykłady krok po kroku

Przykład 1. Rozwiń $(x+2)^5$.

Bierzemy wiersz $n = 5$ trójkąta Pascala: $1, 5, 10, 10, 5, 1$. Potęgi $x$ maleją od $5$ do $0$, potęgi $2$ rosną od $0$ do $5$:

$(x+2)^5 = x^5 + 5 \cdot x^4 \cdot 2 + 10 \cdot x^3 \cdot 4 + 10 \cdot x^2 \cdot 8 + 5 \cdot x \cdot 16 + 32 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32.$

Przykład 2. Rozwiń $(2x-1)^4$.

Tu $a = 2x$, $b = -1$, współczynniki $1, 4, 6, 4, 1$, znaki na przemian:

$(2x-1)^4 = (2x)^4 - 4(2x)^3 + 6(2x)^2 - 4(2x) + 1 = 16x^4 - 32x^3 + 24x^2 - 8x + 1.$

Najczęstszy błąd: podniesienie do potęgi tylko $x$, a nie całego $2x$. Współczynnik przy $x^3$ to $-4 \cdot 2^3 = -32$, nie $-4$.

Przykład 3. Znajdź współczynnik przy $x^3$ w rozwinięciu $(x+3)^7$ bez rozpisywania całości.

Korzystamy z wyrazu ogólnego $T_{k+1} = \binom{7}{k}x^{7-k}3^k$. Potęga $x^3$ pojawia się, gdy $7 - k = 3$, czyli $k = 4$:

$T_5 = \binom{7}{4}x^3 \cdot 3^4 = 35 \cdot 81 \cdot x^3 = 2835x^3.$

Szukany współczynnik to $2835$.

Przykład 4. Oblicz $1{,}01^{10}$ z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

Zapisujemy $1{,}01 = 1 + 0{,}01$ i bierzemy pierwsze składniki rozwinięcia:

$(1+0{,}01)^{10} = 1 + 10 \cdot 0{,}01 + 45 \cdot 0{,}0001 + 120 \cdot 0{,}000001 + \ldots \approx 1 + 0{,}1 + 0{,}0045 + 0{,}00012 = 1{,}10462.$

Dokładna wartość to $1{,}104622\ldots$, więc $1{,}01^{10} \approx 1{,}105$. Tak właśnie liczy się w przybliżeniu procent składany bez kalkulatora.

Przykład 5. Ile wynosi suma współczynników rozwinięcia $(a+b)^n$?

Wystarczy podstawić $a = b = 1$: lewa strona to $2^n$, prawa to suma wszystkich symboli Newtona. Stąd $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \ldots + \binom{n}{n} = 2^n$ - to również liczba wszystkich podzbiorów zbioru $n$-elementowego. Podstawienie $a = 1$, $b = -1$ daje z kolei $\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \ldots = 0$ dla $n \geq 1$.

Dlaczego wzór jest prawdziwy

Iloczyn $(a+b)^n = (a+b)(a+b)\cdots(a+b)$ to $n$ nawiasów. Mnożąc je, z każdego nawiasu wybieramy albo $a$, albo $b$, i wymnażamy wybory. Jednomian $a^{n-k}b^k$ powstaje za każdym razem, gdy $b$ wybierzemy dokładnie z $k$ nawiasów (a z pozostałych $n-k$ wybierzemy $a$). Zbiór $k$ nawiasów spośród $n$ można wskazać na $\binom{n}{k}$ sposobów - i tyle razy jednomian $a^{n-k}b^k$ pojawi się w sumie. To cały dowód: współczynnik przy $a^{n-k}b^k$ musi wynosić $\binom{n}{k}$.

Ten sam argument tłumaczy regułę trójkąta Pascala: podzbiory $k$-elementowe zbioru $n$-elementowego dzielą się na te, które zawierają ustalony element (jest ich $\binom{n-1}{k-1}$), i te, które go nie zawierają ($\binom{n-1}{k}$).

Kto i kiedy

Przypadek naturalnego wykładnika znany był na długo przed Newtonem: współczynniki dwumianowe i trójkąt liczb opisywali perski matematyk Al-Karaji około roku 1000, chiński Jia Xian w XI wieku i Yang Hui w 1261 roku, a w Europie Tartaglia i Pascal (1654). Wkład Izaaka Newtona z 1665 roku polegał na uogólnieniu wzoru na dowolny wykładnik rzeczywisty - także ujemny i ułamkowy. Wtedy prawa strona staje się nieskończonym szeregiem, np.

