Zastosowanie wykresów funkcji do rozwiązywania równań i nierówności

Q: Czy odczyt z wykresu to pełne rozwiązanie zadania?

Przy pytaniu o liczbę rozwiązań albo o parametr - tak, o ile szkic jest uzasadniony. Przy pytaniu o konkretne wartości trzeba je policzyć, bo rysunek daje tylko przybliżenie.

Q: Jak odczytać rozwiązanie nierówności nieostrej?

Tak samo jak ostrej, ale końce przedziałów (czyli rozwiązania równania) dołączamy do odpowiedzi - nawiasy stają się domknięte.

Q: Co zrobić, gdy wykresy przecinają się „gdzieś pomiędzy"?

Odczytujemy przybliżenie i zaznaczamy to w odpowiedzi albo liczymy dokładnie z równania. Wykres i tak pomaga: mówi, ile jest rozwiązań i w jakich przedziałach ich szukać.

Q: Czy prosta y = m zawsze jest pozioma?

Tak - to funkcja stała. Dlatego przy równaniu z parametrem „przesuwamy" ją w górę i w dół i patrzymy, jak zmienia się liczba punktów wspólnych.

Q: Jak rozwiązać graficznie równanie z dwiema funkcjami?

Narysować oba wykresy w jednym układzie i odczytać odcięte punktów przecięcia. Warto potem sprawdzić wynik rachunkiem - to zajmuje chwilę, a wyklucza błąd odczytu.

Klasa 2 liceum i technikum

Wykres zamiast rachunków

$f(x) = m \quad \Longleftrightarrow \quad \text{punkty wspólne wykresu } y = f(x) \text{ i prostej } y = m$

$f(x) > m \quad \Longleftrightarrow \quad \text{argumenty, dla których wykres leży NAD prostą } y = m$

$f(x) = g(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \text{odcięte punktów przecięcia obu wykresów}$

Równanie to poszukiwanie punktów wspólnych

Rozwiązać równanie $f(x) = m$ to znaleźć argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość $m$ . Na wykresie taka wartość odpowiada poziomej prostej $y = m$ , więc rozwiązania to odcięte punktów wspólnych wykresu i tej prostej.

To bardzo praktyczne narzędzie: gdy wzór funkcji jest skomplikowany (moduł, przedziały), rysunek daje odpowiedź szybciej niż rachunek - a przy pytaniu „ile jest rozwiązań” często jest jedyną sensowną drogą.

Równanie f(x) = 1 ma trzy rozwiązania - tyle, ile punktów wspólnych wykresu z prostą y = 1: x = −3, x = −⅓ oraz x = 3.

Nierówność to porównanie wysokości

Nierówność $f(x) > m$ pyta, dla jakich argumentów wykres leży wyżej niż prosta $y = m$ . Odpowiedź odczytujemy z osi poziomej - to zawsze przedział albo suma przedziałów.

Dla wykresu z rysunku:

$f(x) > 1 \quad \text{dla} \quad x \in \left(-3;\ -\tfrac{1}{3}\right), \qquad f(x) < 1 \quad \text{dla} \quad x \in \left(-\tfrac{1}{3};\ 3\right).$

Przy nierówności nieostrej ( $\ge$ , $\le$ ) dołączamy jeszcze punkty wspólne, czyli końce przedziałów.

Zasada, która zawsze działa. Najpierw rozwiąż równanie $f(x) = m$ - jego rozwiązania są końcami przedziałów. Potem spójrz na wykres i wybierz te przedziały, w których wykres jest po właściwej stronie prostej.

Ile rozwiązań ma równanie z parametrem

Gdy zamiast konkretnej liczby mamy parametr, prosta $y = m$ przesuwa się w pionie. Pytanie „dla jakich $m$ równanie ma dokładnie dwa rozwiązania” sprowadza się więc do: „na jakiej wysokości poprowadzić poziomą prostą, żeby przecięła wykres w dwóch punktach”.

