Czy f(x) = x² może być różnowartościowa?

W całej dziedzinie nie, bo f(-3) = f(3) = 9. Ale po zawężeniu dziedziny do langle 0; +∞) już tak - i właśnie dlatego pierwiastek definiuje się dla liczb nieujemnych.

Funkcje różnowartościowe

Q: Jak szybko sprawdzić różnowartościowość na wykresie?

Testem poziomej prostej: jeśli jakakolwiek prosta pozioma przecina wykres w więcej niż jednym punkcie, funkcja nie jest różnowartościowa. (Pionowa prosta sprawdza co innego - czy rysunek w ogóle jest wykresem funkcji.)

Q: Czy funkcja różnowartościowa musi być monotoniczna?

Nie. Monotoniczność w całej dziedzinie gwarantuje różnowartościowość, ale nie odwrotnie - można posklejać rosnące i malejące kawałki tak, żadna wartość się nie powtórzy.

Q: Po co w praktyce ta własność?

Bo tylko funkcja różnowartościowa ma funkcję odwrotną - skoro każda wartość pochodzi od dokładnie jednego argumentu, da się „wrócić" od wartości do argumentu. Stąd znaczenie tego pojęcia przy logarytmach, które są odwrotnością funkcji wykładniczej.

Klasa 1 liceum i technikum

Funkcja różnowartościowa - definicja

$x_1 \ne x_2 \ \Longrightarrow\ f(x_1) \ne f(x_2)$

Równoważnie (postać wygodna w dowodach):

$f(x_1) = f(x_2) \ \Longrightarrow\ x_1 = x_2$

$\textbf{Test poziomej prostej:}\ \text{funkcja jest różnowartościowa} \iff \text{każda pozioma prosta przecina wykres co najwyżej raz.}$

O co chodzi w różnowartościowości

Funkcja różnowartościowa to taka, która nie powtarza wartości - różne argumenty dają różne wyniki. Mówiąc obrazowo: maszyna nigdy nie wyrzuca tej samej liczby dla dwóch różnych liczb wrzuconych.

Funkcję $f$ nazywamy różnowartościową, jeżeli różnym argumentom odpowiadają różne wartości: $\text{jeśli } x_1 \ne x_2, \text{ to } f(x_1) \ne f(x_2).$

W praktyce wygodniej korzystać z równoważnej postaci (logicznie to ta sama treść, zapisana „od tyłu”):

$\text{jeśli } f(x_1) = f(x_2), \text{ to } x_1 = x_2.$

Czyli: jeśli dwie wartości okazały się równe, to musiały pochodzić od tego samego argumentu.

Przykład funkcji, która NIE jest różnowartościowa

Klasyk to $f(x) = x^2$ . Mamy $f(-3) = 9$ oraz $f(3) = 9$ - dwa różne argumenty ( $-3 \ne 3$ ) dają tę samą wartość $9$ . Warunek różnowartościowości jest złamany, więc funkcja $f(x) = x^2$ nie jest różnowartościowa.

Z kolei funkcja liniowa $f(x) = 2x + 1$ różnowartościowa jest: jeśli $2x_1 + 1 = 2x_2 + 1$ , to po odjęciu $1$ i podzieleniu przez $2$ dostajemy $x_1 = x_2$ .

Test poziomej prostej

Różnowartościowość ma świetną interpretację na wykresie. Jeśli funkcja przyjmuje wartość $y_0$ dla dwóch różnych argumentów, to pozioma prosta na wysokości $y_0$ przecina wykres w dwóch punktach. Stąd reguła:

Test poziomej prostej. Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy każda pozioma prosta przecina jej wykres co najwyżej raz.

Z lewej: każda pozioma prosta trafia w jeden punkt - funkcja różnowartościowa. Z prawej: pozioma prosta trafia w dwa punkty - funkcja nie jest różnowartościowa.

Porównaj to z testem pionowej prostej: pionowa prosta sprawdza, czy rysunek jest funkcją; pozioma prosta sprawdza, czy ta funkcja jest różnowartościowa.

Związek z monotonicznością

Jest bardzo użyteczne twierdzenie:

Każda funkcja monotoniczna w całej dziedzinie (czyli rosnąca albo malejąca) jest różnowartościowa.

Dlaczego? Jeśli funkcja jest np. rosnąca, to przy $x_1 < x_2$ mamy $f(x_1) < f(x_2)$ - wartości są więc różne. Tak samo dla malejącej. Stąd skrót myślowy: monotoniczna $\Rightarrow$ różnowartościowa.

Uwaga - w drugą stronę to nie działa: funkcja może być różnowartościowa, nie będąc monotoniczną na całej dziedzinie (da się skleić rosnące i malejące kawałki tak, by żadna wartość się nie powtórzyła). Najważniejszy wniosek praktyczny: jeśli funkcja nie jest różnowartościowa (jak $x^2$ ), to na pewno nie jest monotoniczna w całej dziedzinie.

Najczęstsze pytania

Jak szybko sprawdzić różnowartościowość na wykresie? Testem poziomej prostej: jeśli jakakolwiek prosta pozioma przecina wykres w więcej niż jednym punkcie, funkcja nie jest różnowartościowa. (Pionowa prosta sprawdza co innego - czy rysunek w ogóle jest wykresem funkcji.)

Czy funkcja różnowartościowa musi być monotoniczna? Nie. Monotoniczność w całej dziedzinie gwarantuje różnowartościowość, ale nie odwrotnie - można posklejać rosnące i malejące kawałki tak, żadna wartość się nie powtórzy.

Po co w praktyce ta własność? Bo tylko funkcja różnowartościowa ma funkcję odwrotną - skoro każda wartość pochodzi od dokładnie jednego argumentu, da się „wrócić” od wartości do argumentu. Stąd znaczenie tego pojęcia przy logarytmach, które są odwrotnością funkcji wykładniczej.

Czy $f(x) = x^2$ może być różnowartościowa? W całej dziedzinie nie, bo $f(-3) = f(3) = 9$ . Ale po zawężeniu dziedziny do $\langle 0; +\infty)$ już tak - i właśnie dlatego pierwiastek definiuje się dla liczb nieujemnych.

Podsumowanie

Funkcja różnowartościowa nie powtarza wartości: różne argumenty dają różne wyniki.
W dowodach wygodna jest postać: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ .
Test poziomej prostej: różnowartościowa, gdy żadna pozioma prosta nie przecina wykresu więcej niż raz.
Każda funkcja monotoniczna w całej dziedzinie jest różnowartościowa (ale nie odwrotnie).