$(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \ldots \quad \text{dla } |x| < 1,$

i właśnie ten szereg dwumianowy był jednym z narzędzi, na których Newton zbudował rachunek różniczkowy. Nazwa „dwumian Newtona” przylgnęła do całego wzoru, choć jego szkolna wersja jest starsza o kilka stuleci.

Najczęstsze pytania

Co to jest symbol Newtona i jak się go czyta? Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ czytamy „$n$ po $k$” (rzadziej „$n$ nad $k$”). To liczba sposobów wybrania $k$ elementów z $n$ bez zwracania uwagi na kolejność, obliczana ze wzoru $\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$. Na przykład $\binom{6}{2} = 15$.

Co to jest dwumian Newtona? Dwumian to wyrażenie o dwóch składnikach, np. $a+b$. „Dwumian Newtona” w praktyce oznacza wzór na jego potęgę: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$. Nazwy „wzór Newtona”, „wzór dwumianowy” i „twierdzenie o dwumianie” oznaczają to samo.

Ile wynosi $\binom{n}{0}$ i $\binom{0}{0}$? Jeden. Zbiór pusty jest jedynym podzbiorem $0$-elementowym każdego zbioru, a we wzorze przyjmujemy $0! = 1$. Dlatego każdy wiersz trójkąta Pascala zaczyna się i kończy jedynką.

Ile składników ma rozwinięcie $(a+b)^n$? Dokładnie $n+1$, bo $k$ przebiega wartości od $0$ do $n$. Rozwinięcie $(a+b)^{10}$ ma więc $11$ składników, a nie $10$.

Jak znaleźć jeden konkretny współczynnik bez rozpisywania całości? Wyrazem ogólnym $T_{k+1} = \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$. Ustalamy, dla jakiego $k$ wychodzi szukana potęga, i liczymy tylko ten jeden składnik - jak w przykładzie 3 wyżej.

Czy wzór Newtona działa dla $(a-b)^n$? Tak, wstawiamy $-b$ w miejsce $b$. Znaki składników zmieniają się wtedy na przemian, zaczynając od plusa: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Czym różni się trójkąt Pascala od wzoru Newtona? Trójkąt Pascala to tabela współczynników $\binom{n}{k}$ budowana przez dodawanie dwóch liczb z wiersza wyżej. Wzór Newtona mówi, jak te współczynniki wstawić do rozwinięcia $(a+b)^n$. Trójkąt daje liczby, wzór - miejsce, w które je wpisać.

Czy „wzór na niuton” to to samo? Nie. Niuton (N) to jednostka siły z fizyki: $1\,\text{N} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m/s}^2$, a siłę liczymy z drugiej zasady dynamiki $F = m \cdot a$. Wzór Newtona z tej strony to wzór algebraiczny na potęgę dwumianu - poza nazwiskiem nie mają ze sobą nic wspólnego.

Podsumowanie

• Wzór Newtona: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ - rozwinięcie ma $n+1$ składników, wykładniki w każdym sumują się do $n$.
• Symbol Newtona $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ to liczba kombinacji $k$ elementów z $n$; liczymy go jako iloraz $k$ czynników malejących od $n$ przez $k!$.
• Współczynniki to wiersze trójkąta Pascala: każda liczba jest sumą dwóch liczb nad nią, suma wiersza wynosi $2^n$.
• Dla $(a-b)^n$ znaki zmieniają się na przemian, zaczynając od plusa.
• Jeden konkretny współczynnik znajduje wyraz ogólny $T_{k+1} = \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.
• Dla $n = 2$ i $n = 3$ wzór Newtona to wzory skróconego mnożenia; Newton uogólnił go na wykładniki niecałkowite (szereg dwumianowy).

Przećwicz

• Kombinacje → - delegacje, uściski dłoni, przekątne i obliczanie symbolu Newtona krok po kroku.
• Wzory skróconego mnożenia → - kwadrat i sześcian sumy oraz różnicy, czyli wzór Newtona dla $n = 2$ i $n = 3$.
• Teoria: kombinatoryka - permutacje, wariacje, kombinacje oraz wzory skróconego mnożenia.