Czy √x albo 1/x to wielomian?

Nie. W wielomianie zmienna występuje tylko w potęgach o wykładnikach naturalnych; √x = x^1/2 i 1/x = x^-1 mają wykładniki ułamkowy i ujemny.

Wielomian jednej zmiennej - stopień, współczynniki, wartość

Q: Co to jest stopień wielomianu?

To najwyższy wykładnik potęgi x, przy której stoi niezerowy współczynnik - odczytany z postaci uporządkowanej, po redukcji wyrazów podobnych. Wielomian 4x^5 - 3x³ + 2 ma stopień 5.

Q: Jaki stopień ma wielomian zerowy?

Nieokreślony. Wielomian W(x) = 0 nie ma żadnego niezerowego współczynnika, więc nie da się wskazać najwyższej potęgi. Niektóre podręczniki umownie przyjmują stopień -∞.

Q: Czy liczba jest wielomianem?

Tak - liczba c ≠ 0 to wielomian stopnia zerowego, a liczba 0 to wielomian zerowy.

Q: Jak obliczyć sumę współczynników wielomianu?

Wystarczy obliczyć W(1). Każda potęga jedynki jest jedynką, więc zostaje sama suma współczynników. Dla W(x) = (2x - 1)^4 suma współczynników to (2 - 1)^4 = 1.

Q: Jak znaleźć wyraz wolny wielomianu zapisanego jako iloczyn?

Obliczyć W(0) - np. dla W(x) = (x - 2)(x + 5)(3x - 1) wyraz wolny to (-2) · 5 · (-1) = 10.

Q: Czym różni się jednomian od wielomianu?

Jednomian to pojedynczy wyraz a x^k, np. -5x². Wielomian to suma jednomianów - każdy jednomian jest więc wielomianem, ale nie odwrotnie.

Klasa 2 liceum i technikum

Wielomian jednej zmiennej

$W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0, \qquad a_n \neq 0$

$\text{stopień: } \deg W = n \qquad \text{wyraz wolny: } a_0 = W(0) \qquad \text{suma współczynników: } W(1)$

Wykładniki są liczbami naturalnymi, współczynniki $a_0, a_1, \ldots, a_n$ - dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wielomian zerowy $W(x) = 0$ nie ma określonego stopnia.

Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ , czyli suma jednomianów - liczb mnożonych przez naturalne potęgi zmiennej $x$ . Funkcja liniowa $ax + b$ i trójmian kwadratowy $ax^2 + bx + c$ to po prostu wielomiany stopnia pierwszego i drugiego.

Co to jest wielomian

Weźmy wielomian, od którego zaczyna się cały dział:

$W(x) = 2x^3 - 5x^2 + x - 7.$

Składa się z czterech wyrazów (jednomianów): $2x^3$ , $-5x^2$ , $x$ oraz $-7$ . Liczby stojące przy potęgach $x$ to współczynniki: przy $x^3$ stoi $2$ , przy $x^2$ stoi $-5$ , przy $x$ stoi $1$ (jedynki nie piszemy), a wyraz bez $x$ , czyli $-7$ , to wyraz wolny.

Nazwy, które trzeba znać:

stopień wielomianu - najwyższa potęga $x$ , przy której współczynnik jest różny od zera;
współczynnik wiodący (przy najwyższej potędze) - tu $a_n$ ; decyduje o tym, jak wykres zachowuje się „na krańcach”;
wyraz wolny - $a_0$ , współczynnik przy $x^0 = 1$ ;
jednomian - pojedynczy wyraz $a x^k$ , np. $-5x^2$ czy $7$ .

Stopień i współczynniki - przykłady

Przy odczytywaniu stopnia patrzymy na najwyższą potęgę z niezerowym współczynnikiem, nie na to, który wyraz stoi pierwszy.

Wielomian	Stopień	Współczynnik wiodący	Wyraz wolny
W(x) = 4x⁵ − 3x³ + x² − 7x + 2	5	4	2
P(x) = −2x⁴ + x − 6	4	−2	−6
Q(x) = 5 − 3x	1	−3	5
R(x) = x³ + √2·x	3	1	0
S(x) = 7	0	7	7
T(x) = 0	nieokreślony	-	0

W pierwszym wierszu brakuje wyrazu z $x^4$ - to znaczy, że jego współczynnik wynosi $0$ . Pełny zapis z wszystkimi współczynnikami wygląda tak:

$W(x) = 4x^5 + 0x^4 - 3x^3 + 1x^2 - 7x + 2, \qquad a_5 = 4,\ a_4 = 0,\ a_3 = -3,\ a_2 = 1,\ a_1 = -7,\ a_0 = 2.$

Taki „uzupełniony” zapis przyda się przy dzieleniu wielomianów i w schemacie Hornera - tam zerowych współczynników nie wolno pominąć.

W $R(x)$ współczynnik $\sqrt{2}$ jest niewymierny - to nie przeszkadza. Współczynniki mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi; ograniczenie dotyczy tylko wykładników.

