Wyprowadzenie wzorów Viète'a krok po kroku

Klasa 2 liceum i technikum

W lekcji o wzorach Viète’a wyprowadziliśmy je krótko, przez porównanie postaci ogólnej z iloczynową. Tutaj robimy to drugą drogą - licząc sumę i iloczyn wprost ze wzorów na pierwiastki. Suma pójdzie gładko, bo pierwiastki z delty się skrócą. Iloczyn wymaga więcej pracy i to jemu poświęcimy najwięcej miejsca.

Jak czytać kolory. Na niebiesko zaznaczamy wszystko, co zawiera $\sqrt{\Delta}$, a na malinowo - składniki z $b^2$. Przekreślenie oznacza, że dany składnik znika w tym kroku (bo znosi się z innym).

Część 1. Suma pierwiastków - tu jest łatwo

Dodajemy oba pierwiastki. Mianowniki są takie same, więc wystarczy dodać liczniki:

$x_1 + x_2 = \frac{-b - \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}}{2a} + \frac{-b + \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}}{2a} = \frac{\left(-b - \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right) + \left(-b + \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right)}{2a}.$

W liczniku ten sam pierwiastek występuje raz ze znakiem minus i raz ze znakiem plus, więc oba składniki się znoszą:

$x_1 + x_2 = \frac{-b - \textcolor{#3b82f6}{\cancel{\sqrt{\Delta}}} - b + \textcolor{#3b82f6}{\cancel{\sqrt{\Delta}}}}{2a} = \frac{-2b}{2a}.$

Zostało już tylko skrócenie dwójki (pamiętamy, że $a \ne 0$):

$x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a}.$

I to cały dowód pierwszego wzoru. Delta zniknęła, zanim zdążyła zrobić jakikolwiek kłopot - dlatego suma pierwiastków jest tak „ładna” i nie zależy od $c$.

Część 2. Iloczyn pierwiastków - tu robi się ciekawie

Teraz mnożymy. Zapiszmy iloczyn dwóch ułamków - licznik przez licznik, mianownik przez mianownik:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b - \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}}{2a} \cdot \frac{-b + \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}}{2a} = \frac{\left(-b - \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right)\left(-b + \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right)}{2a \cdot 2a}.$

Mianownik jest prosty: $2a \cdot 2a = 4a^2$. Cała robota jest w liczniku - i tym zajmiemy się osobno.

Krok A. Licznik - mnożenie „każdy przez każdy”

Wymnóżmy oba nawiasy dokładnie tak, jak mnoży się sumy algebraiczne - cztery iloczyny:

$\left(-b - \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right)\left(-b + \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right) = (-b)(-b) + (-b) \cdot \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}} + \left(-\textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right)(-b) + \left(-\textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right) \cdot \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}.$

Policzmy każdy z osobna:

$(-b)(-b) = b^2, \qquad (-b)\cdot\textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}} = -b\textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}, \qquad \left(-\textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right)(-b) = +b\textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}, \qquad \left(-\textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right)\textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}} = -\Delta.$

Zwróć uwagę na dwa środkowe składniki: są identyczne co do wartości, ale mają przeciwne znaki, więc się znoszą:

$b^2 \;\; \textcolor{#3b82f6}{\cancel{-\, b\sqrt{\Delta}}} \;\; \textcolor{#3b82f6}{\cancel{+\, b\sqrt{\Delta}}} \;\; -\, \Delta \;=\; b^2 - \Delta.$

To jest sedno sprawy: pierwiastek znika dopiero po wymnożeniu, a nie od razu jak przy dodawaniu. Właśnie dlatego iloczyn jest trudniejszy od sumy.

