Niewymierność pierwiastka z dwóch

Q: Kalkulator pokazuje 1,4142135624 - czy to nie jest ułamek?

To zaokrąglenie. Jego kwadrat wynosi 1,99999999985..., a nie dokładnie 2. Żadne skończone rozwinięcie nie da w kwadracie dwójki.

Q: Czy suma dwóch liczb niewymiernych zawsze jest niewymierna?

Nie. Klasyczny kontrprzykład: √2 + (-√2) = 0, a także √2 · √2 = 2. Liczby niewymierne nie tworzą zamkniętej struktury względem dodawania ani mnożenia.

Twierdzenie

Liczba $\sqrt{2}$ jest niewymierna - nie da się jej zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych:

$\sqrt{2} \neq \frac{p}{q} \quad \text{dla żadnych } p, q \in \mathbb{Z}, \ q \neq 0.$

Co mówi twierdzenie i dlaczego było wstrząsem

Liczba wymierna to taka, którą da się zapisać jako ułamek liczb całkowitych. Twierdzenie mówi, że $\sqrt{2}$ do tej rodziny nie należy - jej rozwinięcie dziesiętne $1{,}41421356\ldots$ nigdy się nie kończy ani nie zaczyna powtarzać.

Dla starożytnych Greków było to odkrycie fundamentalne, bo burzyło ich obraz świata. Pitagorejczycy wierzyli, że każde dwie długości są współmierne - że zawsze da się dobrać wspólną miarę, mieszczącą się całkowitą liczbę razy w obu. Tymczasem przekątna kwadratu o boku $1$ ma długość dokładnie $\sqrt{2}$ - i takiej wspólnej miary z bokiem po prostu nie ma.

Dowód

Pokaż dowódUkryj dowód

Krok 1. Zakładamy nie wprost, że $\sqrt{2}$ jest wymierna. Można ją wtedy zapisać jako ułamek nieskracalny:

$\sqrt{2} = \frac{p}{q}, \qquad \mathrm{NWD}(p, q) = 1.$

Krok 2. Podnosimy do kwadratu i porządkujemy.

$2 = \frac{p^2}{q^2} \quad\Longrightarrow\quad p^2 = 2q^2.$

Krok 3. Wnioskujemy, że $p$ jest parzyste. Prawa strona jest parzysta, więc $p^2$ też. Gdyby $p$ było nieparzyste, jego kwadrat byłby nieparzysty (iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest nieparzysty). Zatem $p$ jest parzyste i można zapisać

$p = 2k.$

Krok 4. Podstawiamy z powrotem.

$(2k)^2 = 2q^2 \quad\Longrightarrow\quad 4k^2 = 2q^2 \quad\Longrightarrow\quad q^2 = 2k^2.$

Krok 5. Tym samym rozumowaniem $q$ też jest parzyste.

Krok 6. Sprzeczność. Obie liczby $p$ i $q$ są parzyste, więc dzielą się przez $2$ - a miały być względnie pierwsze. Założenie z kroku 1 jest fałszywe, czyli $\sqrt{2}$ jest niewymierna. $\blacksquare$

Dowód drugi - przez rozkład na czynniki

Pokaż dowódUkryj dowód

Ten sam wynik można uzyskać krócej, korzystając z podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Krok 1. Załóżmy $p^2 = 2q^2$ dla pewnych liczb naturalnych.

Krok 2. Patrzymy na wykładnik dwójki w rozkładzie. W kwadracie każdej liczby wszystkie wykładniki są parzyste - bo podniesienie do kwadratu je podwaja. Zatem w $p^2$ dwójka występuje w potędze parzystej, a w $q^2$ również.

Krok 3. Porównujemy strony. Po prawej mamy $2 \cdot q^2$ , czyli wykładnik dwójki jest tam nieparzysty (parzysty plus jeden). Po lewej jest parzysty.

Krok 4. Sprzeczność. Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze wyklucza, by ta sama liczba miała dwa różne rozkłady. $\blacksquare$

Ten dowód ma zaletę: od razu widać, jak go uogólnić.

Uogólnienia

$\sqrt{n}$ jest niewymierny dla każdego $n$ , które nie jest kwadratem liczby całkowitej. Dowód przez rozkład działa identycznie - wystarczy spojrzeć na czynnik pierwszy występujący w $n$ w potędze nieparzystej. Stąd niewymierne są $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{6}$ , a $\sqrt{9}$ już nie.
$\sqrt[k]{2}$ jest niewymierny dla każdego $k \geq 2$ - ten sam argument z wykładnikami.
$\log_2 3$ jest niewymierny. Gdyby $\log_2 3 = \tfrac{p}{q}$ , to $2^p = 3^q$ - a lewa strona jest parzysta, prawa nieparzysta.
Liczby $\pi$ i $e$ są nie tylko niewymierne, ale i przestępne - nie są pierwiastkami żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych. To znacznie trudniejsze twierdzenia (Lambert 1761, Hermite 1873, Lindemann 1882).

