Twierdzenie sinusów - jak stosować, przykłady i zadania

Klasa 2 liceum i technikum

Twierdzenie sinusów mówi, że w każdym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest taki sam dla wszystkich trzech boków i równy średnicy okręgu opisanego na trójkącie, czyli $2R$. Stosujemy je, gdy znamy bok i dwa kąty albo dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich.

W tej lekcji uczymy się go używać: rozpoznawać dane, ustawiać proporcję, liczyć promień okręgu opisanego i radzić sobie z przypadkiem, w którym wychodzą dwa trójkąty. Dwa pełne dowody są w haśle twierdzenie sinusów - wzór i dowód.

Jak brzmi twierdzenie sinusów

Dla trójkąta $ABC$ z rysunku:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R.$

W praktyce prawie nigdy nie używamy wszystkich trzech ułamków naraz. Bierzemy dwa z nich - jeden, w którym znamy oba elementy (bok i kąt naprzeciw), i drugi, w którym brakuje jednej wielkości. Albo ułamek i $2R$, gdy chodzi o okrąg opisany.

Z twierdzenia od razu wynika zasada, którą warto mieć w głowie przy sprawdzaniu wyników: naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok. Jeśli wyszło ci, że najdłuższy bok leży naprzeciw najmniejszego kąta, gdzieś jest błąd.

Skąd się bierze ten wzór (krótka idea)

Opuść wysokość $h$ z wierzchołka $C$ na bok $c$. Powstają dwa trójkąty prostokątne i w każdym wysokość jest przyprostokątną naprzeciw znanego kąta:

$h = b\sin\alpha \qquad \text{oraz} \qquad h = a\sin\beta.$

Stąd $b\sin\alpha = a\sin\beta$, czyli $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$. Związek z promieniem $R$ pokazuje się przez kąt wpisany oparty na średnicy - oba dowody krok po kroku są w haśle z dowodami. Same definicje sinusa w trójkącie prostokątnym przypomina lekcja trygonometria kąta ostrego - powtórzenie.

Sinus kąta rozwartego

W dowolnym trójkącie może pojawić się kąt rozwarty, więc potrzebujemy sinusa kątów od $90^\circ$ do $180^\circ$. Zasada jest jedna:

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha.$

Sinus kąta rozwartego jest dodatni i równy sinusowi kąta przyległego (dopełniającego do $180^\circ$). Skąd to wiadomo, wyjaśnia lekcja sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta, a więcej takich zależności zbierają wzory redukcyjne.

Ta równość ma ważną konsekwencję: gdy z twierdzenia sinusów obliczysz $\sin\beta$, to kąt $\beta$nie jest jeszcze wyznaczony - pasują do niego dwa kąty, $\beta$ ostry i $180^\circ - \beta$ rozwarty. Wrócimy do tego w części o przypadku niejednoznacznym.

Kiedy stosować twierdzenie sinusów

Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki, twierdzenie sinusów nie ruszy - w każdym ułamku brakuje dwóch wielkości. Wtedy sięgamy po twierdzenie cosinusów.

Przykład 1 - bok i dwa kąty

Zadanie. W trójkącie $ABC$ bok $c = 12$, a kąty $\alpha = 45^\circ$ i $\beta = 75^\circ$. Oblicz pozostałe boki i promień okręgu opisanego.

Krok 1. Trzeci kąt. $\gamma = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$. Teraz znamy parę „bok i kąt naprzeciw”: $c$ i $\gamma$.

Krok 2. Średnica okręgu opisanego.

$2R = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}.$

Krok 3. Bok $a$. $a = 2R\sin\alpha = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80$.

Krok 4. Bok $b$. Potrzebny jest $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966$:

$b = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} \approx 13{,}38.$

Kontrola. Największy kąt ($75^\circ$) ma naprzeciw najdłuższy bok ($b \approx 13{,}38$), najmniejszy kąt ($45^\circ$) - najkrótszy bok ($a \approx 9{,}80$). Zgadza się.

Odpowiedź. $a = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80$, $b = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} \approx 13{,}38$, $R = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$.

Przykład 2 - promień okręgu opisanego

Zadanie a). W trójkącie bok $a = 10$ leży naprzeciw kąta $\alpha = 150^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego.

$R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{10}{2 \cdot \sin 150^\circ} = \frac{10}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 10.$

Odpowiedź. $R = 10$. Zauważ: bok ma długość $10$, a promień też $10$ - przy kącie rozwartym środek okręgu leży poza trójkątem (więcej w lekcji o okręgu opisanym na trójkącie).

Zadanie b). Na trójkącie opisano okrąg o promieniu $6$. Jeden z kątów trójkąta ma $120^\circ$. Oblicz długość boku leżącego naprzeciw tego kąta.

$a = 2R\sin\alpha = 2 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39.$

Odpowiedź. $6\sqrt{3} \approx 10{,}39$.

Dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich - 0, 1 albo 2 trójkąty

To jedyna sytuacja, w której twierdzenie sinusów potrafi zaskoczyć. Znamy boki $a$ i $b$ oraz kąt $\alpha$ naprzeciw boku $a$. Z proporcji liczymy

$\sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a},$

a potem musimy zapytać: ile kątów $\beta$ naprawdę pasuje?

Przykład. $b = 8$, $a = 5$, $\alpha = 30^\circ$.

Krok 1. $\sin\beta = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{5} = \frac{4}{5} = 0{,}8$.

Krok 2. Dwa kandydaty. $\beta_1 \approx 53{,}13^\circ$ (ostry) oraz $\beta_2 = 180^\circ - \beta_1 \approx 126{,}87^\circ$ (rozwarty).

