Rozwiązywanie trójkąta z trzech boków - krok po kroku

Klasa 1 liceum i technikum

Trzy boki wyznaczają trójkąt jednoznacznie (cecha przystawania BBB) - więc skoro trójkąt jest jeden, to jego pole, kąty i wszystkie pozostałe wielkości są już „zaszyte” w tych trzech liczbach. Trzeba je tylko umieć wydobyć. Dokładnie to robi nasz kalkulator trójkąta - a na tej stronie pokazujemy cały tok obliczeń, krok po kroku i bez skrótów.

Przez całą stronę liczymy jeden przykład: trójkąt o bokach $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$.

Krok 1. Czy trójkąt w ogóle istnieje?

Zanim cokolwiek policzymy, sprawdzamy nierówność trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego:

$5 + 6 = 11 > 7. \quad \checkmark$

Trójkąt istnieje. (Dla boków $2, 3, 7$ mielibyśmy $2 + 3 = 5 < 7$ - takiego trójkąta nie ma i obliczenia nie miałyby sensu; wzór Herona „zaprotestowałby” ujemną liczbą pod pierwiastkiem.)

Krok 2. Obwód - na rozgrzewkę

$L = a + b + c = 5 + 6 + 7 = 18.$

Przyda nam się też połowa obwodu $s = \tfrac{L}{2} = 9$ - występuje w kilku następnych wzorach.

Krok 3. Pole - wzór Herona

Zwykły wzór $P = \tfrac{1}{2} a h_a$ wymaga wysokości, której nie znamy. Na szczęście istnieje wzór na pole wprost z trzech boków:

Wzór Herona. $\ P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, gdzie $s = \tfrac{a+b+c}{2}$.

Liczymy po kolei czynniki: $s = 9$, $\ s - a = 4$, $\ s - b = 3$, $\ s - c = 2$:

$P = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6} \approx 14{,}70.$

Zauważ, że nierówność trójkąta jest tu „wbudowana”: gdyby $a + b < c$, czynnik $s - c$ byłby ujemny i pierwiastek by nie istniał. Szybki test wiarygodności wzoru: trójkąt prostokątny $3, 4, 5$ ma pole $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$, a Heron daje $\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$. Zgadza się.

Krok 4. Kąty - twierdzenie cosinusów

Twierdzenie Pitagorasa działa tylko w trójkącie prostokątnym. Jego uogólnieniem na dowolny trójkąt jest twierdzenie cosinusów:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma,$

gdzie $\gamma$ to kąt naprzeciw boku $c$. Składnik $-2ab\cos\gamma$ to „poprawka” względem Pitagorasa: dla $\gamma = 90^\circ$ mamy $\cos 90^\circ = 0$ i wzór przechodzi w $c^2 = a^2 + b^2$. Dwa dowody i historię twierdzenia opisuje hasło twierdzenie cosinusów, a gdy zamiast trzech boków znamy bok i dwa kąty, przydaje się twierdzenie sinusów.

Chcemy wyznaczyć kąt, więc przekształcamy wzór (dokładnie tak, jak w lekcji przekształcanie wzorów):

1. Przenosimy składnik z cosinusem na lewą stronę, a $c^2$ na prawą:

$2ab\cos\gamma = a^2 + b^2 - c^2.$

2. Dzielimy obie strony przez $2ab$ (boki są dodatnie, więc wolno):

$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.$

3. Znając cosinus, odczytujemy kąt (funkcją odwrotną $\arccos$ na kalkulatorze).

Dla naszego trójkąta - kąt naprzeciw najdłuższego boku $c = 7$:

$\cos\gamma = \frac{25 + 36 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{12}{60} = 0{,}2 \quad\Longrightarrow\quad \gamma = \arccos(0{,}2) \approx 78{,}46^\circ.$

Analogicznie kąt naprzeciw $a = 5$: $\ \cos\alpha = \tfrac{36 + 49 - 25}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \tfrac{60}{84} \approx 0{,}714$, czyli $\alpha \approx 44{,}42^\circ$; i naprzeciw $b = 6$: $\ \cos\beta = \tfrac{25 + 49 - 36}{70} \approx 0{,}543$, czyli $\beta \approx 57{,}12^\circ$. Kontrola: $44{,}42^\circ + 57{,}12^\circ + 78{,}46^\circ = 180^\circ$. $\checkmark$

Krok 5. Klasyfikacja trójkąta

Według boków: $5 \ne 6 \ne 7$ - trójkąt różnoboczny. (Dwa równe boki dałyby równoramienny, trzy - równoboczny.)

Według kątów: wystarczy spojrzeć na największy kąt (naprzeciw najdłuższego boku). Można też bez liczenia kątów - testem z twierdzenia odwrotnego do Pitagorasa:

$c^2 = 49 \qquad \text{kontra} \qquad a^2 + b^2 = 61.$

Skoro $49 < 61$, największy kąt jest ostry - trójkąt ostrokątny (zgadza się: $\gamma \approx 78{,}5^\circ < 90^\circ$).