Skąd wiadomo, że liczb niewymiernych jest więcej

Skoro jedna liczba okazała się niewymierna, można zapytać, ile ich jest. Odpowiedź jest zaskakująca: prawie wszystkie liczby są niewymierne. Liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele (da się je ustawić w ciąg), a rzeczywistych - nieprzeliczalnie wiele, co pokazuje metoda przekątniowa Cantora.

Gdyby losować liczbę z odcinka $[0,1]$ , prawdopodobieństwo trafienia w liczbę wymierną wynosi zero. Wymierne, mimo że gęsto rozsiane, stanowią znikomą część prostej.

Gdzie spotykasz √2 na co dzień

Format A4. Arkusze A0, A1, A2… mają stosunek boków dokładnie $\sqrt{2}$ - dzięki temu po przecięciu na pół zachowują proporcje. To jedyny stosunek o tej własności.
Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$ - wprost z twierdzenia Pitagorasa.
Napięcie w sieci. Wartość szczytowa napięcia sinusoidalnego to $\sqrt{2}$ razy wartość skuteczna: $230 \cdot \sqrt{2} \approx 325$ V.
Muzyka. Interwał trytonu w stroju równomiernie temperowanym to dokładnie $\sqrt{2}$ w stosunku częstotliwości.

Kto i kiedy

Odkrycie przypisuje się szkole pitagorejskiej (V wiek p.n.e.), a legenda wskazuje na Hippasosa z Metapontu. Wedle najbardziej dramatycznej wersji został za nie utopiony przez współbraci - historycy uważają to raczej za późniejszą opowieść niż fakt, ale dobrze oddaje skalę wstrząsu.

Kryzys niewspółmierności odsunął grecką matematykę od arytmetyki w stronę geometrii: skoro liczby zawodzą, bezpieczniej rozumować na odcinkach. Formalny dowód znajduje się w Elementach Euklidesa (księga X), a wersja, którą przytoczyliśmy wyżej, jest do dziś wzorcowym przykładem dowodu nie wprost - i zwykle pierwszym takim dowodem, jaki poznaje uczeń.

Najczęstsze pytania

Czy $\sqrt{2}$ ma skończone rozwinięcie dziesiętne? Nie i nigdy nie będzie mieć. Każda liczba o skończonym lub okresowym rozwinięciu jest wymierna, a $\sqrt{2}$ wymierna nie jest.

Kalkulator pokazuje $1{,}4142135624$ - czy to nie jest ułamek? To zaokrąglenie. Jego kwadrat wynosi $1{,}99999999985\ldots$ , a nie dokładnie $2$ . Żadne skończone rozwinięcie nie da w kwadracie dwójki.

Czy suma dwóch liczb niewymiernych zawsze jest niewymierna? Nie. Klasyczny kontrprzykład: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ , a także $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ . Liczby niewymierne nie tworzą zamkniętej struktury względem dodawania ani mnożenia.

Dlaczego dowód wymaga ułamka nieskracalnego? Bo to on daje sprzeczność. Bez tego założenia z parzystości $p$ i $q$ nic by nie wynikało - moglibyśmy po prostu skrócić ułamek i powtarzać rozumowanie w nieskończoność (to zresztą wariant metody nieskończonego schodzenia).

Czy istnieje geometryczny dowód niewymierności? Tak - klasyczny dowód przez „nieskończone schodzenie” na kwadratach: z kwadratu o bokach całkowitych buduje się mniejszy o tej samej własności, co jest niemożliwe. To geometryczna wersja tego samego argumentu.

Podsumowanie

$\sqrt{2}$ nie da się zapisać jako ułamek liczb całkowitych - to twierdzenie, nie brak techniki.
Klasyczny dowód nie wprost: z $p^2 = 2q^2$ wynika, że oba wyrazy ułamka są parzyste, wbrew założeniu o nieskracalności.
Krótszy dowód: w kwadracie liczby każdy czynnik pierwszy występuje w potędze parzystej, a po prawej stronie dwójka ma wykładnik nieparzysty.
Uogólnienie: $\sqrt{n}$ jest niewymierny zawsze, gdy $n$ nie jest kwadratem liczby całkowitej.
Odkrycie zburzyło pitagorejski obraz świata i przesunęło grecką matematykę w stronę geometrii.