Krok 3. Czy mieszczą się w trójkącie? Suma z kątem $\alpha$ musi być mniejsza niż $180^\circ$: $30^\circ + 53{,}13^\circ = 83{,}13^\circ$ oraz $30^\circ + 126{,}87^\circ = 156{,}87^\circ$. Oba kandydaty są dobre - istnieją dwa różne trójkąty.

Krok 4. Trzeci kąt i trzeci bok w każdym z nich:

Na rysunku widać, skąd biorą się dwa trójkąty: bok $a = 5$ „dyndający” z punktu $C$ może opaść na drugie ramię kąta w dwóch miejscach. Gdyby był krótszy od odległości $C$ od tego ramienia (czyli od $b\sin\alpha = 4$), nie sięgnąłby wcale; gdyby był równy $4$, dotknąłby ramienia w jednym punkcie pod kątem prostym.

Wszystkie możliwości dla kąta ostrego $\alpha$ (dane $a$, $b$, $\alpha$ naprzeciw $a$):

Gdy dany kąt $\alpha$ jest prosty lub rozwarty, sprawa jest prostsza: trójkąt istnieje tylko wtedy, gdy $a > b$ (naprzeciw kąta rozwartego musi leżeć najdłuższy bok), i jest wtedy dokładnie jeden.

Praktyczna reguła: jeśli znany kąt leży naprzeciw dłuższego z dwóch danych boków, rozwiązanie jest jedno i bierzesz kąt ostry. Jeśli naprzeciw krótszego - sprawdź oba kandydaty.

Typowe błędy

• Zły kąt w mianowniku. W ułamku $\frac{a}{\sin\alpha}$ kąt musi leżeć naprzeciw boku, a nie przy nim. Zanim podstawisz, zaznacz na szkicu pary „bok - kąt naprzeciw”.
• Gubienie drugiego rozwiązania. Kalkulator na $\sin\beta = 0{,}8$ poda tylko $53{,}13^\circ$. Kąt $126{,}87^\circ$ musisz sprawdzić sam.
• Przyjmowanie rozwiązania, które nie istnieje. Gdy $\sin\beta > 1$, trójkąta nie ma - to poprawna odpowiedź, a nie błąd w rachunkach.
• Kalkulator w radianach. $\sin 30$ w trybie radianów to około $-0{,}988$, a nie $0{,}5$. Sprawdź tryb DEG.
• Mylenie $2R$ z $R$. Ułamek $\frac{a}{\sin\alpha}$ daje średnicę, nie promień.

Najczęstsze pytania

Jak brzmi twierdzenie sinusów?

W każdym trójkącie boki są proporcjonalne do sinusów kątów leżących naprzeciw nich: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$, gdzie $R$ to promień okręgu opisanego.

Kiedy stosować twierdzenie sinusów?

Gdy znasz bok i dwa kąty albo dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich. Także wtedy, gdy masz policzyć promień okręgu opisanego z boku i kąta naprzeciw niego.

Jak obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie z twierdzenia sinusów?

Weź dowolny bok i kąt leżący naprzeciw niego: $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$. Na przykład bok $10$ naprzeciw kąta $150^\circ$ daje $R = \frac{10}{2 \cdot 0{,}5} = 10$.

Ile wynosi sinus kąta rozwartego?

Tyle, ile sinus kąta przyległego: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. Na przykład $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, a $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Sinus kąta w trójkącie jest zawsze dodatni.

Dlaczego z twierdzenia sinusów czasem wychodzą dwa trójkąty?

Bo równanie $\sin\beta = s$ (dla $0 < s < 1$) ma w przedziale od $0^\circ$ do $180^\circ$ dwa rozwiązania: kąt ostry i rozwarty. Gdy znany kąt leży naprzeciw krótszego z danych boków, oba mogą dać prawdziwy trójkąt.

Czy twierdzenie sinusów działa w trójkącie prostokątnym?

Tak. Dla kąta prostego $\sin 90^\circ = 1$, więc przeciwprostokątna $c = 2R$ - okrąg opisany ma środek w środku przeciwprostokątnej. Pozostałe równości dają znane $a = c\sin\alpha$.

Przećwicz

• Twierdzenie sinusów → - boki i kąty z proporcji, kąt z sinusa (30° czy 150°?), przypadek niejednoznaczny z zerem, jednym albo dwoma trójkątami i dowód twierdzenia o dwusiecznej.
• Promień okręgu opisanego → - R z boku i kąta, boki z promienia, kąt z R i boku (dwa rozwiązania), pole koła opisanego i zadania z kątem środkowym.

Podsumowanie

• $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$ - w każdym trójkącie, także rozwartokątnym.
• Używamy go przy danych bok i dwa kąty albo dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich.
• Promień okręgu opisanego: $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$; bok z promienia: $a = 2R\sin\alpha$.
• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ - sinus kąta rozwartego jest dodatni.
• Przy dwóch bokach i kącie naprzeciw krótszego z nich sprawdzaj oba kąty: mogą być 0, 1 lub 2 trójkąty.

Co dalej

• Następna lekcja: twierdzenie cosinusów w zadaniach - dwa boki i kąt między nimi, trzy boki.
• Oba twierdzenia razem: rozwiązywanie trójkątów - które twierdzenie przy jakich danych, zadania tekstowe.
• Pole z promienia okręgu opisanego: wzory na pole trójkąta.
• Sprawdź wynik: kalkulator trójkąta - ustaw wierzchołki i porównaj boki z sinusami kątów.
• Dowody i historia: twierdzenie sinusów - wzór i dwa dowody.
• Więcej zadań: twierdzenie sinusów i cosinusów - zadania z rozwiązaniami.