Krok A′. Ten sam krok szybciej - wzorem skróconego mnożenia

Kto zauważy, że oba nawiasy różnią się tylko znakiem przy $\sqrt{\Delta}$, może użyć wzoru na różnicę kwadratów:

$(p - q)(p + q) = p^2 - q^2, \qquad \text{gdzie } p = -b, \quad q = \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}.$

Wtedy od razu:

$\left(-b - \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right)\left(-b + \textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right) = (-b)^2 - \left(\textcolor{#3b82f6}{\sqrt{\Delta}}\right)^2 = b^2 - \Delta.$

Skorzystaliśmy tu z równości $\left(\sqrt{\Delta}\right)^2 = \Delta$, która wymaga $\Delta \ge 0$ - i dokładnie w takim przypadku jesteśmy, bo inaczej pierwiastki by nie istniały.

Krok B. Podstawiamy definicję delty

Mamy licznik równy $b^2 - \Delta$. Teraz przypominamy sobie, czym jest $\Delta$:

$\Delta = \textcolor{#e11d48}{b^2} - 4ac.$

Podstawiamy - i uwaga na nawias, bo odejmujemy całe wyrażenie:

$b^2 - \Delta = \textcolor{#e11d48}{b^2} - \left(\textcolor{#e11d48}{b^2} - 4ac\right) = \textcolor{#e11d48}{b^2} - \textcolor{#e11d48}{b^2} + 4ac.$

Teraz znoszą się kwadraty:

$\textcolor{#e11d48}{\cancel{b^2}} \;\; - \;\; \textcolor{#e11d48}{\cancel{b^2}} \;\; + \;\; 4ac \;=\; 4ac.$

Cały licznik zredukował się do $4ac$ - została w nim tylko „czwórka razy $a$ razy $c$”.

Krok C. Składamy ułamek i skracamy

Wracamy do naszego iloczynu:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2}.$

Skracamy czwórkę oraz jedno $a$ (wolno, bo $a \ne 0$):

$x_1 \cdot x_2 = \frac{\cancel{4}\cancel{a}c}{\cancel{4}\cancel{a}\,a} = \frac{c}{a}.$

I to jest drugi wzór Viète’a.

Dlaczego suma była łatwa, a iloczyn nie

Warto zobaczyć tę różnicę wyraźnie, bo to typowe dla całej algebry:

• przy dodawaniu pierwiastki z delty stały obok siebie z przeciwnymi znakami i zniosły się natychmiast - zostało $\frac{-2b}{2a}$;
• przy mnożeniu trzeba było najpierw wymnożyć dwa nawiasy (cztery iloczyny), potem zauważyć, że składniki z $\sqrt{\Delta}$ się znoszą, następnie skorzystać z $(\sqrt{\Delta})^2 = \Delta$, a na koniec rozwinąć definicję delty, żeby zniknęło $b^2$.

Innymi słowy: dodawanie kasuje pierwiastek od razu, mnożenie dopiero po drodze - i po drodze trzeba jeszcze wiedzieć, czym delta jest w środku.

A gdy delta jest równa zero

Wtedy pierwiastek jest jeden (podwójny): $x_1 = x_2 = x_0 = \dfrac{-b}{2a}$. Sprawdźmy, czy wzory nadal działają.

Suma:

$x_1 + x_2 = 2x_0 = 2 \cdot \frac{-b}{2a} = \frac{-b}{a}. \qquad \checkmark$

Iloczyn:

$x_1 \cdot x_2 = x_0^2 = \left(\frac{-b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}.$

Ale skoro $\Delta = 0$, to $b^2 - 4ac = 0$, czyli $\textcolor{#e11d48}{b^2} = 4ac$. Podstawiamy:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{\textcolor{#e11d48}{b^2}}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}. \qquad \checkmark$

Oba wzory obowiązują więc także w przypadku pierwiastka podwójnego - trzeba tylko pamiętać, że liczymy go dwa razy.

Sprawdzenie na liczbach

Weźmy równanie $2x^2 - 7x + 3 = 0$, czyli $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$.

