Trygonometria - funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Klasa 2 liceum i technikum

W pierwszej klasie sinus, cosinus i tangens były stosunkami boków trójkąta prostokątnego - działały więc tylko dla kątów ostrych. W tym dziale uwalniamy je od trójkąta: definiujemy je przez współrzędne punktu w układzie współrzędnych, dzięki czemu mają sens dla kąta rozwartego, kąta $200^\circ$, a nawet kąta ujemnego.

Drugi krok to miara łukowa: kąt mierzony w radianach jest zwykłą liczbą rzeczywistą, więc sinus i cosinus stają się funkcjami takimi samymi jak liniowa czy kwadratowa - z dziedziną, zbiorem wartości i wykresem. Ich najważniejsza nowa cecha to okresowość: wykres powtarza się co $2\pi$.

Czego nauczysz się w tym dziale:

• przypomnisz sobie trygonometrię kąta ostrego i wartości dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$;
• wyznaczysz sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta z współrzędnych punktu i ustalisz ich znaki w ćwiartkach;
• będziesz korzystać z tożsamości trygonometrycznych - jedynki trygonometrycznej i wzoru na tangens;
• sprowadzisz kąt rozwarty i większy do ostrego wzorami redukcyjnymi;
• zamienisz stopnie na radiany i odwrotnie, poznasz kąt skierowany;
• zbadasz funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej: dziedzinę, okres, parzystość;
• naszkicujesz i odczytasz wykresy sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Warto wcześniej znać twierdzenie Pitagorasa i przekształcenia wykresów funkcji - przydadzą się przy wykresach $y = \sin(x - p)$ czy $y = 2\cos x$. Gotowe wartości funkcji są w tablicy wartości funkcji trygonometrycznych, a wzory redukcyjne w tabeli wzorów redukcyjnych.

Do ćwiczeń z kąta ostrego służy zestaw trygonometria - zadania z rozwiązaniami.