Zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową

Klasa 2 liceum i technikum

Na czym polega optymalizacja

Zadania optymalizacyjne pytają o wartość największą albo najmniejszą: największe pole przy danym obwodzie, największy zysk przy danej cenie, najmniejszy koszt materiału. Gdy optymalizowana wielkość okazuje się funkcją kwadratową, cała odpowiedź kryje się w wierzchołku paraboli - dlatego ten typ zadań rozwiązujemy tu, a nie dopiero z pochodną.

Największą trudnością nie jest rachunek, tylko zapisanie treści wzorem. Dlatego trzymamy się schematu z ramki: najpierw oznaczenie, potem wyrażenie reszty przez $x$, dopiero na końcu wierzchołek.

Przykład 1 - największe pole prostokąta

Zadanie. Ogrodzenie o długości $40$ m ma otoczyć prostokątną działkę. Jakie wymiary da największe pole?

Krok 1. Oznaczenie. Niech $x$ - długość jednego boku (w metrach), $x > 0$.

Krok 2. Pozostałe wielkości przez $x$. Obwód to $40$ m, więc suma dwóch sąsiednich boków wynosi $20$ m, a drugi bok ma długość $20 - x$. Aby oba boki były dodatnie, musi być $0 < x < 20$.

Krok 3. Funkcja pola.

$P(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x.$

To funkcja kwadratowa z $a = -1 < 0$, więc ma wartość największą - dokładnie o to pytamy.

Krok 4. Wierzchołek.

$p = \frac{-20}{2 \cdot (-1)} = 10, \qquad P(10) = 10 \cdot 10 = 100.$

Krok 5. Sprawdzenie dziedziny. Liczba $10$ mieści się w przedziale $(0;\ 20)$ - wynik jest poprawny.

Odpowiedź. Największe pole $100$ m² daje kwadrat o boku $10$ m.

Wniosek wart zapamiętania. Spośród wszystkich prostokątów o ustalonym obwodzie największe pole ma kwadrat. To klasyczny wynik, który wypada z wierzchołka paraboli.

Przykład 2 - największy zysk

Zadanie. Bilet kosztuje $30$ zł i przy tej cenie kupuje go $200$ osób. Badania pokazują, że każda obniżka o $1$ zł przyciąga dodatkowe $20$ osób. Przy jakiej cenie przychód będzie największy?

Krok 1. Oznaczenie. Niech $x$ - liczba złotówek obniżki, $0 \le x \le 30$.

Krok 2. Wielkości przez $x$. Cena biletu: $30 - x$ zł. Liczba widzów: $200 + 20x$.

Krok 3. Funkcja przychodu.

$R(x) = (30 - x)(200 + 20x) = 6000 + 600x - 200x - 20x^2 = -20x^2 + 400x + 6000.$

Krok 4. Wierzchołek.

$p = \frac{-400}{2 \cdot (-20)} = 10, \qquad R(10) = -2000 + 4000 + 6000 = 8000.$

Krok 5. Wracamy do pytania. Obniżka wynosi $10$ zł, więc cena biletu to $20$ zł, a widzów będzie $200 + 200 = 400$.

Odpowiedź. Największy przychód, $8000$ zł, osiąga się przy cenie $20$ zł za bilet.

Typowa pułapka. Zadanie pyta o cenę, a wierzchołek dał obniżkę. Zawsze na końcu wracaj do treści i sprawdzaj, o co dokładnie pytano.

Przykład 3 - dwie liczby o danej sumie

Zadanie. Suma dwóch liczb wynosi $12$. Jaki jest największy możliwy iloczyn tych liczb?

Krok 1-2. Niech pierwsza liczba to $x$; druga to $12 - x$.

Krok 3. Funkcja iloczynu.

$f(x) = x(12 - x) = -x^2 + 12x.$

Krok 4. Wierzchołek. $p = \frac{-12}{-2} = 6$, a $f(6) = 36$.