$\Delta = 49 - 24 = 25, \qquad \sqrt{\Delta} = 5, \qquad x_1 = \frac{7-5}{4} = \frac{1}{2}, \qquad x_2 = \frac{7+5}{4} = 3.$

Porównajmy wyniki z wzorami:

$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} \qquad \text{oraz} \qquad \frac{-b}{a} = \frac{7}{2}. \qquad \checkmark$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \qquad \text{oraz} \qquad \frac{c}{a} = \frac{3}{2}. \qquad \checkmark$

Drugie wyprowadzenie - przez postać iloczynową

Dla porządku przypomnijmy krótszą drogę, którą poznaliśmy w lekcji o wzorach Viète’a. Gdy $\Delta \ge 0$, trójmian można zapisać w postaci iloczynowej i wymnożyć:

$ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2) = a\left[x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2\right] = ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2.$

Dwa wielomiany są równe wtedy, gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach, więc

$b = -a(x_1+x_2) \ \Longrightarrow \ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \qquad c = a\,x_1x_2 \ \Longrightarrow \ x_1x_2 = \frac{c}{a}.$

Ta droga jest krótsza, ale wymaga wiedzy, że postać iloczynowa w ogóle istnieje. Wyprowadzenie ze wzorów na pierwiastki niczego nie zakłada - liczy wszystko wprost.

Najczęstsze pytania

Dlaczego w kroku A′ wolno napisać $(\sqrt{\Delta})^2 = \Delta$? Bo podnoszenie do kwadratu i pierwiastkowanie znoszą się dla liczb nieujemnych, a my pracujemy przy założeniu $\Delta \ge 0$. Gdyby delta była ujemna, pierwiastek w ogóle by nie istniał (w liczbach rzeczywistych), więc nie byłoby też pierwiastków równania.

Skąd bierze się $4a^2$ w mianowniku? Z pomnożenia mianowników obu ułamków: $2a \cdot 2a = 4a^2$. To jeden z najczęstszych błędów - zapisanie $2a$ zamiast $4a^2$, czyli pomnożenie liczników i „zapomnienie” o drugim mianowniku.

Dlaczego przy podstawianiu delty potrzebny jest nawias? Bo odejmujemy całe wyrażenie $b^2 - 4ac$. Bez nawiasu wyszłoby $b^2 - b^2 - 4ac = -4ac$, czyli wynik ze złym znakiem. To ta sama zasada, co przy opuszczaniu nawiasu poprzedzonego minusem.

Czy z tych wzorów można odtworzyć same pierwiastki? Tak - znając sumę $s$ i iloczyn $p$, pierwiastki są rozwiązaniami równania $x^2 - sx + p = 0$. Praktycznie: szukamy dwóch liczb o danej sumie i danym iloczynie, co przy „ładnych” współczynnikach udaje się zrobić w pamięci.

Czy wzory działają, gdy $a \ne 1$? Tak, i właśnie dlatego w mianownikach stoi $a$. Dla $a = 1$ wzory upraszczają się do $x_1 + x_2 = -b$ oraz $x_1x_2 = c$ - i w takiej postaci najczęściej używa się ich do zgadywania pierwiastków.

Przećwicz

• Wzory Viète’a → - wyrażenia symetryczne, znaki pierwiastków, układanie równania z danych pierwiastków.
• Zadania z parametrem → - główne pole zastosowania tych wzorów.

Podsumowanie

• Suma: pierwiastki z delty stoją z przeciwnymi znakami i znoszą się od razu - zostaje $\frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a}$.
• Iloczyn: licznik $(-b-\sqrt{\Delta})(-b+\sqrt{\Delta})$ liczymy wzorem na różnicę kwadratów; wychodzi $b^2 - \Delta$.
• Po podstawieniu $\Delta = b^2 - 4ac$ składniki $b^2$ się znoszą i zostaje $4ac$.
• Po skróceniu z mianownikiem $4a^2$ otrzymujemy $\frac{c}{a}$.
• Kluczowe założenia: $a \ne 0$ (mianowniki) oraz $\Delta \ge 0$ (istnienie pierwiastków i równość $(\sqrt{\Delta})^2 = \Delta$).