Wielomian stały i wielomian zerowy

Wielomian stały $S(x) = c$ , gdzie $c \neq 0$ , ma stopień $0$ , bo $c = c \cdot x^0$ . Jego wykres to pozioma prosta.

Wielomian zerowy $T(x) = 0$ to szczególny przypadek: wszystkie jego współczynniki są zerami, więc nie ma „najwyższej potęgi z niezerowym współczynnikiem”. Dlatego mówimy, że stopień wielomianu zerowego jest nieokreślony (w niektórych książkach umownie przyjmuje się $-\infty$ ). Jest to jedyny wielomian, który ma nieskończenie wiele pierwiastków.

Porządkowanie wielomianu

Wielomian zapisany „byle jak” najpierw porządkujemy: redukujemy wyrazy podobne (tak jak w lekcji o działaniach na wyrażeniach) i ustawiamy wyrazy od najwyższej potęgi do najniższej.

Przykład 1. Uporządkuj wielomian i podaj jego stopień:

$W(x) = 3x - 5x^3 + 7 + x^4 - 2x + 5x^3 + 2x^2.$

Krok 1. Grupujemy wyrazy podobne: $x^4$ ; $-5x^3 + 5x^3 = 0$ ; $2x^2$ ; $3x - 2x = x$ ; $7$ .

Krok 2. Zapisujemy od najwyższej potęgi:

$W(x) = x^4 + 2x^2 + x + 7.$

Odpowiedź. $W(x) = x^4 + 2x^2 + x + 7$ , stopień $4$ . Wyrazy z $x^3$ zniosły się, więc $a_3 = 0$ .

Przykład 2. Podaj stopień wielomianu $W(x) = (2x - 1)(x + 3) - 2x^2$ .

Krok 1. Wymnażamy nawiasy: $(2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$ .

Krok 2. Odejmujemy $2x^2$ :

$W(x) = 2x^2 + 5x - 3 - 2x^2 = 5x - 3.$

Odpowiedź. Stopień $1$ , nie $2$ . Na pierwszy rzut oka widać $x^2$ , ale po uporządkowaniu wyraz kwadratowy znika - dlatego stopień odczytujemy dopiero z uporządkowanej postaci.

Wartość wielomianu dla danego x

Wartość wielomianu w punkcie $x_0$ to liczba $W(x_0)$ , którą dostajemy po podstawieniu $x_0$ w miejsce $x$ . Każdy wielomian jest więc funkcją określoną na całym zbiorze $\mathbb{R}$ .

Przykład 3. Dla $W(x) = 2x^3 - 5x^2 + x - 7$ oblicz $W(2)$ i $W(-1)$ .

$W(2) = 2 \cdot 8 - 5 \cdot 4 + 2 - 7 = 16 - 20 + 2 - 7 = -9,$

$W(-1) = 2 \cdot (-1) - 5 \cdot 1 + (-1) - 7 = -2 - 5 - 1 - 7 = -15.$

Odpowiedź. $W(2) = -9$ , $W(-1) = -15$ . Przy liczbach ujemnych potęgę liczymy w nawiasie: $(-1)^3 = -1$ , ale $(-1)^2 = 1$ .

Wartości tego wielomianu dla kilku argumentów:

x	−2	−1	0	1	2	3
W(x) = 2x³ − 5x² + x − 7	−45	−15	−7	−9	−9	5

Wartość zmienia znak między $x = 2$ a $x = 3$ - więc gdzieś pomiędzy leży pierwiastek wielomianu. Do szukania pierwiastków wrócimy w lekcji o twierdzeniu Bézouta.

Przykład 4. Wielomian $W(x) = x^3 + m x^2 - 4x + 3$ spełnia warunek $W(2) = 7$ . Wyznacz $m$ .

Krok 1. Podstawiamy $x = 2$ : $W(2) = 8 + 4m - 8 + 3 = 4m + 3$ .

Krok 2. Rozwiązujemy równanie $4m + 3 = 7$ , skąd $4m = 4$ .

Odpowiedź. $m = 1$ .

Dwa szybkie triki: W(0) i W(1)

Dwie wartości wielomianu odczytujemy bez liczenia potęg:

$W(0) = a_0$ - wartość w zerze to wyraz wolny, bo wszystkie wyrazy z $x$ się zerują;
$W(1) = a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 + a_0$ - wartość w jedynce to suma wszystkich współczynników, bo każda potęga jedynki jest jedynką.

Podobnie $W(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots$ - suma współczynników z naprzemiennymi znakami.

Przykład 5. Oblicz sumę współczynników i wyraz wolny wielomianu $W(x) = (x^2 - 3x + 1)^5$ - bez wymnażania nawiasów.

Krok 1. Suma współczynników to $W(1) = (1 - 3 + 1)^5 = (-1)^5 = -1$ .

Krok 2. Wyraz wolny to $W(0) = (0 - 0 + 1)^5 = 1$ .

Odpowiedź. Suma współczynników wynosi $-1$ , wyraz wolny $1$ . Wymnożenie piątej potęgi dałoby wielomian stopnia $10$ z jedenastoma współczynnikami - a wynik mamy w dwóch linijkach.