Odpowiedź. Największy iloczyn to $36$ i daje go para $6$ i $6$.

Tu dziedziną jest całe $\mathbb{R}$ (liczby mogą być dowolne), więc nie ma czego sprawdzać. Gdyby zadanie mówiło o liczbach naturalnych, trzeba by dodatkowo sprawdzić, czy wierzchołek wypada w liczbie całkowitej - a jeśli nie, porównać dwie najbliższe.

Przykład 4 - najmniejsza suma kwadratów

Zadanie. Dla jakiej liczby $x$ suma kwadratów liczb $x$ oraz $6 - x$ jest najmniejsza?

$f(x) = x^2 + (6 - x)^2 = x^2 + 36 - 12x + x^2 = 2x^2 - 12x + 36.$

Tym razem $a = 2 > 0$, więc wierzchołek daje wartość najmniejszą:

$p = \frac{12}{4} = 3, \qquad f(3) = 18 - 36 + 36 = 18.$

Odpowiedź. Najmniejsza suma kwadratów to $18$ dla $x = 3$ (obie liczby równe $3$).

Gdy wierzchołek wypada poza dziedziną

To sytuacja, o której łatwo zapomnieć. Jeśli z treści wynika ograniczenie (np. $x \le 4$), a wierzchołek wypadł przy $x = 7$, to wartości skrajnej szukamy na końcu przedziału - dokładnie jak w lekcji o wartościach w przedziale domkniętym.

Przykład. Pole $P(x) = -x^2 + 20x$ z pierwszego zadania, ale przy dodatkowym warunku $x \le 6$ (dłuższy bok musi zmieścić się w wąskiej działce). Wierzchołek $x = 10$ leży poza przedziałem $(0;\ 6\rangle$, a na tym przedziale funkcja rośnie, więc największe pole wypada na końcu: $P(6) = -36 + 120 = 84$ m².

Najczęstsze pytania

Skąd wiedzieć, którą wielkość oznaczyć przez $x$? Najwygodniej tę, przez którą łatwo wyrazić pozostałe - zwykle jest to wielkość, o którą pyta zadanie, albo ta występująca w warunku (obwód, suma, budżet).

Dlaczego trzeba wypisywać dziedzinę? Bo treść zadania niemal zawsze ją ogranicza: długość jest dodatnia, liczba osób całkowita, cena nieujemna. Wierzchołek spoza dziedziny nie jest rozwiązaniem, choć rachunkowo wygląda poprawnie.

Czy wierzchołek zawsze daje odpowiedź? Tylko wtedy, gdy należy do dziedziny i gdy znak $a$ pasuje do pytania (wartość największa wymaga $a < 0$). W pozostałych przypadkach patrzymy na końce przedziału.

Co zrobić, gdy wynik nie jest liczbą całkowitą, a zadanie dotyczy sztuk? Porównać wartości funkcji dla dwóch najbliższych liczb całkowitych i wybrać lepszą - parabola jest symetryczna, więc wystarczą te dwie.

Czy takie zadania da się rozwiązać bez wierzchołka? Można sprawdzać wartości „po kolei”, ale to nie jest rozwiązanie - nie dowodzi, że znaleziona wartość jest największa. Wierzchołek daje pewność.

Przećwicz

• Zadania optymalizacyjne → - pola, przychody, sumy i iloczyny liczb, z pełnymi rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Schemat: oznacz $x$ $\to$ wyraź resztę przez $x$ $\to$ zapisz funkcję $\to$ policz wierzchołek $\to$ sprawdź dziedzinę i wróć do pytania.
• Wartość największa wymaga $a < 0$, najmniejsza $a > 0$.
• Wierzchołek spoza dziedziny nie jest odpowiedzią - wtedy liczą się końce przedziału.
• Klasyczny wynik: spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat.
• Na końcu zawsze wracamy do treści: zadanie często pyta o cenę, a nie o obniżkę.