Twierdzenie sinusów - wzór, dowód i przykłady

Q: Jak obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie?

Z twierdzenia sinusów: R = a/2sinα - wystarczy jeden bok i kąt naprzeciw niego.

Twierdzenie sinusów

W każdym trójkącie o bokach $a$ , $b$ , $c$ i kątach $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ leżących naprzeciw tych boków:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R,$

gdzie $R$ jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie.

Co mówi twierdzenie

Twierdzenie sinusów mówi, że w każdym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego jest taki sam dla wszystkich trzech boków i równy średnicy okręgu opisanego. Innymi słowy: boki trójkąta są proporcjonalne do sinusów przeciwległych kątów - naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok.

Twierdzenie pozwala rozwiązać trójkąt, gdy znamy bok i dwa kąty albo dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich. Gdy znamy dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki, stosuje się twierdzenie cosinusów.

Dowód przez okrąg opisany: BD jest średnicą, więc kąt BCD jest prosty, a kąt przy D równa się kątowi α (oba są wpisane i oparte na łuku BC). Stąd a = 2R · sin α.

Założenia

Figura jest trójkątem na płaszczyźnie euklidesowej (dowolnym: ostrokątnym, prostokątnym lub rozwartokątnym).
Kąt $\alpha$ leży naprzeciw boku $a$ , kąt $\beta$ naprzeciw $b$ , kąt $\gamma$ naprzeciw $c$ .

Dowód przez wysokość

Pokaż dowódUkryj dowód

Opuśćmy wysokość $h$ z wierzchołka $C$ na prostą $AB$ . Powstają dwa trójkąty prostokątne, w których $h$ jest przyprostokątną:

$h = b \sin\alpha \qquad \text{oraz} \qquad h = a \sin\beta.$

Stąd $b \sin\alpha = a \sin\beta$ , czyli $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$ . Opuszczając wysokość z innego wierzchołka, tak samo dostajemy równość z trzecim bokiem. Gdy kąt $\alpha$ jest rozwarty, spodek wysokości leży na przedłużeniu boku, a zamiast $\sin\alpha$ pojawia się $\sin(180^\circ - \alpha)$ - czyli ta sama liczba. $\blacksquare$

Dowód przez okrąg opisany

Pokaż dowódUkryj dowód

Niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , a $BD$ - średnicą tego okręgu (rysunek wyżej).

Krok 1. Kąt $BCD$ jest oparty na średnicy, więc jest prosty (twierdzenie Talesa o kącie wpisanym).

Krok 2. Kąty $BDC$ i $BAC$ są wpisane i oparte na tym samym łuku $BC$ , więc są równe: $\angle BDC = \alpha$ .

Krok 3. W trójkącie prostokątnym $BCD$ przeciwprostokątna to $|BD| = 2R$ , a przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$ to $|BC| = a$ . Zatem $\sin\alpha = \frac{a}{2R}$ , czyli $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$ .

To samo rozumowanie dla pozostałych boków daje pełne twierdzenie. (Dla kąta rozwartego punkt $D$ wypada po drugiej stronie cięciwy i kąt przy $D$ wynosi $180^\circ - \alpha$ - sinus jest ten sam.) $\blacksquare$

Przykład

W trójkącie dane są bok $a = 10$ oraz kąty $\alpha = 30^\circ$ i $\beta = 45^\circ$ . Obliczmy pozostałe elementy.

Krok 1. Trzeci kąt. $\gamma = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$ .

Krok 2. Bok $b$ . $\frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\sin 30^\circ} = 20$ , więc $b = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$ .

Krok 3. Bok $c$ . $c = 20 \sin 105^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 5(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \approx 19{,}32$ .

Krok 4. Promień okręgu opisanego. $2R = 20$ , więc $R = 10$ .

Kiedy są dwa rozwiązania, a kiedy żadne

Gdy dane są dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich, zadanie może mieć dwa rozwiązania, jedno albo żadnego - bo sinus przyjmuje tę samą wartość dla kątów $\beta$ i $180^\circ - \beta$ .

Przykład. $a = 6$ , $b = 8$ , $\alpha = 30^\circ$ . Z twierdzenia sinusów $\sin\beta = \frac{8 \sin 30^\circ}{6} = \frac{2}{3}$ , więc $\beta \approx 41{,}81^\circ$ albo $\beta \approx 138{,}19^\circ$ . Oba kąty mieszczą się w trójkącie ( $30^\circ + 138{,}19^\circ < 180^\circ$ ), więc istnieją dwa różne trójkąty - z trzecim bokiem $c \approx 11{,}40$ albo $c \approx 2{,}46$ .

Dla $a = 3$ , $b = 8$ , $\alpha = 30^\circ$ wychodzi $\sin\beta = \frac{4}{3} > 1$ - takiego trójkąta nie ma.

Po co to komu

Rozwiązywanie trójkątów z boku i dwóch kątów - w geodezji to podstawa triangulacji: z jednego zmierzonego odcinka i kątów oblicza się odległości do punktów niedostępnych.
Promień okręgu opisanego: $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$ - np. na trójkącie równobocznym o boku $a$ daje $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ .
Pole trójkąta $P = \frac{abc}{4R}$ wynika z połączenia twierdzenia sinusów ze wzorem $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ .
Astronomia i nawigacja - twierdzenie sinusów ma też wersję dla trójkątów na sferze (zob. wzory trygonometrii sferycznej).

Kto i kiedy

Wersję sferyczną twierdzenia znali uczeni świata islamu w X wieku (m.in. Abu al-Wafa). Dla trójkątów płaskich jasno sformułował je i udowodnił Nasir ad-Din at-Tusi w XIII wieku, a w Europie upowszechnił je Regiomontanus w dziele „De triangulis omnimodis” (napisanym w 1464 roku, wydanym w 1533).

Najczęstsze pytania

Jak brzmi twierdzenie sinusów? W każdym trójkącie stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały i równy średnicy okręgu opisanego: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$ .

Kiedy stosować twierdzenie sinusów, a kiedy cosinusów? Sinusów - gdy znasz bok i dwa kąty albo dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich. Cosinusów - gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki.

Jak obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie? Z twierdzenia sinusów: $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$ - wystarczy jeden bok i kąt naprzeciw niego.

Czy twierdzenie sinusów działa w trójkącie rozwartokątnym? Tak. Sinus kąta rozwartego jest dodatni i równy sinusowi kąta $180^\circ - \alpha$ , więc wzór wygląda identycznie. Trzeba tylko pamiętać, że $\sin\beta = s$ daje dwa kandydaty na kąt: $\beta$ i $180^\circ - \beta$ .

Dlaczego czasem wychodzą dwa trójkąty? Gdy dane są dwa boki i kąt naprzeciw krótszego z nich, obliczony sinus odpowiada dwóm kątom - ostremu i rozwartemu. Jeśli oba mieszczą się w sumie $180^\circ$ , istnieją dwa różne trójkąty.

Podsumowanie

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$ w każdym trójkącie.
Dowody: przez wysokość (dwa trójkąty prostokątne) i przez okrąg opisany (kąt wpisany oparty na średnicy).
Stosujemy przy danych „bok i dwa kąty” lub „dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich” - w tym drugim przypadku możliwe są dwa rozwiązania albo żadne.
$R = \frac{a}{2\sin\alpha}$ , $P = \frac{abc}{4R}$ .
Uzupełnienie: twierdzenie cosinusów i trygonometria kąta ostrego.