Wzory redukcyjne - jak sprowadzić kąt do ostrego

Klasa 2 liceum i technikum

Wzory redukcyjne to wzory, które wyrażają sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta przez funkcję kąta ostrego. Dzięki nim wystarczy znać wartości dla kątów od $0^\circ$ do $90^\circ$ - na przykład $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}$, a $\cos 225^\circ = -\cos 45^\circ = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Pełne zestawienie wszystkich wzorów, także w radianach, jest w tabeli wzorów redukcyjnych. W tej lekcji chodzi o coś ważniejszego: żeby każdy z nich umieć odtworzyć w kilka sekund, zamiast uczyć się go na pamięć.

Skąd się biorą - symetrie w układzie współrzędnych

Funkcje dowolnego kąta odczytujemy ze współrzędnych punktu $P = (x, y)$ na końcowym ramieniu kąta (lekcja o funkcjach dowolnego kąta): $\sin\alpha = \frac{y}{r}$, $\cos\alpha = \frac{x}{r}$. Najwygodniej wziąć punkt na okręgu o promieniu $r = 1$ - wtedy po prostu $P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$.

Kąt $180^\circ - \alpha$. Jego ramię jest lustrzanym odbiciem ramienia kąta $\alpha$ względem osi $OY$. Punkt $P = (x, y)$ przechodzi w $P' = (-x, y)$: druga współrzędna zostaje, pierwsza zmienia znak.

Skoro $\sin$ odczytujemy z drugiej współrzędnej, a $\cos$ z pierwszej:

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha, \qquad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha, \qquad \operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = \frac{y}{-x} = -\operatorname{tg}\alpha.$

Kąt $180^\circ + \alpha$. Ramię jest przedłużeniem ramienia kąta $\alpha$ przez początek układu, więc $P = (x, y)$ przechodzi w $P'' = (-x, -y)$ (symetria względem punktu $O$). Obie współrzędne zmieniają znak, a ich iloraz - nie.

Kąt $-\alpha$ i $360^\circ - \alpha$. Oba mają to samo ramię końcowe - odbicie ramienia kąta $\alpha$ względem osi $OX$: $(x, y) \to (x, -y)$. Cosinus zostaje, sinus, tangens i cotangens zmieniają znak.

Kąt $90^\circ + \alpha$ - skąd zmiana nazwy. Obrót ramienia o $90^\circ$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przenosi punkt $(x, y)$ w $(-y, x)$ - współrzędne zamieniają się miejscami. Dlatego sinus nowego kąta to dawny cosinus i odwrotnie:

$\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha, \qquad \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin\alpha.$

Tak właśnie działa reguła z ramki: przy $90^\circ$ i $270^\circ$ współrzędne się zamieniają, więc funkcja zmienia nazwę; przy $180^\circ$ i $360^\circ$ zmieniają tylko znaki, więc nazwa zostaje.

Wzory redukcyjne w stopniach

W tabeli $\alpha$ jest kątem ostrym. Wersja w radianach jest w tabeli wzorów redukcyjnych.

Metoda w trzech krokach

1. Pełne obroty precz. Jeśli kąt jest większy od $360^\circ$ albo ujemny, dodaj lub odejmij wielokrotność $360^\circ$ (dla tangensa i cotangensa wystarczy $180^\circ$).
2. Rozpisz kąt jako $180^\circ \pm \alpha$ albo $360^\circ - \alpha$ z ostrym $\alpha$ - wtedy nazwa funkcji się nie zmienia i trudno o pomyłkę. Rozkład przez $90^\circ$ lub $270^\circ$ też jest poprawny, tylko trzeba pamiętać o zmianie nazwy.
3. Ustal znak z ćwiartki, w której leży cały kąt, dla funkcji wyjściowej.

Znaki w ćwiartkach łatwo zapamiętać z wierszyka: w pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.

Przykłady krok po kroku

Przykład 1: $\sin 150^\circ$. $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$; nazwa zostaje; kąt $150^\circ$ leży w II ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni:

$\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}.$

Przykład 2: $\cos 225^\circ$. $225^\circ = 180^\circ + 45^\circ$; nazwa zostaje; III ćwiartka - cosinus ujemny:

$\cos 225^\circ = -\cos 45^\circ = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Przykład 3: $\operatorname{tg} 300^\circ$. $300^\circ = 360^\circ - 60^\circ$; nazwa zostaje; IV ćwiartka - tangens ujemny:

$\operatorname{tg} 300^\circ = -\operatorname{tg} 60^\circ = -\sqrt{3}.$

Przykład 4: $\cos 120^\circ$ na dwa sposoby. Przez oś poziomą: $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$, II ćwiartka, cosinus ujemny, więc $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\tfrac{1}{2}$. Przez oś pionową: $120^\circ = 90^\circ + 30^\circ$, cosinus zmienia się w sinus, znak nadal minus: $\cos 120^\circ = -\sin 30^\circ = -\tfrac{1}{2}$. Wynik ten sam.

Przykład 5: $\operatorname{ctg} 135^\circ$ i $\sin 240^\circ$.

