Symetralna odcinka i dwusieczna kąta. Proste na płaszczyźnie

Q: Czym różni się symetralna od dwusiecznej?

Symetralna dotyczy odcinka (jest prostą prostopadłą przez jego środek), dwusieczna - kąta (jest półprostą dzielącą go na połowy). Łączy je idea „równych odległości": symetralna to punkty równoodległe od końców odcinka, dwusieczna - od ramion kąta.

Klasa 1 liceum i technikum

Co warto zapamiętać

Dwie różne proste na płaszczyźnie albo się przecinają (1 punkt wspólny), albo są równoległe i rozłączne.

Odległość punktu od prostej = długość odcinka prostopadłego od punktu do prostej.

Symetralna odcinka - prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek; jej punkty są równoodległe od końców odcinka.

Dwusieczna kąta - półprosta dzieląca kąt na połowy; jej punkty są równoodległe od ramion kąta.

Wzajemne położenie dwóch prostych

Dwie proste na płaszczyźnie mogą być położone względem siebie tylko na trzy sposoby:

przecinają się - mają dokładnie jeden punkt wspólny;
są równoległe i różne - nie mają żadnego punktu wspólnego;
pokrywają się - mają wszystkie punkty wspólne (to ta sama prosta).

Równoległość prostych $k$ i $l$ zapisujemy $k \parallel l$ (umowa: prostą uważamy za równoległą także do samej siebie). Szczególny przypadek przecinania się to prostopadłość: proste przecinają się pod kątem prostym, co zapisujemy $k \perp l$ .

Te trzy możliwości spotkaliśmy już w algebrze - przy graficznym rozwiązywaniu układów równań odpowiadały układom oznaczonym, sprzecznym i nieoznaczonym.

Odległość punktu od prostej

Z punktu $P$ do prostej $k$ można poprowadzić wiele odcinków. Najkrótszy z nich jest dokładnie jeden - ten prostopadły do prostej.

Odległością punktu $P$ od prostej $k$ nazywamy długość odcinka prostopadłego poprowadzonego z punktu $P$ do prostej $k$ .

Odległość punktu P od prostej k to długość d odcinka prostopadłego. Każdy odcinek ukośny (szary) jest od niego dłuższy.

Dlaczego ukośne odcinki są dłuższe? Odcinek prostopadły i ukośny tworzą z prostą trójkąt prostokątny, w którym ukośny odcinek jest przeciwprostokątną - a ta jest zawsze najdłuższym bokiem (przekonamy się o tym przy twierdzeniu Pitagorasa).

Odległość między prostymi równoległymi

Proste równoległe biegną w stałej odległości od siebie - i właśnie tę odległość mierzymy:

Odległością między prostymi równoległymi nazywamy odległość dowolnego punktu jednej z tych prostych od drugiej prostej.

Słowo „dowolnego” jest kluczowe: niezależnie od wyboru punktu wynik jest ten sam (gdyby nie był, proste by się zbliżały i w końcu przecięły - nie byłyby równoległe).

Symetralna odcinka

Symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek.

Symetralna odcinka AB przechodzi przez środek S i jest do niego prostopadła. Dowolny punkt P symetralnej spełnia |PA| = |PB| (kreski oznaczają równe odcinki).

Najważniejsza własność symetralnej (wykorzystywana w konstrukcjach i dowodach):

Punkt leży na symetralnej odcinka wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoodległy od końców tego odcinka: $|PA| = |PB|$ .

Działa to w obie strony: każdy punkt symetralnej jest równoodległy od $A$ i $B$ , a każdy punkt równoodległy od $A$ i $B$ leży na symetralnej. Dzięki temu symetralna to dokładnie zbiór punktów równoodległych od końców odcinka.

Dwusieczna kąta

Dwusieczną kąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty o równych miarach.

Dwusieczna kąta o wierzchołku O dzieli kąt na dwa kąty o równej mierze α. Każdy punkt dwusiecznej leży w tej samej odległości od obu ramion kąta.

I analogiczna własność charakteryzująca:

Punkt leży na dwusiecznej kąta wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoodległy od obu ramion kąta (odległości mierzymy prostopadle do ramion).

Symetralna i dwusieczna spotkają się jeszcze nie raz: symetralne boków trójkąta przecinają się w środku okręgu opisanego, a dwusieczne kątów - w środku okręgu wpisanego (skorzystamy z tego w kalkulatorze trójkąta).

Przykład

Zadanie. Punkt $P$ leży na symetralnej odcinka $AB$ , przy czym $|PA| = 7$ cm. Ponadto kąt ma miarę $74^\circ$ , a półprosta $OD$ jest jego dwusieczną. Podaj $|PB|$ oraz miary kątów, na które dwusieczna dzieli kąt.

Rozwiązanie. Z własności symetralnej: $|PB| = |PA| = 7$ cm. Dwusieczna dzieli kąt na dwa równe kąty, więc każdy z nich ma miarę $74^\circ : 2 = 37^\circ$ .

Odpowiedź: $|PB| = 7$ cm; kąty mają po $37^\circ$ .

Najczęstsze pytania

Ile punktów wspólnych mogą mieć dwie proste? Zero (równoległe różne), jeden (przecinające się) albo nieskończenie wiele (pokrywające się). Dwie różne proste nie mogą mieć dwóch punktów wspólnych - przez dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta.

Dlaczego odległość mierzy się prostopadle? Bo odcinek prostopadły jest najkrótszym ze wszystkich odcinków łączących punkt z prostą - każdy ukośny jest dłuższy (jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym).

Czym różni się symetralna od dwusiecznej? Symetralna dotyczy odcinka (jest prostą prostopadłą przez jego środek), dwusieczna - kąta (jest półprostą dzielącą go na połowy). Łączy je idea „równych odległości”: symetralna to punkty równoodległe od końców odcinka, dwusieczna - od ramion kąta.

Podsumowanie

Dwie różne proste: przecinające się (1 punkt) albo równoległe (0 punktów); prostopadłość to przecięcie pod kątem $90^\circ$ .
Odległość punktu od prostej mierzymy wzdłuż odcinka prostopadłego; odległość prostych równoległych - od dowolnego punktu jednej z nich.
Symetralna odcinka: prostopadła przez środek; zbiór punktów z $|PA| = |PB|$ .
Dwusieczna kąta: dzieli kąt na połowy; zbiór punktów równoodległych od ramion.