Co NIE jest wielomianem

Wielomian może zawierać tylko naturalne potęgi zmiennej: $x^0, x^1, x^2, \ldots$ Wszystko, co wymaga dzielenia przez $x$ , pierwiastka z $x$ albo $x$ w wykładniku, wielomianem nie jest.

Wyrażenie	Wielomian?	Dlaczego
3x⁴ − x/2 + 1	tak	x/2 = ½·x - współczynnik ułamkowy jest dozwolony
√3·x² − π	tak	współczynniki √3 i −π to liczby rzeczywiste
1/x + 2	nie	1/x = x⁻¹, wykładnik ujemny
x³ − 4x⁻²	nie	wykładnik −2 nie jest liczbą naturalną
√x + 1	nie	√x = x^(1/2), wykładnik ułamkowy
2ˣ − 1	nie	zmienna w wykładniku - to funkcja wykładnicza
\|x\| + x²	nie	wartość bezwzględna nie jest sumą potęg x

Uwaga na pułapkę: $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ też nie jest wielomianem, choć dla $x \neq 1$ jest równe $x + 1$ - to wyrażenie nie jest określone w punkcie $x = 1$ , a wielomian jest określony wszędzie.

Typowe błędy

Stopień z pierwszego wyrazu. W $Q(x) = 5 - 3x + x^2$ stopień wynosi $2$ , choć pierwszy wyraz jest stały. Liczy się najwyższa potęga, a nie kolejność zapisu.
Stopień przed redukcją. $W(x) = x^3 + 2x - x^3$ ma stopień $1$ , nie $3$ .
Zgubiony znak przy współczynniku. W $P(x) = -2x^4 + x - 6$ współczynnik wiodący to $-2$ , a wyraz wolny $-6$ - minus należy do współczynnika.
Brak nawiasu przy podstawianiu liczby ujemnej. $-5 \cdot (-1)^2 = -5$ , a nie $5$ .
„Wielomian zerowy ma stopień 0”. Stopień $0$ mają wielomiany stałe różne od zera; zerowy ma stopień nieokreślony.

Najczęstsze pytania

Co to jest stopień wielomianu? To najwyższy wykładnik potęgi $x$ , przy której stoi niezerowy współczynnik - odczytany z postaci uporządkowanej, po redukcji wyrazów podobnych. Wielomian $4x^5 - 3x^3 + 2$ ma stopień $5$ .

Jaki stopień ma wielomian zerowy? Nieokreślony. Wielomian $W(x) = 0$ nie ma żadnego niezerowego współczynnika, więc nie da się wskazać najwyższej potęgi. Niektóre podręczniki umownie przyjmują stopień $-\infty$ .

Czy liczba jest wielomianem? Tak - liczba $c \neq 0$ to wielomian stopnia zerowego, a liczba $0$ to wielomian zerowy.

Jak obliczyć sumę współczynników wielomianu? Wystarczy obliczyć $W(1)$ . Każda potęga jedynki jest jedynką, więc zostaje sama suma współczynników. Dla $W(x) = (2x - 1)^4$ suma współczynników to $(2 - 1)^4 = 1$ .

Jak znaleźć wyraz wolny wielomianu zapisanego jako iloczyn? Obliczyć $W(0)$ - np. dla $W(x) = (x - 2)(x + 5)(3x - 1)$ wyraz wolny to $(-2) \cdot 5 \cdot (-1) = 10$ .

Czy $\sqrt{x}$ albo $\frac{1}{x}$ to wielomian? Nie. W wielomianie zmienna występuje tylko w potęgach o wykładnikach naturalnych; $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ i $\frac{1}{x} = x^{-1}$ mają wykładniki ułamkowy i ujemny.

Czym różni się jednomian od wielomianu? Jednomian to pojedynczy wyraz $a x^k$ , np. $-5x^2$ . Wielomian to suma jednomianów - każdy jednomian jest więc wielomianem, ale nie odwrotnie.

Przećwicz

Działania na wielomianach → - porządkowanie wielomianu, stopień, wartość $W(a)$ (także dla $\sqrt{2}$ ), wyraz wolny $W(0)$ i suma współczynników $W(1)$ .

Podsumowanie

Wielomian to suma jednomianów $a_k x^k$ o naturalnych wykładnikach; współczynniki mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Stopień to najwyższa potęga z niezerowym współczynnikiem - odczytywany po uporządkowaniu.
Wielomian stały $c \neq 0$ ma stopień $0$ , wielomian zerowy - stopień nieokreślony.
$W(0)$ to wyraz wolny, $W(1)$ to suma współczynników.
$\frac{1}{x}$ , $\sqrt{x}$ , $x^{-2}$ , $2^x$ i $|x|$ nie są wielomianami.

Dalej w dziale: działania na wielomianach - dodawanie, odejmowanie, mnożenie i stopień wyniku. Zwięzłe zestawienie twierdzeń o wielomianach jest na stronie wielomiany - wzory i twierdzenia. Porządkowanie wyrażeń przećwiczysz w zadaniach redukcja wyrazów podobnych →.