Definicja. Twierdzenie. Dowód twierdzenia

Q: Czym różni się definicja od twierdzenia?

Definicja wprowadza pojęcie - jest umową, której się nie dowodzi. Twierdzenie stwierdza fakt o pojęciach już wprowadzonych i wymaga dowodu.

Klasa 1 liceum i technikum

Matematyka jest zbudowana z kilku rodzajów zdań. Warto je rozróżniać, bo każde pełni inną rolę.

Definicja

Definicja to precyzyjne określenie nowego pojęcia za pomocą pojęć już znanych. Ustala, co dokładnie znaczy dany termin - nie ma w niej nic do udowodnienia, to umowa co do nazwy. Na przykład:

Liczbę naturalną nazywamy parzystą, jeżeli dzieli się przez $2$ (czyli daje się zapisać w postaci $2k$ dla pewnej liczby całkowitej $k$ ).

Aksjomat

Aksjomat (pewnik) to zdanie przyjmowane bez dowodu - punkt wyjścia całej teorii. Na aksjomatach i definicjach opieramy wszystkie dalsze rozumowania.

Twierdzenie

Twierdzenie to zdanie prawdziwe, które wymaga udowodnienia. Najczęściej ma postać implikacji „jeżeli …, to …”:

$\underbrace{\text{założenie}}_{\text{co jest dane}} \ \Longrightarrow \ \underbrace{\text{teza}}_{\text{co trzeba wykazać}}.$

Założenie to informacje, które przyjmujemy za dane; teza to zdanie, które na ich podstawie chcemy wykazać.

Dowód

Dowód to ciąg logicznych kroków prowadzących od założenia do tezy, opartych wyłącznie na definicjach, aksjomatach i wcześniej udowodnionych twierdzeniach. Wyróżniamy m.in.:

dowód wprost - od założenia, kolejnymi wnioskami, dochodzimy do tezy;
dowód nie wprost - zakładamy, że teza jest fałszywa, i doprowadzamy do sprzeczności, co dowodzi, że teza musi być prawdziwa.

Przykład dowodu wprost

Twierdzenie. Jeżeli liczba naturalna $n$ jest parzysta, to $n^2$ też jest parzysta.

Założenie: $n$ jest parzysta. Teza: $n^2$ jest parzysta.

Dowód. Skoro $n$ jest parzysta, to z definicji $n = 2k$ dla pewnej liczby całkowitej $k$ . Podnieśmy do kwadratu:

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \cdot (2k^2).$

Otrzymaliśmy liczbę postaci $2 \cdot (\text{liczba całkowita})$ , a więc - znów z definicji - liczbę parzystą. To kończy dowód. $\blacksquare$

Symbol $\blacksquare$ (lub skrót „c.n.d.” - co należało dowieść) zaznacza koniec dowodu.

Najczęstsze pytania

Czym różni się definicja od twierdzenia? Definicja wprowadza pojęcie - jest umową, której się nie dowodzi. Twierdzenie stwierdza fakt o pojęciach już wprowadzonych i wymaga dowodu.

Dlaczego aksjomatów się nie dowodzi? Bo są punktem wyjścia - gdyby dowodzić wszystkiego, dowodzenie nie miałoby końca. Aksjomaty przyjmujemy bez dowodu, a wszystkie twierdzenia wyprowadzamy z nich krok po kroku.

Czy sprawdzenie wielu przykładów jest dowodem? Nie. Przykłady mogą uprawdopodobnić hipotezę, ale twierdzenie ma dotyczyć wszystkich przypadków, a tych zwykle jest nieskończenie wiele. Jeden kontrprzykład wystarczy natomiast, by twierdzenie obalić.

Co to jest twierdzenie odwrotne i czy zawsze jest prawdziwe? Powstaje przez zamianę założenia z tezą. Nie zawsze jest prawdziwe: z „jeśli liczba dzieli się przez $4$ , to dzieli się przez $2$ ” nie wynika zdanie odwrotne. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa akurat jest prawdziwe, ale wymagało osobnego dowodu.