$\operatorname{ctg} 135^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 45^\circ) = -\operatorname{ctg} 45^\circ = -1, \qquad \sin 240^\circ = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Przykład 6: kąty ujemne. Cosinus jest „odporny” na minus, pozostałe funkcje nie:

$\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\tfrac{1}{2}, \qquad \cos(-60^\circ) = \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}.$

Przykład 7: kąty większe od pełnego. Najpierw odejmujemy pełne obroty:

• $\sin 750^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}$;
• $\cos 1050^\circ = \cos(1050^\circ - 2 \cdot 360^\circ) = \cos 330^\circ = \cos(360^\circ - 30^\circ) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$;
• $\operatorname{tg} 585^\circ = \operatorname{tg}(585^\circ - 3 \cdot 180^\circ) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$.

Przykład 8: całe wyrażenie. Oblicz $\sin 120^\circ \cdot \cos 150^\circ + \operatorname{tg} 135^\circ$.

$\sin 120^\circ \cdot \cos 150^\circ + \operatorname{tg} 135^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + (-1) = -\frac{3}{4} - 1 = -\frac{7}{4}.$

Przykład 9: upraszczanie. Dla dowolnego kąta $\alpha$:

$\cos(180^\circ - \alpha) + \sin(90^\circ + \alpha) = -\cos\alpha + \cos\alpha = 0.$

Wzory redukcyjne działają dla każdego $\alpha$, nie tylko ostrego - założenie o kącie ostrym służy tylko do ustalania znaku.

Wartości dla kątów spoza pierwszej ćwiartki

Z wzorów redukcyjnych i wartości dla $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ dostajemy całą tabelę (więcej w tablicy wartości funkcji trygonometrycznych):

Przedsmak okresowości

Kąty $\alpha$ i $\alpha + 360^\circ$ mają to samo ramię końcowe, więc wszystkie funkcje mają dla nich te same wartości. Tangens i cotangens powtarzają się nawet co $180^\circ$, bo punkty $(x, y)$ i $(-x, -y)$ dają ten sam iloraz:

$\sin(\alpha + k \cdot 360^\circ) = \sin\alpha, \qquad \cos(\alpha + k \cdot 360^\circ) = \cos\alpha, \qquad \operatorname{tg}(\alpha + k \cdot 180^\circ) = \operatorname{tg}\alpha.$

To pierwsza zapowiedź okresowości, którą dokładnie zajmiemy się przy funkcjach trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej. Wcześniej jednak trzeba poznać kąt skierowany i miarę łukową.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi cos 120°?$\cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}$, bo $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$, a w II ćwiartce cosinus jest ujemny: $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ$.

Ile wynosi sin 150°?$\sin 150^\circ = \tfrac{1}{2}$, bo $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ$.

Ile wynosi tg 300°?$\operatorname{tg} 300^\circ = -\sqrt{3}$, bo $300^\circ = 360^\circ - 60^\circ$, a w IV ćwiartce tangens jest ujemny.

Kiedy funkcja zmienia nazwę we wzorach redukcyjnych? Tylko przy kątach $90^\circ \pm \alpha$ i $270^\circ \pm \alpha$ - wtedy sinus zamienia się w cosinus, a tangens w cotangens (i odwrotnie). Przy $180^\circ \pm \alpha$ i $360^\circ - \alpha$ nazwa zostaje.

Skąd wziąć znak we wzorze redukcyjnym? Ustal, w której ćwiartce leży cały kąt (np. $225^\circ$ - w III), i sprawdź znak funkcji, którą liczysz, a nie tej, na którą zamieniasz. W III ćwiartce cosinus jest ujemny, więc $\cos 225^\circ = -\cos 45^\circ$.

Czy trzeba uczyć się tabeli wzorów redukcyjnych na pamięć? Nie. Wystarczą dwa pytania: czy zmienia się nazwa (oś pionowa - tak, pozioma - nie) i jaki jest znak w ćwiartce. Z tych dwóch reguł odtworzysz każdy wiersz tabeli.

Dlaczego sin(180° − α) = sin α? Bo ramiona kątów $\alpha$ i $180^\circ - \alpha$ są symetryczne względem osi $OY$: punkty na nich mają tę samą drugą współrzędną, a sinus to właśnie druga współrzędna podzielona przez $r$.

Przećwicz

• Trygonometria - zadania z rozwiązaniami → - wartości funkcji, związki między funkcjami i zastosowania.

Podsumowanie

• Wzory redukcyjne sprowadzają funkcję dowolnego kąta do funkcji kąta ostrego.
• Biorą się z symetrii: $180^\circ - \alpha$ to odbicie względem osi $OY$, $180^\circ + \alpha$ - względem początku układu, $-\alpha$ i $360^\circ - \alpha$ - względem osi $OX$.
• Przy $90^\circ \pm \alpha$ i $270^\circ \pm \alpha$ funkcja zmienia nazwę, przy $180^\circ \pm \alpha$ i $360^\circ - \alpha$ - nie.
• Znak bierzemy z ćwiartki całego kąta, dla funkcji wyjściowej.
• Kąt większy od $360^\circ$ najpierw zmniejszamy o pełne obroty ($180^\circ$ dla tg i ctg).
• Przykłady: $\sin 150^\circ = \tfrac{1}{2}$, $\cos 225^\circ = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\operatorname{tg} 300^\circ = -\sqrt{3}$.