Przykład. Dla wykresu z rysunku (wartości od $-2$ do $3$ ):

$m > 3$ albo $m < -2$ - brak rozwiązań (prosta mija wykres);
$m = 3$ - jedno rozwiązanie (prosta dotyka wykresu w najwyższym punkcie);
$-2 < m < 1$ - dwa rozwiązania;
$m = 1$ - trzy rozwiązania (prosta przechodzi przez wierzchołek i oba końce).

Takie rozumowanie stosuje się najczęściej do wykresów z modułem - patrz równania i nierówności z wartością bezwzględną.

Równanie f(x) = g(x)

Gdy po obu stronach są funkcje, rysujemy oba wykresy w jednym układzie. Rozwiązania to odcięte punktów przecięcia.

Przykład. Rozwiążmy graficznie równanie $|x| = 2 - x$ .

Rysujemy $y = |x|$ (litera V z wierzchołkiem w początku układu) oraz prostą $y = 2 - x$ (przechodzi przez $(0,2)$ i $(2,0)$ ). Wykresy przecinają się w jednym punkcie: $(1, 1)$ .

Sprawdzenie rachunkiem: dla $x \ge 0$ mamy $x = 2 - x$ , czyli $x = 1$ ; dla $x < 0$ byłoby $-x = 2 - x$ , czyli $0 = 2$ - sprzeczność. Zgadza się: jedno rozwiązanie $x = 1$ .

Kiedy metoda graficzna, a kiedy rachunek

Wykres jest niezastąpiony przy pytaniach „ile jest rozwiązań” oraz przy równaniach z parametrem i modułem;
rachunek daje dokładne wartości - z rysunku odczytamy $x \approx 1{,}7$ , ale nie $x = \sqrt{3}$ ;
najlepiej łączyć oba: naszkicować wykres, żeby wiedzieć, czego szukać, a potem policzyć dokładnie.

Najczęstsze pytania

Czy odczyt z wykresu to pełne rozwiązanie zadania? Przy pytaniu o liczbę rozwiązań albo o parametr - tak, o ile szkic jest uzasadniony. Przy pytaniu o konkretne wartości trzeba je policzyć, bo rysunek daje tylko przybliżenie.

Jak odczytać rozwiązanie nierówności nieostrej? Tak samo jak ostrej, ale końce przedziałów (czyli rozwiązania równania) dołączamy do odpowiedzi - nawiasy stają się domknięte.

Co zrobić, gdy wykresy przecinają się „gdzieś pomiędzy”? Odczytujemy przybliżenie i zaznaczamy to w odpowiedzi albo liczymy dokładnie z równania. Wykres i tak pomaga: mówi, ile jest rozwiązań i w jakich przedziałach ich szukać.

Czy prosta $y = m$ zawsze jest pozioma? Tak - to funkcja stała. Dlatego przy równaniu z parametrem „przesuwamy” ją w górę i w dół i patrzymy, jak zmienia się liczba punktów wspólnych.

Jak rozwiązać graficznie równanie z dwiema funkcjami? Narysować oba wykresy w jednym układzie i odczytać odcięte punktów przecięcia. Warto potem sprawdzić wynik rachunkiem - to zajmuje chwilę, a wyklucza błąd odczytu.

Przećwicz

Szkicowanie wykresów i odczyt rozwiązań → - graficzne rozwiązywanie równań i nierówności, zadania z parametrem.

Podsumowanie

$f(x) = m$ : rozwiązania to odcięte punktów wspólnych wykresu i prostej $y = m$ .
$f(x) > m$ : argumenty, dla których wykres leży nad prostą (nierówność nieostra dokłada końce).
Równanie z parametrem: przesuwamy prostą $y = m$ i liczymy punkty wspólne.
$f(x) = g(x)$ : rysujemy oba wykresy i odczytujemy odcięte punktów przecięcia.
Wykres mówi ile i gdzie; dokładne wartości zwykle trzeba policzyć.