Krok 6. Promień okręgu wpisanego

W każdy trójkąt można wpisać okrąg (jego środek to punkt przecięcia dwusiecznych). Wzór na jego promień ma śliczne, krótkie wyprowadzenie. Połączmy środek okręgu wpisanego $O$ z wierzchołkami - trójkąt rozpadnie się na trzy mniejsze trójkąty o wspólnym wierzchołku $O$. Podstawą każdego jest bok trójkąta, a wysokością - dokładnie promień $r$ (bo promień jest prostopadły do boku w punkcie styczności). Sumujemy pola:

$P = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \cdot \frac{a+b+c}{2} = r \cdot s.$

Stąd po podzieleniu przez $s$:

$r = \frac{P}{s} = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1{,}63.$

Krok 7. Promień okręgu opisanego

Na każdym trójkącie można też opisać okrąg (środek: przecięcie symetralnych boków). Jego promień wiąże z polem wzór:

$P = \frac{abc}{4R} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{abc}{4P}.$

(Wzór wynika z twierdzenia sinusów, które poznasz przy trygonometrii - tu korzystamy z niego „na kredyt”.) Dla naszego trójkąta:

$R = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24} \approx 3{,}57.$

Rozsądny test: $R$ zawsze wychodzi większe niż $r$ (okrąg opisany obejmuje trójkąt, wpisany mieści się w środku). Tu $3{,}57 > 1{,}63$. $\checkmark$

Krok 8. Wysokości

Skoro znamy pole, wysokości dostajemy z przekształcenia wzoru $P = \tfrac{1}{2} a h_a$:

$h_a = \frac{2P}{a}.$

Dla naszego trójkąta: $h_a = \tfrac{2 \cdot 6\sqrt{6}}{5} \approx 5{,}88$, $\ h_b = \tfrac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} \approx 4{,}90$, $\ h_c = \tfrac{12\sqrt{6}}{7} \approx 4{,}20$. (Im dłuższy bok, tym krótsza wysokość - ich iloczyn jest stały i równy $2P$.)

Najczęstsze pytania

Czy z każdych trzech liczb da się zbudować trójkąt? Nie. Musi być spełniona nierówność trójkąta: każdy bok krótszy od sumy dwóch pozostałych. Dla $2$, $3$ i $9$ trójkąta nie ma, bo $2 + 3 < 9$. Dlatego ten warunek sprawdzamy jako pierwszy.

Kiedy wzór Herona, a kiedy $P = \tfrac{1}{2}ah$? Heron, gdy znamy trzy boki, a nie znamy żadnej wysokości - i to jest właśnie ten przypadek. Gdy wysokość jest dana, prostszy jest wzór z podstawą i wysokością.

Skąd wiadomo, że trójkąt jest rozwartokątny, bez liczenia kątów? Wystarczy porównać kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów pozostałych: gdy $c^2 > a^2 + b^2$, trójkąt jest rozwartokątny, gdy $c^2 = a^2 + b^2$ - prostokątny, a gdy $c^2 < a^2 + b^2$ - ostrokątny. To odwrotność twierdzenia Pitagorasa.

Dlaczego promień okręgu wpisanego liczy się jako $r = \tfrac{P}{s}$? Bo trójkąt można podzielić na trzy trójkąty o wspólnym wierzchołku w środku okręgu wpisanego. Ich wysokości są równe $r$, a podstawy to boki, więc $P = \tfrac{1}{2}r(a+b+c) = r \cdot s$, gdzie $s$ to połowa obwodu.

Czy wystarczy znać trzy kąty, żeby wyznaczyć boki? Nie. Trzy kąty wyznaczają jedynie kształt trójkąta - istnieje nieskończenie wiele trójkątów podobnych o tych samych kątach. Do wyznaczenia boków trzeba znać co najmniej jedną długość.

Przećwicz

• Twierdzenie Pitagorasa → - obliczanie brakujących boków krok po kroku.

Podsumowanie - cały algorytm

1. Nierówność trójkąta: dwa krótsze boki kontra najdłuższy; brak nierówności = koniec obliczeń.
2. Obwód $L = a+b+c$ i połowa obwodu $s = L/2$.
3. Pole ze wzoru Herona: $P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
4. Kąty z twierdzenia cosinusów: $\cos\gamma = \tfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, potem $\arccos$.
5. Klasyfikacja: boki (równe?) i kąty (test $c^2$ kontra $a^2 + b^2$).
6. Promień okręgu wpisanego: $r = P/s$ (z podziału trójkąta na trzy mniejsze).
7. Promień okręgu opisanego: $R = abc/(4P)$.
8. Wysokości: $h_a = 2P/a$ i analogicznie.

Wszystkie te kroki wykonuje automatycznie kalkulator trójkąta - wpisz trzy boki i porównaj wyniki z powyższymi rachunkami.