Wzory trygonometrii sferycznej - Nepera, Delambre'a, L'Huiliera

Wzory trygonometrii sferycznej to wzory wyrażające związki między bokami i kątami trójkąta sferycznego eulerowskiego. W podanych poniżej wzorach miary kątów trójkąta sferycznego eulerowskiego o wierzchołkach A, B, C oznaczone są odpowiednio przez α, β, γ, a długości boków leżących naprzeciw tych kątów przez a, b, c.

1. Wzory al-Battaniego:

cos(a)=cos(b)*cos(c)+sin(b)*sin(c)*cos(α),

cos(b)=cos(c)*cos(a)+sin(c)*sin(a)*cos(β),

cos(c)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)*cos(γ).

2. Wzór sinusów:

$\frac{\sin a}{\sin \alpha}=\frac{\sin b}{\sin \beta}=\frac{\sin c}{\sin \gamma}$

3. Wzory Delambre’a (analogie Delambre’a, wzory Gaussa):

$\sin\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{\cos\frac{1}{2}(a-b)}{\cos\frac{1}{2}c}*\cos\frac{1}{2}\gamma$,

$\cos\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{\cos\frac{1}{2}(a+b)}{\cos\frac{1}{2}c}*\sin\frac{1}{2}\gamma$,

$\sin\frac{1}{2}(\alpha-\beta)=\frac{\sin\frac{1}{2}(a-b)}{\sin\frac{1}{2}c}*\cos\frac{1}{2}\gamma$,

$\cos\frac{1}{2}(\alpha-\beta)=\frac{\sin\frac{1}{2}(a+b)}{\sin\frac{1}{2}c}*\sin\frac{1}{2}\gamma$.

4. Wzory Nepera (analogie Nepera), wzory wyrażające tangens połowy sumy (różnicy) dwu kątów oraz dwu boków, otrzymane za pomocą wzorów Delambre’a, np.:

$tg\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{\cos\frac{1}{2}(a-b)}{\cos\frac{1}{2}(a+b)}*ctg\frac{1}{2}\gamma$,

$tg\frac{1}{2}(a+b)=\frac{\cos\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}{\cos\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}*tg\frac{1}{2}c$,

$tg\frac{1}{2}(\alpha-\beta)=\frac{\sin\frac{1}{2}(a-b)}{\sin\frac{1}{2}(a+b)}*ctg\frac{1}{2}\gamma$,

$tg\frac{1}{2}(a-b)=\frac{\sin\frac{1}{2}(\alpha-\beta)}{\sin\frac{1}{2}(\alpha+\beta)}*tg\frac{1}{2}c$.

5. Wzory z przewyżką sferyczną $\varepsilon=\alpha+\beta+\gamma-\pi$:

a) Wzór Cagnoliego:

$\sin\frac{1}{2}\varepsilon=\frac{\sin\frac{1}{2}a*\sin\frac{1}{2}b}{\cos\frac{1}{2}c}*\sin\gamma$;

b) Wzór Lhuiliera:

$tg\frac{1}{4}\varepsilon=\sqrt{tg\frac{1}{2}p*tg\frac{1}{2}(p-a)*tg\frac{1}{2}(p-b)*tg\frac{1}{2}(p-c)}$, gdzie $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$.

Wzory dotyczące przewyżki sferycznej są stosowane do obliczania pola trójkąta sferycznego eulerowskiego, które na sferze o promieniu R jest równe R²ε (na sferze jednostkowej - samej przewyżce).

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta sferycznego eulerowskiego orzeka, że cosinus przeciwprostokątnej jest równy iloczynowi cosinusów przyprostokątnych, np. gdy $\alpha=\frac{1}{2}\pi$, to $\cos a=\cos b*\cos c$. W trójkącie sferycznym prostokątnym liczba boków większych od $\frac{1}{2}\pi$ jest parzysta, a mniejszych od $\frac{1}{2}\pi$ nieparzysta.